2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷

2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中比1大的数是（）
A．B．0.5C．0D．﹣2
2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
3．（2分）一种病毒的直径约为0.0000001m，将0.0000001m用科学记数法表示为（）A．1×107B．1×10﹣6C．1×10﹣7D．10×10﹣8
4．（2分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（）
A．B．
C．D．
5．（2分）六边形的内角和是（）
A．540°B．720°C．900°D．1080°
6．（2分）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）
A．P1B．P2C．P3D．P4
7．（2分）下列说法正确的是（）
A．“三角形任意两边之差小于第三边”是必然事件
B．在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定
C．某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，因此正面向上的概率是60%
D．检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用普查
8．（2分）方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
9．（2分）计算：（﹣x2y）2÷（﹣2xy）＝（）
A．x B．x3y C．﹣x3y D．﹣2x3y
10．（2分）在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（）A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一组数据15，20，25，30，20，这组数据的中位数为．
12．（3分）分解因式：9x﹣x3＝．
13．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝139°，则∠2＝．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，连接BD，作BD的垂直平分线交CD 于点E，交BD于点F，连接BE，则△BCE的周长是cm．
15．（3分）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是．
16．（3分）正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足P A＝3，PB＝2，PC＝5，则∠APB的度数为度．
三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)
17．（6分）先化简，再求值：（﹣1）•（），其中x＝（﹣2）2，y＝．
18．（8分）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有1个实数，分别为1，2，3．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是2的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为点P的横坐标，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为点P的纵坐标，两次抽取的卡片上的实数分别作为点P的横纵坐标．请你用列表法或树状图法，求出点P在反比例函数y＝上的概率．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AD＝2，对角线AC与BD相交于点O，BD＝4，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点E．
（1）求DE的长；
（2）直接写出四边形OCED的面积为．
四、(每小题8分，共16分)
20．（8分）某中学准备开展“体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球和羽毛球四种项目的活动，为了了解学生对这四项活动的喜欢情况，随机调查了该校a名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择这四项活动中的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝，b＝，c＝；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校1000名学生中有多少名学生最喜爱打篮球．
21．（8分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校九年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用150元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用150元．
（1）这个学校九年级的学生总数在什么范围内？
（2）如果按批发价购买360支与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？
五、(本题10分)
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、
F，且∠E＝40°，∠F＝50°，连接BD．
（1）求∠A的度数；
（2）当⊙O的半径等于2时，请直接写出的长（结果保留π）
六、(本题10分)
23．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）请直接写出点A坐标，点B坐标；
（2）点C是直线AB上一个动点，当△AOC的面积是△BOC的面积的2倍时，求点C的坐标；
（3）点D为直线AB上的一个动点，在平面内找另一个点E，且以O、B、D、E为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的菱形的周长．
七、(本题12分)
24．（12分）如图，在△ABC中，AC＝，tan A＝3，∠ABC＝45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．
②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小
值．
八、(本题12分)
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣5，0），B（﹣，）两点，连接AB，BO．
（1）求抛物线表达式；
（2）点C是第三象限内的一个动点，若△AOC与△AOB全等，请直接写出点C坐标；
（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，以DF为边，在DF左侧作等边三角形DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM＝HL，以HM为边，在HM的右侧作等边三角形HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值．
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．【解答】解：A、比1大，故此选项符合题意；
B、0.5比1小，故此选项不合题意；
C、0比1小，故此选项不合题意；
D、﹣2比1小，故此选项不合题意；
故选：A．
2．【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7，
故选：C．
4．【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，1，2个正方形．故选：B．
5．【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
6．【解答】解：∵∠BAC＝∠PED，
而＝，
∴＝时，△ABC∽△EPD，
∵DE＝4，
∴EP＝6，
∴点P落在P3处．
故选：C．
7．【解答】解：A、三角形任意两边之差小于第三边，是必然事件，正确；
B、在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学成绩更稳定，故本选项错误；
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，并不能说明正面向上的概率是60%，而是正
面朝上的概率是50%，故本选项错误；
D、检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用抽样调查，故本选项错误；
故选：A．
8．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9．【解答】解：（﹣x2y）2÷（﹣2xy）
＝x4y2÷（﹣2xy）
＝﹣x3y．
故选：C．
10．【解答】解：∵正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出＝90°，
∴中心角是90°，
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC＝，
∵AC＝＝4，∠AOC＝45°，
∴OC＝AC＝4，
∴边心距为：4．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【解答】解：将数据重新排列为15、20、20、25、30，
所以这组数据的中位数为20，
故答案为：20．
12．【解答】解：原式＝x（9﹣x2）
＝x（3﹣x）（3+x）．
故答案为：x（3﹣x）（3+x）．
13．【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝139°，
∴∠2＝180°﹣139°＝41°，
故答案为：41°．
14．【解答】解：∵BD的垂直平分线交CD于点E，交BD于点F，
∴DE＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝3（cm），
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝DE+CE+BC＝CD+BC＝3+2＝5（cm），
故答案为：5．
15．【解答】解：设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
16．【解答】解：将△APB绕点B旋转90°得到△AP′C，则∠PBP′＝90°，BP＝BP′，AP＝P′C，∠APB＝∠CP′B，
∵PB＝2，
∴BP′＝2，
∴PP′＝4，∠BP′P＝45°，
∵P A＝3，PC＝5，
∴P′C＝3，
∵PP′2+P′C2＝42+32＝52＝PC2，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C＝90°，
∴∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝135°，
∴∠APB＝135°，
故答案为：135．
三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)
17．【解答】解：原式＝•
＝x﹣y，
当x＝（﹣2）2＝4，y＝＝2时，原式＝4﹣2＝2．
18．【解答】解：（1）由题意可得，
卡片上的实数是2的概率是；
（2）
由树状图可知，一共有六种可能性，其中横坐标和纵坐标的积等于2的有2中可能性，点P在反比例函数y＝上的概率是＝．
19．【解答】解：（1）∵DE∥OC，CE∥DO，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝DO，
∴四边形OCED是菱形，
∴DE＝DO＝BD＝2；
（2）∵矩形ABCD中，AD＝2，BD＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴S△COD＝S矩形ABCD＝×2×2＝，
∴S菱形OCED＝2S△COD＝2．
故答案为：2．
四、(每小题8分，共16分)
20．【解答】解：（1）30÷30%＝100（人），＝20%，1﹣35%﹣20%﹣30%＝15%，∴a＝100，b＝20，c＝15，
故答案为：100，20，15；
（2）喜欢羽毛球的人数为：100﹣35﹣30﹣20＝15，
补全条形统计图如图所示；
（3）估计该校1000名学生中有1000×30%＝300名学生最喜爱打篮球．
21．【解答】解：（1）设这个学校九年级学生有x人，
依题意，得：，
解得：240＜x≤300．
答：这个学校九年级的学生总数大于240且小于等于300．
（2）设铅笔的零售价为y元，则批发价为y元，
依题意，得：﹣＝60，
解得：y＝，
经检验，y＝是原分式方程的解，且符合题意，
∴＝300．
答：这个学校九年级学生有300人．
五、(本题10分)
22．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）连接OB、OD，如图，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴的长＝＝π．
六、(本题10分)
23．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝3；
∴A（3，0），B（0，3）；
故答案为：（3，0）；（0，3）．
（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴OA＝3，OB＝3，
∴S△AOB＝OA×OB＝×3×3＝，
设C（m，n），
①当点C在线段AB上时，如图1，
∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍，
∴S△AOC＝，
∴
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∵点C在直线y＝﹣x+3上，
∴﹣2+3＝n，
∴n＝1，
∴C（2，1）．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍，
∴S△BOC＝S△AOB，
∴×OB×|m|＝，
∴m＝﹣3或m＝3（舍去），
∴C（﹣3，6）．
综合以上可得点C的坐标为（2，1）或（﹣3，6）．（3）如图3，以OB为边的菱形OBDE中，
∵OB＝3，
∴周长为3×4＝12，
如图4，以OB边的菱形OBDE中，同理周长为12．
如图5，以OB为对角线的菱形ODBE中，
∵OB＝OA＝3，
∴∠OBA＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形ODBE为正方形，
∴BD＝3×．
∴四边形ODBE的周长为4×．
综上可得以O、B、D、E为顶点的菱形的周长为12或6．故答案为：12或6．
七、(本题12分)
24．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝，tan A＝＝3，∴AH＝1，CH＝3，
∵∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，
∴∠HCB＝∠CBH＝45°，
∴CH＝BH＝3，
∴BC＝CH＝3．
（2）①结论：∠EMF＝90°不变．
理由：如图2中，∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵DM＝MB，
∴ME＝BD，MF＝BD，
∴ME＝MF＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，∠MBF＝∠MFB，
∵∠DME＝∠MEB+∠MBE，∠DMF＝∠MFB+∠MBF，
∴∠EMF＝∠DME+∠DMF＝2（∠MBE+∠MBF）＝90°，
②如图2中，作CH⊥AB于H，由①可知△MEF是等腰直角三角形，
∴当ME的值最小时，△MEF的面积最小，
∵ME＝BD，
∴当BD⊥AC时，ME的值最小，此时BD＝＝＝，
∴EM的最小值＝，
∴△MEF的面积的最小值＝××＝．
故答案为．
八、(本题12分)
25．【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（﹣，）两点代入抛物线y＝ax2+bx中得：
，
解得：，
∴y＝﹣；
（2）如图1，∵A（﹣5，0），B（﹣，），
∴AO2＝52＝25，AB2＝＝＝，OB2＝＝，∴AB2+OB2＝OA2，
∴△AOB是直角三角形，且∠ABO＝90°，
当△AOC与△AOB全等，如图1，分两种情况：
①在x轴的上方，由对称得：C1（﹣，）；
②在x轴的下方，同理得：C2（﹣，﹣），C3（﹣，﹣）；
综上，点C的坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；
（3）分两种情况：
①当直线DF经过△HMN的重心P时，如图2，
连接NL，
∵LM＝LH，且△HMN是等边三角形，
∴P在LN上，
由题意得：OD＝t，AH＝2t，
由（2）知：AB＝，OA＝5，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
Rt△LAH中，∴LH＝2t，HN＝4t，
∴LN＝6t，
∵FD⊥x轴，HM⊥x轴，
∴∠LHD＝∠PDH＝∠PLH＝90°，
∴四边形PLHD是矩形，
∵P是重心，
∴PL＝DH＝2t，
∵OA＝AH+DH+OD＝5，
∴2t+2t+t＝5，
解得：t＝1；
②当直线DG经过△HMN的重心P时，如图3，
∵DP∥MN，
∴，
∵LH＝LM，
∴，
∵LP∥DH，
∴，
∴，
解得：t＝，
综上，t的值是1s或s．故答案为：1s或s．。