课时作业3 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时作业3　简单逻辑联结词、全称量词与存在量
词
时间：45分钟　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有实数x，都有f(x)≥f(x0)．因此
∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C..
答案：C
2．已知命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p为( )
A．∃x0∈R，x＋2x0＋2>0
B．∃x0∈R，x＋2x0＋2<0
C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0
解析：根据含有量词的命题的否定形式，所以该题中綈p为：
∀x∈R，x2＋2x＋2>0，∴D成立．
答案：D
3．已知p，q为两个命题，则“p是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p是真命题，无论q是真是假，“p∨q”必为真命题，
但“p∨q”为真命题，有可能p假q真，故为充分不必要条件．答案：A
4．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题可得p假q假，∴p∧q，p∨q均为假命题，綈p为真命题，选B.
答案：B
5．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断：
①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题
其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
解析：由题意知p假q真，故②④正确，选D.
答案：D
6．下列说法正确的是( )
A．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是：“∃x∈R，x2＋x＋1<0”
D．“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：A命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A错；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，但x2－5x－6＝0/⇒x＝－1，B错；C中命题的否定
为“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错；D正确．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．命题“∀x∈R，x2－x≥0”的否定是________．
解析：全称命题的否定为特称命题，故命题“∀x∈R，x2
－x≥0”的否定是“∃x0∈R，x－x0<0”．
答案：∃x0∈R，x－x0<0
8．若命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，
则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
答案：－2≤a≤2
9．已知命题p：“对于任意的实数x，存在实数m，使得4x－2x＋1＋m＝0”，且命题p是假命题，则实数m的取值范围为________．解析：设t＝2x>0，则f(t)＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数，则对于任意的实数x，有－4x＋2x＋1≤1，则命题p是真命题时，有m＝－4x＋2x＋1≤1.从而命题p是假命题时，实数m的取值范围为m>1.
答案：m>1
三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
10．(15分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：∃x∈R，|x|>0.
解：(1)綈q：∃x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
11．(20分)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
若∃x0∈R使f(x0)<b·g(x0)，求实数b的取值范围．
解：∵∃x0∈R，f(x0)<b·g(x0)，
∴∃x0∈R，x－bx0＋b<0，
因此实数b的取值范围是b<0或b>4.
——创新应用——
12．(20分)设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：命题p：Δ＝16－4a2<0⇒a>2或a<－2.
命题q：∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，
∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.
命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．
①若p真q假，则
⇒2<a<6；
②若p假q真，则⇒－2≤a≤－1，
综合①②，实数a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．。