青岛版九年级上册3.1.1圆的对称性(18PPT)
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故点 C 与点 D 关于直线 AB C
E└
D
对称.
因为直线 AB 是⊙O 的对称
A
轴,所以当⊙O 沿直线
AB 折叠时,点 C 与点 D
重合,AC 与 AD 重合,BC
与 BD 重合,所以A C = A D
BC = BD .
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A
B
2
2
在Rt△AOE中,OE=3厘米,根据勾股定理
OA= A2 E O2 E32425厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
若E为弦AB上一动点,则OE取值范围是_______。
实际应用
如(中即图C图D,中=一60C⌒条0Dm公,,E路点为的oC是⌒转D弯C⌒上D处一的是点圆一,段心且圆),弧其
OE⊥CD ,垂足为F,EF=90m,求这段
3.1 圆的对称性(1) -----垂径定理
学习目标:
• 理解圆的轴对称性及其相关性质; • 理解垂径定理; • 会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点:
垂径定理及其应用。
预习案的交流与展示:
知识准备:
什么是轴对称图形?我们曾经学过哪些轴 对称图形?
如果一个图形沿一条直线对折,直线两 旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴 对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、 菱形、等腰梯形、正方形等。
• ∴ OA = OB .
例2:1400 多年前,我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥 拱近似于圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形的高 )为 7.23 m .求桥拱所在圆的半径(精确到 0.1 m).
• 解 设桥拱所在圆的半径为 R(m). 如图 ,用 AB 表示桥 拱,AB 的圆心为 O . 经过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 点 D,与 AB 交于点 C .
自主学习:
1、圆是轴对称图形吗? • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴?
圆的对称轴是任意一条经过 ●O
圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法解决上述问题的? 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作A⌒B ,读作“弧 AB”.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母).
2.已知⊙O的直径AB=10,弦CD ⊥AB,
垂足为M,OM=3,则CD= 8 .
B
3.在⊙O中,CD ⊥AB于M,AB为直径, 若CD=10,AM=1,则⊙O的半径是 13 .
课后提升:
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱 桥吗?
B
C
探究二:垂径定理的应用
例1:如图,以△OAB的顶点O为圆心的⊙O 交AB于点C、D,且AC=BD。
求证:OA=OB。
• 证明 作 OE⊥AB,垂足为 点 E.
• 由垂径定理,得 CE = DE .
• ∵ AC = BD,
• ∴ AC + CE = BD + DE,即 AE = BE .
• ∴ OE 为线段 AB 的垂直 平分线.
M└
CD⊥AB,
●O
∴ AM=BM,
⌒ ⌒⌒ ⌒
AC = BC, AD = BD.
D
①一条直径 条件
②垂直于弦
③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的优弧
同步训练:
在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段
或相等的圆弧?
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 •15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/8/272021/8/27August 27, 2021 •17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/27
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己,这是成功的秘诀。
•
B
• 连接 OC,OD
• 因为 OC = OD,OE⊥CD,
OE = OE,从而 Rt△OCE ≌
●O
Rt△ODE,所以 CE = DE .
C
E└
D
有什么关系?B C 与B D
有什么关系?为什么?
A
能不能试着利用构造 等腰三角形得出上面 的等量关系?
•9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。2021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 10:01:50 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 •12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021
∵ OC⊥AB,
∴ D 是线段 AB 的中点,C 是 AB 的中点,CD 就是拱高.
∵ AB = 37.02,CD = 7.23,
1
1
∴ AD = 2 AB = 2 × 37.02 = 18.51,
OD = OC - CD勾股定
理,得
OA2 = AD2 + OD2,即 R2 =
18.512 +(R - 7.23)2
这个方程,得 R ≈ 27.3 .
所以,赵州石拱桥桥拱所
在圆的半径约为 27.3 m
如图,已知在⊙O中,弦 A AB的长为8厘米,圆心O 到AB的距离为3厘米,求
E
B
.
O
⊙O的半径。
解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足为E
则AE=BE=1 AB=1 ×8=4厘米
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
C
D
B
• 如图 3-2,CD 是⊙O 的
弦,AB 是与 CD 垂直
的直径,垂足为点 E .
将⊙O 沿直径 AB 折叠,
●O
你发现线段 CE 与DE 有
什么关系? A C 与A D
弯路的半径。
C
E
F O
D
挑战自我:
如图,P为⊙O内一点,你能用尺规作⊙O的 一 条弦AB,使点P恰为AB的中点吗? 说明你的理由。
当堂达标:
1.在⊙O中,若CD ⊥AB于M,AB为直径,A
则下列结论不正确的是( )C A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D
C
M└
D
C、AM=OM D、CM=DM
●O