等腰三角形和直角三角形

等腰三角形和直角三角形
知识点一、等腰三角形
1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形
⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称
【谈重点】
1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。

2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角。

4、等边三角形的性质：
⑴等边三角形的每个内角都都等于。

⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴
等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【谈重点】 1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形
知识点三、直角三角形
1、勾股定理和它的逆定理
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
2、直角三角形的性质
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半
3、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形
⑵有两个角的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
考点三：等腰三角形性质的运用
例3 （2013•武汉）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）
A．18°B．24°C．30°D．36°
3．（2013•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．
考点四：等边三角形的判定与性质
例4 （2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
4．（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
考点六：直角三角形
例6 （2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）
A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm
6．（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）
A．2 B．23C．
3
3
+1 D．3+1
考点七：勾股定理
例7 （2013•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．
一、选择题
1．（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2013•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）
A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°
3．（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，
再分别以M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的
个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）
A．15
7
B．
12
5
C．
20
7
D．
21
5
5．（2013•德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．52C．53D．6
6．（2013•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）
A．
3
4
B．
33
4
C．
9
4
D．
93
4
7．（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE 的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13
9．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）
A．3
2
B．
5
2
C．3 D．4
10．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
二、填空题
1．（2013•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．
2．（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
3．（2013•资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．
4．（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为．
三、解答题
（2013•威海）操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决，将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
1．（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2013•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）
A．70°B．55°C．50°D．40°
3．（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）
A．5 B．7 C．5或7 D．6
4．（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）
A．B．C．D．
5．（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．
6．（2013•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．
7．（2013•漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．
8．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．
9．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．。