2022-2023学年河南省南阳市内乡县九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
D. √8
A. √15
B. √4
C. √3
2
2. 一元二次方程5x2−2x+5=0的一次项系数是( )
A. 5
B. −2
C. 6
D. 2
3. 一元二次方程x2+x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 只有一个实数根
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则cosA的值为( )
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
5. 如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F.若AB：BC=5：3，DE=15，
则EF的长为( )
A. 6
B. 9
C. 10
D. 25
6. 用配方法解一元二次方程x2+4x−5=0，此方程可变形为( )
A. (x+2)2=9
B. (x−2)2=9
C. (x+2)2=1
D. (x−2)2=1
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE=3，则菱
形ABCD的周长为( )
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
8. 如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是( )
A. 32x+4x2=40
B. 32x+8x2=40
C. 64x−4x2=40
D. 64x−8x2=40
9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是( )
A. AD
AC =AE
AB
B. AE
AB
=DE
BC
C. ∠AED=∠B
D. ∠ADE=∠C
10. 如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为米．( )
A. 11
7B. 12
7
C. 13
7
D. 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是______．
12. 已知b
a =1
5
，则
a
a+b
=______．
13. 如图，
D 、
E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE//AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE S △COA
=1
25，则S
△BDE S △CDE
的值为______．
14. 如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的
平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AP
AQ 的值等于______．
15. 如图，在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC ，
CB 上移动，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，若AD =2，线段CP 的最小值是___________．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：(−2022)0+6×(−12
)+√8÷√2； (2)解方程：x 2+4x −2=0(公式法)．
已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=−1，求k的值．
18. (本小题9.0分)
在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，小聪采用了如下方法：如图，从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达D处，再右转90°走到E 处，使点B，C，E恰好在一条直线上，量的DE=20m，这样就可以求出河宽AB.请说明理由，并计算出结果．
19. (本小题9.0分)
求证：两角分别相等的三角形相似．
要求：①在给出的△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠C=∠C′，在AB边上截取AE=A′B′，以AE为边作∠AEF=∠B′，交AC于点F.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
②借助①中所作图形，证明：两角分别相等的三角形相似．(写出已知、求证和证明过程)
开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
21. (本小题9.0分)
为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不
变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价2元，销售量可增加10袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？(若农产品每袋进价25元，原
售价为每袋40元)
22. (本小题10.0分)
【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77页部分内容：
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC
的中点，根据画出的图形，可以猜想：
DE//BC，且DE=1
BC．
2
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
请完成教材的证明：
【结论应用】
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．
(2)如图2，四边形ABCD中，AD=BC，M是DC中点，N是AB中点，连接NM，延长BC、NM交于点E.若∠D+∠DCB=234°，则∠E的大小为______．
23. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，∠MPN=90°，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
(1)求证：△AEP∽△DPC；
(2)在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求AP的长；
(3)当△DPC的面积等于△AEP面积的2倍时，求tan∠APE的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、√15是最简二次根式，符合题意；
B、√4=2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、√3
2=√6
2
，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、√8=√4×2=2√2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：一元二次方程5x2−2x+5=0的一次项系数是−2．
故选：B．
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
3.【答案】A
【解析】解：在一元二次方程x2+x−1=0中，
a=1，b=1，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=1+4=5>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据根的判别式进行判断即可．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ<0时，原方程没有实数根；当Δ=0时，原方
程有两个相等的实数根；当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根．
4.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，
AB=√AC2+BC2=10，
∴cosA=AC
AB =6
10
=3
5
，
故选：A．
根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的前提．
5.【答案】B
【解析】解：∵l1//l2//l3，DE=15，
∴DE EF =AB
BC
=5
3
，即15
EF
=5
3
，
解得，EF=9，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x2+4x−5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
(x+2)2=9，
故选：A．
移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE=3，点E为线段CD的中点，
∴CD=2OE=6．
∴C
菱形ABCD
=4CD=4×6=24．
故选：C．
由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD=6．
8.【答案】B
【解析】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，
即32x+8x2=40．
故选：B．
设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB；
当AD
AC =AE
AB
时，△ADE∽△ACB．
故选：B．
由于∠DAE=∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF 于点N，则PM=1.6，
设FA=x米，由3FD=2FA得，FD=2
3
x=MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF//CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴PN PM =FA
EB
，
即PN
1.6=x
6
，
∴PN=4
15
x，
∵PN+MN=PM，
∴4 15x+2
3
x=1.6，
解得，x=12
7
，
故选：B．
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．11.【答案】x≥5
【解析】解：根据题意得：x−5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】1
6
【解析】解：∵b a =15，
∴a =5b ，
∴a a+b =a a+5a
=16； 故答案为：16．
根据已知条件得出a =5b ，再代入a a+b 进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：∵DE//AC ，
∴△DEO∽△CAO ，
∴S △DEO S △CAO =(DE AC )2=125
， ∴DE ：AC =BE ：BC =1：5，
∴BE ：EC =1：4，
∴S △BED ：S △DEC =14
，
故答案为：14．
由DE//AC ，推出△DEO∽△CAO ，可得S △DEO S △CAO
=(DE AC )2=125，推出DE ：AC =BE +BC =1：5，推出BE ：EC =1：4，即可求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14.【答案】23
【解析】解：∵AQ 平分∠BAC ，
∴∠BAQ =∠CAP ，
而∠ACD =∠B ，
∴△ABQ∽△ACP ，
∴AP AQ =AC AB ，
又∵AB=3，AC=2，
∴AP AQ =2
3
．
故答案为2
3
．
根据角平分线的定义得∠BAQ=∠CAP，而∠ACD=∠B，根据相似三角形的判定得到△ABQ∽△
ACP，由相似三角形的性质得到AP
AQ =AC
AB
，把AB=3，AC=2代入即可得到答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了角平分线的定义．
15.【答案】√5−1
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的最小值．【解答】
解：如图：
在△ADE和△DCF中，
{AD=DC
∠ADE=∠DCF DE=CF
，
∴∠DAE≌∠CDF(SAS)，∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CDF+∠AED=90°，∴∠DPE=∠APD=90°，
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=√CD2+QD2=√22+12=√5，
∴CP min=QC−QP=√5−1．
故答案为√5−1．
16.【答案】解：(1)原式=1−3+2
=0；
(2)∵a=1，b=4，c=−2，
∴Δ=42−4×1×(−2)=16+8=24>0，
=−2±√6，
则x=−4±√24
2×1
∴x1=−2+√6，x2=−2−√6．
【解析】(1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
(2)利用公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=32−4×1×(k−2)≥0，
，
解得k≤17
4
；
即k的取值范围是k≤17
4
(2)∵方程x2+3x+k−2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1=−3，x1x2=k−2，
∵(x1+1)(x2+1)=−1，
∴x1x2+(x1+x2)+1=−1，
∴k−2+(−3)+1=−1，
解得k=3，
即k的值是3．
【解析】(1)根据一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
(2)根据根与系数的关系和(x1+1)(x2+1)=−1，可以求得k的值．
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．
18.【答案】解：由题意可得：AB//DE，
则△ACB∽△DCE，
故AC
DC =AB
DE
，
∵AC=45m，DC=15m，DE=20m，
∴45 15=AB
20
，
∴AB=60m．
答：河宽AB为60m．
【解析】根据题意得出△ACB∽△DCE，进而利用相似三角形的性质进而求出即可．此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ACB∽△DCE是解题关键．
19.【答案】解：图形如图所示：
∵∠A=180°−∠B−∠C，∠A′=180°−∠B′−∠C′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
∴∠A=∠A′，
在△AEF和△A′B′C′中，
{∠A=∠A′
AE=A′B′
∠AEF=∠B′
，
∴△AEF≌△A′B′C′，
∵∠AEF=∠B′，∠B=∠B′，
∴∠AEF=∠B，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
【解析】根据要求作出图形，证明△AEF≌△A′B′C′，再证明EF//BC，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20.【答案】解：延长EF交DC于点H，
由题意得：
∠DHF=90°，EF=AB=15米，CH=BF=AE=1.5米，
设FH=x米，
∴EH=EF+FH=(15+x)米，
在Rt△DFH中，∠DFH=45°，
∴DH=FH⋅tan45°=x(米)，
在Rt△DHE中，∠DEH=34°，
∴tan34°=DH
EH =x
x+15
≈0.67，
∴x≈30.1，
经检验：x≈30.1是原方程的根，
∴DC=DH+CH=30.1+1.5≈32(米)，
∴拂云阁DC的高度约为32米．
【解析】延长EF交DC于点H，根据题意可得：∠DHF=90°，EF=AB=15米，CH=BF=AE=1.5米，设FH=x米，在Rt△DFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在Rt△DHE中，
利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设三、四这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：192(1+x)2=300，
解得：x1=1
4，x2=−9
4
(不合题意，舍去)，
答：三、四这两个月的月平均增长率为25%．
(2)设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：(40−25−m)(300+5m)=3250，
解得：m1=5，m2=−50(不合题意，舍去)．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【解析】(1)直接利用二月销量×(1+x)2=四月的销量进而求出答案．(2)首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量=总利润列出方程，再解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
22.【答案】27°
【解析】【教材呈现】
证明：在△ABC中，
∵点D，E分别是AB与AC的中点，
∴AD AB =AE
AC
=1
2
，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，DE
CB =AD
AB
=1
2
，
∴DE//BC，DE=1
2
BC；
【结论应用】
(1)证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点，
∴PM=1
2
BC，
∵点P，N分别是BD，AB的中点，
∴PN=1
2
AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM；
(2)解：连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，∵点M，N分别是CD，AB的中点，AD=BC，
∴PM=PN=1
2AD=1
2
BC，PN//AD，PM//BE，
∴∠PMN=∠PNM，
∵∠ADC+∠DCB=234°，
∴∠A+∠ABC=360°−∠ADC−∠DCB=126°，
∵PN//AD，PM//BE，
∴∠PNB=∠A，∠PMN=∠E，
∴∠E=180°−∠ABC−∠PNM−∠PNB=180°−∠ABC−∠E−∠A，即2∠E=180°−(∠A+∠ABC)=54°，
∴∠E=27°，
故答案为：27°．
【教材呈现】根据相似三角形的判定与性质得△ADE∽△ABC，则∠ADE=∠B，DE
CB =AD
AB
=1
2
，即
可证明结论；
(1)由三角形中位线定理可得PM=1
2BC，PN=1
2
AD，从而得出PM=PN，即可得出结论；
(2)连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，由(1)同理得∠PMN=∠PNM，再利用平行线的性质
和三角形内角和定理解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理的证明与应用，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠DPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC．
(2)点E与点B能重合，
如图2，设AP=x，
由题意得，AB=DC=4，AD=10，
∴DP=10−x，
由(1)得，△AEP∽△DPC，
当点E与点B重合时，则△ABP∽△DPC，
∴AP DC =AB
DP
，
∴x 4=4
10−x
，
解得，x1=2，x2=8，
经检验，x1=2、x2=8都是原方程的解且都符合题，∴AP=2或AP=8．
(3)如图3，设PD=m，则AP=10−m，
∵△AEP∽△DPC，
∴S△AEP S△DPC =(AP
DC
)2，
∵S△DPC=2S△AEP，
∴S△AEP S△DPC =1
2
，
∴(10−m
4)2=1
2
，
解得，m1=10−2√2，m2=10+2√2(不符合题意，舍去)，
∴PD=10−2√2，∵∠APE=∠DCP，
∴tan∠APE=tan∠DCP=PD
DC =10−2√2
4
=5−√2
2
．
【解析】(1)由矩形的四个角都是直角及同角的补角相等证明△AEP与△DPC有两组对应角相等，从而证明△AEP∽△DPC；
(2)点E与点B能重合，当点E与点B重合时，则△ABP∽△DPC，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出AP的长；
(3)由△AEP∽△DPC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列方程即可求出tan∠APE的值．此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、锐角三角函数及解直角三角形等知识与方法，解题的关键是根据矩形的性质和相似三角形对应边成比例及相似三角形面积的比等于相似比的平方列方程求出AP或PD的长，此题难度较大，属于考试压轴题．。