2019-2020学年天津市河西区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知O e 的半径为6cm ，点P 到圆心O 的距离为6cm ，则点P 和O e 的位置关系是( )
A ．点P 在圆内
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆外
D ．不能确定
2．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）半径为3的圆中，30︒的圆心角所对的弧的长度为( )
A ．2π
B ．32π
C ．34π
D ．12π 4．（3分）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率
是( )
A ．15
B ．13
C ．35
D ．16
5．（3分）如图，ABC ∆与DEF ∆是位似图形，相似比为2:3，已知3AB =，则DE 的长为
( )
A ．72
B ．92
C ．83
D ．163
6．（3分）如图，AB 为O e 的直径，C ，D 为O e 上的两点，
且C 为¶AD 的中点，若20BAD ∠=︒，
则ACO ∠的度数为( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．60︒
7．（3分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC ∆相
似的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）直线41y x =-+与抛物线22y x x k =++只有一个交点，则k 的值为( )
A ．0
B ．2
C ．6
D ．10
9．（3分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，则下列结论错误的是( )
A ．CD AC A
B B
C =g g B ．2AC A
D AB =g C ．2BC BD AB =g D ．AC BC AB CD =g g
10．（3分）顺次连接边长为6cm 的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于( )
A 2813
B ．2363cm
C ．2183cm
D 293 11．（3分）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，得到AD
E ∆，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是( )
A ．A
B ED = B ．EA B
C ⊥ C ．902B α∠=︒-
D ．902EAC α
∠=︒+
12．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合．现将EFG ∆沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和EFG ∆重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共6小題，每小题3分，共18分）
13．（3分）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是 ．
14．（3分）如图所示，写出一个能判定ABC DAC ∆∆∽的条件 ．
15．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，
且DE 把ABC ∆分成面积相等的两部分．若4AD =，则DB 的长为 ．
16．（3分）已知：如图，PA ，PB ，DC 分别切O e 于A ，B ，E 点，若0PA l cm =，则PCD
∆
的周长为 ．
17．（3分）二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则m 的值为 ．
x 2-
1- 0 1 2 3 4 y 7 2 1- 2-
m 2 7 18．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，将射线AC 绕点A 按顺时针方向旋转α度(0360)α<︒…，得到射线AE ，点M 是点D 关于射线AE 的对称点，则线段CM 长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程：27300x x --=．
20．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球的标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4．
21．（10分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相
切于点D ，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
（1）如图①，连接AD ，若25CAD ∠=︒，求B ∠的大小；
（2）如图②，若点F 为¶AD 的中点，O e 的半径为2，求AB 的长．
22．（10分）如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且
5
3
AE
DE
=，CE交BD于
点F．
（Ⅰ）若15
BF=，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，8
AB=，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
23．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD AM
…，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若20
a=米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若70
a=米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
24．（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，90
BAC AGF
∠=∠=︒，若ABC
∆固定不动，AFG
∆绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：ABE DCA
∆∆
∽；
（2）在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
25．（10分）在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
（3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求35
PE PA +的最小值．
2019-2020学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知O
e的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和O
e的位置关系是()
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【解答】解：O
Q e的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，
即6
OP=，
∴点P在O
e上．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是()
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）半径为3的圆中，30︒的圆心角所对的弧的长度为()
A．2πB．3
2
πC．
3
4
πD．
1
2
π
【解答】解：弧长
303
1802
ππ
==
g g
，
故选：D．
4．（3分）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率
是( )
A ．15
B ．13
C ．35
D ．16
【解答】解：列表如下：
共有6636⨯=种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种， 所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率61366
=
=． 故选：D ．
5．（3分）如图，ABC ∆与DEF ∆是位似图形，相似比为2:3，已知3AB =，则DE 的长为
( )
A ．72
B ．92
C ．83
D ．163
【解答】解：ABC ∆Q 与DEF ∆是位似图形，相似比为2:3，
ABC DEF ∴∆∆∽，
∴23AB DE =，即323
DE =， 解得，92DE =
， 故选：B ．
6．（3分）如图，AB 为O e 的直径，C ，D 为O e 上的两点，
且C 为¶AD 的中点，若20BAD ∠=︒，则ACO ∠的度数为( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．60︒
【解答】解：AB Q 为O e 的直径，C 为¶AD 的中点，
OC AD ∴⊥，
20BAD ∠=︒Q ，
9070AOC BAD ∴∠=︒-∠=︒，
OA OC =Q ， 180180705522AOC ACO CAO ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒， 故选：C ．
7．（3分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC ∆相
似的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：根据题意得：223110AB +=2AC =，22112BC =+= ::25BC AC AB ∴=，
A 、三边之比为25ABC ∆相似；
B 2223，图中的三角形（阴影部分）与AB
C ∆不相似； C 、三边之比为522ABC ∆不相似；
D 、三边之比为2:5:13，图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆不相似． 故选：A ．
8．（3分）直线41y x =-+与抛物线22y x x k =++只有一个交点，则k 的值为( )
A ．0
B ．2
C ．6
D ．10
【解答】解：根据题意得：2241x x k x ++=-+，
即26(1)0x x k ++-=，
则△364(1)0k =--=，
解得：10k =．
故选：D ．
9．（3分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，则下列结论错误的是( )
A ．CD AC A
B B
C =g g B ．2AC A
D AB =g C ．2BC BD AB =g D ．AC BC AB CD =g g
【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD AB AC BC =g g ，A 错误，符合题意，D 正确，不符合题意；
Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，
2AC AD AB ∴=g ，2BC BD AB =g ，B 、C 正确，不符合题意；
故选：A ．
10．（3分）顺次连接边长为6cm 的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于( )
A 2813
B ．2363cm
C ．2183cm
D 293 【解答】解：如图所示：作AP GH ⊥于P ，BQ GH ⊥于Q ，如图所示： GHM ∆Q 是等边三角形，
60MGH GHM ∴∠=∠=︒，
Q 六边形ABCDEF 是正六边形，
120BAF ABC ∴∠=∠=︒，正六边形ABCDEF 是轴对称图形，
G Q 、H 、M 分别为AF 、BC 、DE 的中点，GHM ∆是等边三角形，
3AG BH cm ∴==，60MGH GHM ∠=∠=︒，60AGH FGM ∠=∠=︒， 180BAF AGH ∴∠+∠=︒， //AB GH ∴，
Q 作AP GH ⊥于P ，BQ GH ⊥于Q ，
6PQ AB cm ∴==，906030PAG ∠=︒-︒=︒， 13
22
PG AG cm ∴=
=， 同理：3
2
QH cm =，
9GH PG PQ QH cm ∴=++=， GHM ∴∆的面积223813GH cm =
=； 故选：A ．
11．（3分）如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，得到ADE ∆，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是( )
A ．A
B ED =
B ．EA B
C ⊥
C ．902
B α
∠=︒-
D ．902
EAC α
∠=︒+
【解答】解：Q 将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，
AB AD ∴=，BAD α∠=，
1809022
B αα︒-∴∠=
=︒-， 故选：C ．
12．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一
条直线上，点A 与点F 重合．现将EFG ∆沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点
F 与B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和EF
G ∆重叠部分的面积S 与运动
时间t 的函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当02t 剟时，2
(tan 60)32t t S t ︒=
=g g ，
即S 与t 是二次函数关系，有最小值(0,0)，开口向上， 当24t <…时，24(4sin 60)(4)[(4)tan 60]343(4)22t t S t ⨯⨯︒--︒=
-=--g g ，即S 与t 是二次
函数关系，开口向下， 由上可得，选项C 符合题意， 故选：C ．
二、填空题（本大题共6小題，每小题3分，共18分）
13．（3分）从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是 1
13
． 【解答】解：Q 没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，
∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是
415213
=， 故答案为
113
． 14．（3分）如图所示，写出一个能判定ABC DAC ∆∆∽的条件 2AC DC BC =g （答案不唯一） ．
【解答】解：已知ABC ∆和DCA ∆中，ACD BAC ∠=∠； 如果ABC DAC ∆∆∽，需满足的条件有： ①DAC B ∠=∠或ADC BAC ∠=∠；
②2AC DC BC =g ；
故答案为：2AC DC BC =g （答案不唯一）．
15．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且DE 把ABC ∆分成面积相等的两部分．若4AD =，则DB
的长为 424
- ．
【解答】解：//DE BC Q ， ADE ABC ∴∆∆∽，
DE Q 把ABC ∆分成面积相等的两部分，
ADE DBCE S S ∆∴=四边形，
∴1
2
ADE ABC S S ∆∆=， ∴
2
AD AB =
， 4AD =Q ，
42AB ∴=．
424DB AB AD ∴=-=-．
故答案为：424-．
16．（3分）已知：如图，PA ，PB ，DC 分别切O e 于A ，B ，E 点，若0PA l cm =，则PCD ∆的周长为 20cm ．
【解答】解：PA Q 、PB 分别切O e 于A 、B ， 10PB PA cm ∴==，
CA Q 与CE 为e 的切线， CA CE ∴=，
同理得到DE DB =，
PDC ∴∆的周长PD DC PC PD DB CA PC =++=+++ PDC ∴∆的周长20PA PB cm =+=，
故答案为20cm ．
17．（3分）二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则m 的值为
1- ．
x
2-
1-
0 1 2
3 4 y
7
2
1- 2-
m
2
7
【解答】解：根据图表可以得到， 点(2,7)-与(4,7)是对称点， 点(1,2)-与(3,2)是对称点，
∴函数的对称轴是：1x =，
∴横坐标是2的点与(0,1)-是对称点，
1m ∴=-．
18．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，将射线AC 绕点A 按顺时针方向旋转α度(0360)α<︒…，得到射线AE ，点M 是点D 关于射线AE 的对称点，则线段CM 长度的最小
值为 21- ．
【解答】解：如图所示：连接AM ．
Q 四边形ABCD 为正方形，
22112AC AD CD ∴=+=+ Q 点D 与点M 关于AE 对称，
1AM AD ∴==．
∴点M 在以A 为圆心，以AD 长为半径的圆上．
如图所示，当点A 、M 、C 在一条直线上时，CM 有最小值． CM ∴的最小值21AC AM =-'，
21．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）解方程：27300x x --=． 【解答】解：27300x x --=， (10)(3)0x x -+=， 100x -=，30x +=， 110x =，23x =-．
20．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和等于4． 【解答】解：（1）如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，
所有两次摸出的小球标号相同的概率为
41 164
=；
（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，
所以其概率为
3
16
．
21．（10分）在ABC
∆中，90
C
∠=︒，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若25
CAD
∠=︒，求B
∠的大小；
（2）如图②，若点F为¶AD的中点，O
e的半径为2，求AB的长．
【解答】解：（1）连接OD，
OA
Q为半径的圆与BC相切于点D，
OD BC
∴⊥，
90
ODB
∴∠=︒，
Q在ABC
∆中，90
C
∠=︒，
ODB C
∴∠=∠，
//
OD AC
∴，
25
CAD ADO
∴∠=∠=︒，
OA OD
=
Q，
25OAD ODA ∴∠=∠=︒， 250BOD OAD ∴∠=∠=︒， 9040B BOD ∴∠=︒-∠=︒；
（2）连接OF ，OD ，
由（1）得：//OD AC ， AFO FOD ∴∠=∠，
OA OF =Q ，点F 为¶
AD 的中点， A AFO ∴∠=∠，AOF FOD ∠=∠， 60A AFO AOF ∴∠=∠=∠=︒， 9030B A ∴∠=︒-∠=︒， 2OA OD ==Q ， 24OB OD ∴==， 6AB OA OB ∴=+=．
22．（10分）如图①，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，且5
3
AE DE =，CE 交BD 于点F ．
（Ⅰ）若15
BF=，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，8
AB=，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）Q四边形ABCD是平行四边形，
//
AD BC
∴，AD BC
=，
Q
5
3 AE
DE
=，
∴
3
8
ED DF BC BF
==，
又B
Q15
F=，
∴815
3DF =，
∴
45
8 DF=；
（Ⅱ）解：能．
Q四边形ABCD是平行四边形，//
PB DC
∴，8
AB DC
==，
∴PA AE DC ED
=，
∴
5 83 PA
=，
40
3 PA
∴=．
23．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD AM
…，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若20
a=米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若70
a=米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）设AB xm =，则(1002)BC x m =-，由题意得： (1002)450x x -= 解得：15x =，245x =
当5x =时，10029020x -=>，不合题意舍去； 当45x =时，10021020x -=< 答：AD 的长为10m ； （2）设AB xm =，则 1
(100)2
S x x =
- 21
(50)12502x =--+，(070)x <…
50x ∴=时，S 的最大值是1250．
答：当50x =时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为1250．
24．（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，若ABC ∆固定不动，AFG ∆绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）． （1）求证：ABE DCA ∆∆∽；
（2）在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解答】（1）证明：45BAE BAD ∠=∠+︒Q ，45CDA BAD ∠=∠+︒， BAE CDA ∴∠=∠，
又45B C ∠=∠=︒，
ABE DCA ∴∆∆∽；
（2）解：成立．如图，将ACE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ABH ∆位置，
则CE BH =，AE AH =，45ABH C ∠=∠=︒，旋转角90EAH ∠=︒． 连接HD ，在EAD ∆和HAD ∆中， 45AE AH HAD EAD AD AD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ()EAD HAD SAS ∴∆≅∆．
DH DE ∴=．
又90HBD ABH ABD ∠=∠+∠=︒，
222BD BH HD ∴+=，即222BD CE DE +=．
25．（10分）在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
（3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求3
5
PE PA +的最小值．
【解答】解：（1）将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为2(1)2y a x =--，
1OA =Q ，
∴点A 的坐标为(1,0)-，代入抛物线的解析式得，420a -=， ∴12
a =， ∴抛物线的解析式为21(1)22y x =
--，即21322y x x =--． 令0y =，解得11x =-，23x =，
(3,0)B ∴，
4AB OA OB ∴=+=，
ABD ∆Q 的面积为5， ∴152
ABD D S AB y ∆==g ， 52D y ∴=，代入抛物线解析式得，2513222
x x =--， 解得12x =-，24x =，
5(4,)2
D ∴， 设直线AD 的解析式为y kx b =+， ∴5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1212
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为1122
y x =+． （2）过点E 作//EM y 轴交AD 于M ，如图，设213(,)22E a a a --，则11(,)22
M a a +，
∴221113132222222EM a a a a
a =+-++=-++， 22111311(2)1(34)22224
ACE AME CME S S S EM a a a a ∆∆∆∴=-=⨯=-++⨯=---g ， 21325()4216
a =--+， ∴当32a =时，ACE ∆的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为315(,)28
-． （3）作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，交x 轴于点P ，
315(,)28
E -Q ，1OA =， 35122AG ∴=+=，158
EG =， ∴5
42153
8
AG EG ==， 90AGE AHP ∠=∠=︒Q
3sin 5PH EG EAG AP AE ∴∠=
==， ∴35
PH AP =，
E Q 、
F 关于x 轴对称， PE PF ∴=，
35
PE AP FP HP FH ∴+=+=，此时FH 最小， 1515284
EF =⨯=Q ，AEG HEF ∠=∠， ∴4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF ∠=∠=
==， ∴4
15
354FH =⨯=．
3
5PE PA ∴+的最小值是3．。