青岛版九年级上册3.1.1圆的对称性(18PPT)

故点 C 与点 D 关于直线 AB C
E└
D
对称.
因为直线 AB 是⊙O 的对称
A
轴，所以当⊙O 沿直线
AB 折叠时，点 C 与点 D
重合，AC 与 AD 重合，BC
与 BD 重合，所以A C = A D
BC = BD .
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径,
A
B
2
2
在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理
OA＝ A2 E O2 E32425厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
实际应用
如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC是⌒转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段
3.1 圆的对称性(1) -----垂径定理
学习目标：
• 理解圆的轴对称性及其相关性质； • 理解垂径定理； • 会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点：
垂径定理及其应用。
预习案的交流与展示：
知识准备：
什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴 对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴 对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、 菱形、等腰梯形、正方形等。
• ∴ OA = OB .
例2:1400 多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥 拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高 ）为 7.23 m .求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）.
• 解 设桥拱所在圆的半径为 R（m）. 如图 ，用 AB 表示桥 拱，AB 的圆心为 O . 经过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 点 D，与 AB 交于点 C .
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过 ●O
圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法解决上述问题的? 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作A⌒B ,读作“弧 AB”.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母).
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
课后提升：
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱 桥吗？
B
C
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O 交AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
• 证明 作 OE⊥AB，垂足为 点 E.
• 由垂径定理，得 CE = DE .
• ∵ AC = BD，
• ∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE .
• ∴ OE 为线段 AB 的垂直 平分线.
M└
CD⊥AB,
●O
∴ AM=BM,
⌒ ⌒⌒ ⌒
AC = BC, AD = BD.
D
①一条直径 条件
②垂直于弦
③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的优弧
同步训练：
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段
或相等的圆弧？
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/272021/8/27August 27, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/27
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
B
• 连接 OC，OD
• 因为 OC = OD，OE⊥CD，
OE = OE，从而 Rt△OCE ≌
●O
Rt△ODE，所以 CE = DE .
C
E└
D
有什么关系？B C 与B D
有什么关系？为什么？
A
能不能试着利用构造 等腰三角形得出上面 的等量关系？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 10:01:50 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021
∵ OC⊥AB，
∴ D 是线段 AB 的中点，C 是 AB 的中点，CD 就是拱高.
∵ AB = 37.02，CD = 7.23，
1
1
∴ AD = 2 AB = 2 × 37.02 = 18.51，
OD = OC - CD勾股定
理，得
OA2 = AD2 + OD2，即 R2 =
18.512 +（R - 7.23）2
这个方程，得 R ≈ 27.3 .
所以，赵州石拱桥桥拱所
在圆的半径约为 27.3 m
如图，已知在⊙O中，弦 A AB的长为8厘米，圆心O 到AB的距离为3厘米，求
E
B
.
O
⊙O的半径。
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E
则AE＝BE＝1 AB＝1 ×8＝4厘米
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
C
D
B
• 如图 3-2，CD 是⊙O 的
弦，AB 是与 CD 垂直
的直径，垂足为点 E .
将⊙O 沿直径 AB 折叠，
●O
你发现线段 CE 与DE 有
什么关系？ A C 与A D
弯路的半径。
C
E
F O
D
挑战自我：
如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的 一 条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A
则下列结论不正确的是（ ）C A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D
C
M└
D
C、AM=OM D、CM=DM
●O