核反应堆物理分析习题答案 第三章

第三章

1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为122110cm s --⋅。自右面入射的中子束强度为1221210cm s --⨯⋅。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度；

（3）设2119.210a m -∑=⨯，求该点的吸收率。

解：（1）由定义可知：1221310I I cm s φ+---=+=⨯

（2）若以向右为正方向：12

21

110J I I cm s +

-

--=-=-⨯ 可见其方向垂直于薄片表面向左。

（3）2122133119.21031010 5.7610a a R cm s φ---=∑=⨯⨯⨯⨯=⨯

2.设在x 处中子密度的分布函数是：0(,,)(1cos )2x aE

n n x E e e λμπ

-Ω=

+ 其中：,a λ为常数， μ是Ω与x 轴的夹角。求： （1） 中子总密度()n x ；

（2） 与能量相关的中子通量密度(,)x E φ; （3） 中子流密度(,)J x E 。

解：由于此处中子密度只与Ω与x 轴的夹角相关，不妨视μ为视角，定义Ω在Y Z -平面影上与Z 轴的夹角ϕ为方向角，则有：

（1） 根据定义：

004()(1cos )2x aE

n n x dE e e d λπμπ

+∞

-=

+Ω⎰⎰

20000(1cos )sin 2x aE

n dE d e e d ππλϕμμμπ

+∞-=+⎰⎰⎰

00

(1cos )sin x aE

n e

e dE d π

μμμ+∞

-=+⎰

⎰

可见，上式可积的前提应保证0a <，则有：

0000()()(sin cos sin )aE x e n x n e d d a π

πλ

μμμμμ-+∞=⎜+⎰⎰ 0002(cos 0)x x n e n e a a

λλπ

μ--=--⎜+=-

（2）令n m 为中子质量，则2/2()n E m v v E =⇒=

04(,)(,)()(,,)2x x E n x E v E n x E d n e e λπ

φ-==ΩΩ=

（等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得：

cos sin cos μθϕ=

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

240

(1cos )(1sin cos )sin d d π

π

μθϕθθ+Ω=+⎰⎰

2220

sin cos sin d d d d π

πππ

ϕθθϕϕθθ=

+⎰

⎰⎰⎰

00

2(cos )(2sin cos )404d π

π

πθπ

μμμππ=- +=+=⎰

对比：

2400

(1cos )(1cos )sin d d d ππ

π

μϕμμμ+Ω=+⎰⎰⎰

220

sin sin cos d d d d π

πππ

ϕμμϕμμμ=

+⎰

⎰⎰⎰

00

2(cos )(2sin cos )404d π

π

πμπμμμππ=- +=+=⎰

可知两种方法的等价性。）

（3）根据定义式：

4

4

(,)(,,)(,,)()J x E x E d n x E v E d ππφ=

ΩΩΩ=ΩΩΩ⎰⎰

20

cos (1cos )sin 2d d π

π

ϕμμμμπ

=

+⎰

⎰

200

cos sin cos sin )x n e

e

d d ππ

λμμμμμμ-=+⎰⎰

利用不定积分：1cos cos sin 1

n n

x

x xdx C n +=-++⎰（其中n 为正整数），则：

300cos (,))3x J x E n e e πμ-=-⎜=

6．在某球形裸堆（R=0.5米）内中子通量密度分布为

. 1721510()sin()()r

r cm s r R

πϕ--⨯= 试求：

（1）(0)φ;

（2）()J r 的表达式，设2

0.810D m -=⨯；

（3）每秒从堆表面泄露的总中子数（假设外推距离很小，可略去不济）。

解：（1）由中子通量密度的物理意义可知，φ必须满足有限、连续的条件

∴ 1700510(0)lim ()lim

sin()r r r

r r R

πϕϕ→→⨯== 170510lim

r r

r R

π→⨯=⋅ 17510R π=⨯⋅ 183.1410=⨯ 21

cm s --

（2） 中子通量密度分布：17510()sin()r

r r R

πϕ⨯= 21cm s -- ⇒ ()J r Dgrad ϕ=-

()r D e r

ϕ→

∂=-∂ （e →为径向单位矢量） ⇒ 1717

2

2

510510()0.810s i n ()c o s ()r r J r e r R r R R πππ→-⎡⎤-⨯⨯=-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦ 15

212410sin(2)cos(2)r r e r r πππ→

⎡⎤=⨯-⎢⎥⎣⎦

（3）泄漏中子量=径向中子净流量×球体表面积