广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题

华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}
11N x x =∈-<<R ，则M N =（ ）
A ．{}
01x x ≤≤
B ．{}
01x x ≤<∣
C ．{}
12x x <≤∣
D {}
12x x -<<
2．复数2021
3i z i
=+在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l ⊥m 是//m α的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）
A ．
815
B ．
920
C ．
35
D ．
910
5．已知a ，b 是两个夹角为
3
π
的单位向量，则kb a -的最小值为（ ）
A ．
14 B ．
12
C ．
34
D 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷
达所能发现目标的最大直视距离L =
=（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径．考虑到电磁波的弯 曲、折射
等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390kon 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：
4.12≈）
A ．6400m
B ．7200m
C ．8100m
D ．10000m
7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则直线PF 的倾斜角为（ ）
A ．α
B ．2α
C ．πα-
D ．2απ-
8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=
+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭图象的
连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A ．,2π⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．,4π⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合
题目要求的，全部选对得5分，对而不全得3分，只要有一项选错，即得0分．
9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，
()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）
A ．2是()f x 的周期
B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴
C ．() 20212f =
D ．方程1
()2
f x x =
只有4个实根 10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．
114a b
+≤
B ．22a
b
+≥
C ．22log log 1a b ⋅≤
D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=相切
11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==．若AC ，
BC 与平面x 所成的角分别为512π，4
π
，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2
C ．四面体ABC
D 体积的最大值为
D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π
12．已知函数sin cos ()e
e x
x f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
是增函数
B ．4f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是奇函数
C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点
D ．设()()2
f x
g x x =，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫
> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+，根据最小二乘法计算可得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_________万元．
14．4
2212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中，2
x 的系数是_________．
15．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线
平行，且1
PO FO =，其中O 为坐标愿点，则双曲线C 的离心率e =_________
16．已知数列{}n a 的前n 项和24
33
n n S a n =
+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取
值范围为__________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：
21a b =，238b b a -=． （1）证明数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设121
1
n
n n n b b b T a a a -=
+++
，求n T ． 18．（本小题满分12分）
已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭
只能同时满足以下三个条件中的两个． ①函数()f x 的最大值是2；
②函数()f x 的图象可由函数2
2()cos
2sin cos sin 2222
x x x x
f x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4
π
．
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b =，
求
sin sin BAC
C
∠的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分
别为AC 、11A C 的中点
，PA PC ==，
11111A B B C PB ===114A C =．
（1）求证：PO ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值．
20．（本小题满分12分）．
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．
假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．
（1）若2
3
p =
，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部
门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知离心率为12
的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2
2:2(0)C y px p =>有相同的焦点F ，且
抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点．
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于A ，B 两点，与椭圆交于C ，D 两点，若ABP 的内切圆圆
心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()(1)(1)ln ,22
x f x a x a x a =--+->．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；
（3）记方程2
43ln 42
x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<。