广西2021-2021年高三上学期期末考试数学(理)试题及答案

期末考试 高三理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.若集合22{|log (6)},M x y x x ==-++2{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =
（ ）
A. (2,)-+∞
B. (2,3)-
C. [1,3)
D. R
2．已知随机变量X 服从正态分布2
(1,)N σ，若(22)(34)P X a P X a >-=<+，则a =
（ ） A. 6- B. 25-
C. 1
5
- D. 0 3. 执行图中所给的程序框图，则运行后输出的结果是（ ） A.3B.3- C.2- D. 2
4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
5.从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（ ） A.
119 B. 1718 C. 419 D. 2
17
6.若0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A. 11a b b a +
>+ B. 11a b a b +>+ C. 11b b a a +>+ D. 22a b a a b b
+>+ 7. 由直线x y 2=及曲线224x y -=围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．3 C ．6 D ．9
8.某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图 都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．3
4π
B ．π3
C ．π23
D ．π
9.若执行右面的程序框图，则输出的k 值是 A ．4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为
M ，且5||=PM ，设抛物线的焦点为F ，则M PF ∆的面积
为
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
11. 实数y x ,满足条件⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧∈∈≥+-≤-+**
02204N y N x y x y x ，则y x z -=的最小值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
31n n =+
开始 n =3，k =0 n 为偶数
n =8
输出k 结束
k =k +1 是 否
是
否
2
n
n =
12.已知函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若),3(log )3(log ),3(33.03.0ππf b f a ⋅=⋅=
)9
1
(log )91(log 33f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知2z x y =+，,x y 满足,
2,,y x x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是____.
14.抛物线214y x =的焦点F 到双曲线
2
214
x y -=渐近线的距离为_______. 15.已知()()6
27
012712(1)(1)...(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则3a =_______.
16.设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=，当
z
xy
取最小值时，则4x y z +-的最大值为_______.
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）
已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边长，且.5
3
cos cos c A b B a =- （Ⅰ）求
B
A
tan tan 的值； （Ⅱ）若︒=60A ，求2
22sin c b a C
ab -+的值.
18．（本小题满分12分）
为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再
冷”
冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：
到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人
30人
50人
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面
ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=，//AD BC ，
2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角A PD E --的余弦值．
E B
C
20．（本小题满分12分）
平面直角坐标系xOy 中，经过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点的直线
30x y --=与C 相交于,M N 两点，P 为MN 的中点，且OP 斜率是1
4
-．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)直线l 分别与椭圆C 和圆D ：222()x y r b r a +=<<相切于点A B 、，求||AB 的
最大值．
21.已知正项数列{}{}n n a b 、中，111,2a b ==，n a ，n b ，1n a +成等比数列，n b ，1n a +，1n b +成等差数列，(1)证明
{}
n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）令41
41
n n n a c a +=
-，前n 项和为n S ，求使2016n S <的最大自然数n 22. 如图，分别过椭圆E ：
)0(12
22
2>>=+b a b y a x 左右焦点1F 、
2F 的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B
与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1k 、2k 、
A
O
P
C
B
x
y
1
l 2l 1
F 2
F
3k 、4k 满足4321k k k k +=+．已知当l 1与x 轴重合时，32||=AB ，3
3
4||=
CD ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）是否存在定点M 、N ，使得||||PN PM +为定值．若存在，求出M 、N 点坐标，若不
存在，说明理由．
答案：1C 2D 3B 4B 5D 6A7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．B 13.
14 14.
255 15.25- 16.3
2
17．解：（Ⅰ）由正弦定理
C c B b A a sin sin sin =
=，得,sin 5
3
cos sin cos sin C A B B A =- 又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
,cos sin 58cos sin 52A B B A =∴可得.4cos sin cos sin tan tan ==A
B B
A B A …………(6分) （Ⅱ）若︒=60A ，则3tan =A ，得,4
3tan =B ab
c b a C 2cos 2
22-+= ，
23
51tan tan tan tan 21)tan(21tan 2
1cos 2sin sin 222-
=-+⋅=+-===-+∴
B A B A B A
C C C c b a C ab … (12分)
18. 解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
51
5010
= 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有1
20210
⋅=人， 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有1
30310
⋅
=人，……2分 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257
110
C P C =-=………4分
（Ⅱ）女生志愿者人数0,1,2X =
则2
1222033
(0)95
C P X C ===1112822048(1)95C C P X C ===
2822014
(2)95
C P X C ===……………9分
∴X 的分布列为……………10分
X 0 1 2
P
33
95 4895
1495 ∴X 的数学期望为33481476()01295959595
E X =⋅+⋅+⋅=……………12分 19. （Ⅰ）证明：侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90PAB ABC ∠=∠=，//AD BC ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AD AB ⊥，如图，以点A 为坐标原点，分别以直线AD ，
AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. ………………………………2分
设22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点，则有，(0,0,2)P ，(1,0,0)D ，
(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(1,1,1)E ，于是(0,1,1)DE =，(0,2,2)PB =-，(2,2,2)PC =-，
因为0DE PB •=，0DE PC •=，所以DE PB ⊥，DE PC ⊥，且PB
PC P =，
因此DE ⊥平面PBC …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面PAD 的一个法向量为
(0,2,0)AB ==1n ，设平面PCD 的法向量为 2(,,)x y z =n ，(1,0,2)PD =-，(2,2,2)PC =-，
则220,0,
PD PC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 所以20,
2220,
x z x y z -=⎧⎨
+-=⎩
不妨设1z =，则2(2,1,1)=-n ，
x y
E B
A
C
P
D
于是1226
cos ,662
-<>==-⋅n n ， …………………………………………………10分
由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角A PD E --的余弦值为6
6
-．……………12分
20. 解：（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则
121214y y x x +=-+，12
12
1y y x x -=-，2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，
由此可得2
12122121214
y y y y b a x x x x +-=-⋅=+-，224a b =，
又由题意知，C 的右焦点是(3,0)，故2
2
3a b -=，
因此2
4a =，2
1b =，所以椭圆C 的方程是2
214
x y +=；…………（6分） （2）设,A B 分别为直线l 与椭圆和圆的切点，00(,)A x y ，
直线l 的方程为：y kx m =+，代入2
214
x y +=得 222(14)8440k x kmx m +++-=，
判别式0∆=，得22
14m k =+①，
02
4414km k x k m =-=-+，220041
k m y kx m m m
-=+=-= 直线l 与2
2
2
x y r +=相切，所以2
1r k
=
+，
即2
2
2
(1)m r k =+，再由①得22
214r k r -=-，22
2
34r m r
=-，
222200||AB x y r =+-222161k r m +=-2222
2
1161434r r r r
r -+-=--2245()r r =-+， 因为
442422
2
2=⋅≥+r r
r r ，当2(1,2)r 时取等号，所以2245()1r r -+≤， 因此当2(1,2)r =时，||AB 的最大值是1．…………（12分） 21．（1）证明略 2*()n a n n N =∈ （2）2021
22.（1）22
132
x y += （2）(0,1),(0,1)-。