高三数学查漏补缺专题训练：几何证明

B
D C B
高三数学查漏补缺专题训练：几何证明
一、填空题
1. 在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则
222111h
b a =+.类比这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=
c ，此三棱锥P —ABC 的高为h ，则结论为
______________
2. 若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2
= _____ .
3.（几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且
04,45AB ACB =∠=， 则圆O 的面积等于 ．
4. 如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ．若CD =AB=BC=3，则BD 的长为
；AC 的长为 ．
二、解答题
5. 如图，设矩形ABCD （AB>AD ）的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P . 设AB=x, 求△ADP 的最大面积及相应的x 值.
6. 如图、空间四边形A B C D 中，H G F E ,,,分别是线段DA CD BC AB ,,,的中点，且AD AB =，CB CD =,证
明：四边形E
F G H 为矩形。

7. △ABC 中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且│AB │2=│AD │2+│BD │·│DC
│．用解析法证明：△ABC 为等腰三角形．
A B
C
D
E F
G
H
8. △ABC 的内心为I ，三角形内一点P 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB ．求证， AP ≥AI ，而且等号当且仅当P=I
时成立．
9. 直角三角形ABC 中，,E F 分别是直角边,AB AC 上的任意点，自A 向,,,BC CE EF FB
引垂线，垂足分别是,,,M N P Q . 证明：,,,M N P Q 四点共圆.
10. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的
外接圆的切线, 设 BC BN λ=, 试求 BM
MN
(用 λ 表示).
11. 一个正方形被剖分为4个正方形，剖分图的边数为12，若一个正方形被剖分为2005个凸多边形，试求剖分
图中边数的最大值。

12. （10分）选修4－1：几何证明选讲
已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点， ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D . （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB AC =，求
AC
BC
的值.
答案
一、填空题 1.
22221111a b c h ++=．解析： PA 、PB 、PC 两两互相垂直,∴PA ⊥平面PBC. 由已知有:PD=22c
b b
c +, .22PD
a PD
a PO h +⋅==22222
22
222
a c c
b b a
c b a h ++=∴ 即22221111a b c h ++=. 2. 50.
解析： αcos 22
22⋅⋅-+=HG EH HG EH EG ，
()απ-⋅⋅-+=cos 2222HG EH HG EH FH ，
222225HG EH ⋅+⋅=∴， .5022=+∴BD AC
3. 3
2
x ≤-且2-≠x .
解析:1
12x x +≥+23
02)2()1(0
22122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨
⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x . 4. 4
二、解答题 5. 解析： ∵AB=x, ∴AD=12－x. ………………1分
又'
DP PB =，于是''
AP AB PB AB DP x DP =-=-=-. ………………3分
由勾股定理得 222
(12)(),x DP x DP -+=- 整理得7212.DP x
=- …………5分 因此ADP 的面积 1172432(12)(12)108(6)2
2
S AD DP x x x
x
=
⋅=
--
=-+
. ……8分
由120,72
120x x
->->⎧⎪⎨⎪⎩ 得612.x << ………………9分
∴4326x x
+
≥= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴
432
108(6)108S x x =-+≤- ………………11分
当且仅当432
6x x
=
时，即当x =(6,12)∈时，S
有最大值108- ……12分
答：当x =ADP
的面积有最大值108- ………………13分
x
6. 证明：
H G F E ,,,分别是线段DA CD BC AB ,,,的中点 ∴AC GH AC EF 2
1//,2
1//∴GH EF //
由此可知，四边形E
F G H 是平行四边形。

————（5分） 设BD 的中点O ,连结OC OA ,。

CD CB AD AB ==,，∴BD CO BD AO ⊥⊥,
又O CO AO =⋂，
∴AOC BD 平面⊥又AOC AC 平面⊂
∴AC BD ⊥ BD FG AC EF //,//，∴FG EF ⊥
由此可知，平行
E F G H 是矩形。

————（10分）
7. 解析：作AO BC ⊥，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．
设(0,)A a ，(,0)B b ，(,0)C c ，(,0)D d ．
因为22||||||||AB AD BD DC =+⋅，
所以，由距离公式可得2222()(b a d a d b c +=++--()()()()d b b d d b c d --+=-- 0d b -≠ b d c b --=- b c -=
所以，ABC ∆为等腰三角形．
8. 证明：∠PBC+∠PCB=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB ，故∠PBI=∠PCI ，从而 P ，B ，C ，I 四点共圆．但由内外角平分线相垂直知 B ，C ，I 与 BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT 是这个圆的直径，IT 的中点O 为圆心．由于A ，I ，T 共线(∠BAC 的平分线)，且 P 在圆周上，AP+PO ≥AO=AI+IO ， PO=IO ，故AP ≥AI ．
等号当且仅当P 为线段AO 与圆周的交点即P=I 时成立．
9. 证明：,,,A E N P 共圆,,,,,CNP EAP AFP A N M C ∴∠=∠=∠ 共圆，
,CNM CAM ∴∠=∠又,,,A B M Q 共
圆,,MQB MAB ∴∠=∠由,,,A P Q F 共圆，得
.PQB FAP ∠=∠所以
D
B
C
()()MNP MQP CNM CNP MQB PQB ∠+∠=∠+∠+∠+∠=
()()()()CAM AFP MAB FAP CAM MAB AFP FAP ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠
9090180.=︒+︒=︒故,,,M N P Q 共圆.
10. 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得
1BM NA CD
MN AC DB
⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以
BM AC
MN AN
=． ……………… 6分
由 ABN ACB ∠=∠，知
ABN ∆ ∽ ACB ∆，则
AB AC CB
AN AB BN
==． 所以，2
AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪
⎝⎭， 即 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=BN BC MN BM ． 又 BC BN λ=， 故 2BM
MN
λ=． …………………… 15分 11. 解析：由欧拉定理可知，简单多面体的顶点数a ，面数b ，棱数e 有关系：2=-+e b a
由欧拉定理容易看出，若一个凸多边形被剖分为n 个凸多边形，则剖分图中的顶点数a ，多边形数n ，边数e 有关系： 1=-+e n a （1）
下面在一般的情况下，即正方形被剖分为n 个凸多边形时，求剖分图中边数的最大值，设剖分图中的顶点数为a ，多边形数为n ，边数为e
（一）先求边数的上界
设原正方形的4个顶点是D C B A ,,,，若凸多边形的顶点V {}D C B A ,,,∉则易知 ()v d ≥3（这里用()v d 表示通过顶点v 的边数）
，于是有 ()v d ≤()[]23-v d 这样的顶点v 有4-a 个，于是有4-a 个上面的不等式，将它们相加求和，并注意到除去正方形四边的每条边
恰是两个凸多边形的边，有
()()()()[]D d C d B d A d e +++-2
≤()()()()()[]()4623--+++-a D d C d B d A d e 即有 e 4≥()()()()[]()462-++++a D d C d B d A d 因为 ()A d ≥2，()B d ≥2，()C d ≥2，()D d ≥2，
所以 e 2≥()43438-=-+a a （2） 由公式（1），有
A
B
C
D
N
M
1=-+e n a ，
3333=-+e n a （3）
将（2）式代入（3）式，并整理有
n a e 3333+=+≤n e 342++
e ≤13+n （4）
（二）构造例子，使边数13+=n e
过正方形的一边相继作1-n 条邻边的平行线，正方形被剖分为n 个矩形，
易知，边数
()13134+=-+=n n e
综合两方面，剖分图中边数的最大值为13+n ，所以正方形剖分为2005个凸多边形的边数最大值为.6016 12. 解析：A. AC 为圆O 的切线,∴EAC B ∠=∠，
又DC 是ACB ∠的平分线, ∴DCB ACD ∠=∠， ∴ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，
即 AFD ADF ∠=∠，…………………………4分 又因为BE 为圆O 的直径, ∴90BAE ∠=︒ ∴1
(180)452
ADF BAE ∠=︒-∠=︒………………6分
（2） EAC B ∠=∠,ACB ACB ∠=∠,∴ACE ∆∽ABC ∆，∴
AB
AE
BC AC =，…8分 又 AB AC =, ∴B ACB ∠=∠,∴B ACB EAC ∠=∠=∠ 由90BAC ∠=︒及三角形内角和知，30B ∠=︒ ∴在Rt ABE ∆中,
3
3
30tan tan =
︒=∠==B AB AE BC AC ………………………10分。