高中数学圆锥曲线与向量的交汇(解析版)

圆锥曲线与向量的交汇
一、考情分析
平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条
件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍
(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u 为直线l 的方向向量,若u =1,k ,则l 斜率为k ；若u =m .n (m ≠0),则l 斜率为n m
；
2.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A 、B 、C 共线:①AB =λAC ;②OC
=λOA +
μOB 且λ+μ=1;③OC =(OA +λOB
)/(1+λ)；④AB ∥AC .
3.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C 为线段AB 的中点:①AC =CB ;②OC =
12
(OA +OB ).
4.在四边形ABCD 中,若AB ∙AC =0,则AB ⊥AC ;若∣AB +AD ∣=∣AB -AD ∣,则AB ⊥AD ;若AB
∙AC =AD ∙AC
,则AC ⊥BD .5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向
量a
=x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.
6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.
7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐标的表达式.【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P 在x 轴的投影为
Q ,且PM ⋅PN
=3PQ 2,记动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程.
(2)过点F 26,0 的直线与曲线C 在y 轴右侧相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
H ,试问AB
FH
是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】(1)设P x ,y ,则Q x ,0 ,PM =-x ,-4-y ,PN
=-x ,4-y ,PQ =0,-y .
因为PM ⋅PN
=3PQ 2,所以x 2+y 2-16=3y 2,
故C 的方程为x 2
16-y 28
=1.
(2)由题可知直线AB 的斜率一定存在,且不为0,
不妨设直线AB 的方程为y =k x -26 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .
联立方程组y =k (x -26)
x 216-y 2
8
=1
,消去y 整理得1-2k 2 x 2+86k 2x -48k 2-16=0,
则Δ=384k 4+1-2k 2 192k 2+64 >0x 1+x 2=-86k 2
1-2k 2
>0x 1x 2=-48k 2-16
1-2k 2>0 ,整理得k 2>12.x 1+x 22=-46k 21-2k 2,y 1+y 22=-26k
1-2k 2
,则线段AB 的垂直平分线的方程为y +26k 1-2k 2=-1k x +46k 2
1-2k 2
,
令y =0,得x =-66k 21-2k 2,则H -66k 2
1-2k 2,0
,
FH =26+
66k 2
1-2k 2
=261+k 2 1-2k 2
.AB =1+k 2⋅
x 1+x 2
2
-4x 1x 2
=1+k 2
⋅-86k 21-2k 2 2-4⋅-48k 2-161-2k 2
=1+k 2
⋅
384k 41-2k 2 2+192k 2+64 1-2k 2
1-2k 2
2
=81+k 2
1-2k 2
则AB FH =
826
=
26
3
.故
AB FH
是定值,该定值为
26
3
.(二)把点共线问题转化为向量共线
此类问题通常是把点A ,B ,C 共线转化为AB =λBC
,或点C 在直线AB 上.
【例2】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的左､右顶点分別为
A 1,A 2,右焦点为F (1,0),且椭圆C 的离心率为1
2
,M ,N 为椭圆C 上任意两点,点P 的坐标为(4,t )(t ≠0),
且满足A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP
.
(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：M ,F ,N 三点共线.
【解析】(1)椭圆C 的右焦点为F (1,0),且离心率为
1
2
,∴a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3,
∴椭圆C 的方程为x 2
4+y 23
=1.
(2)由(1)知,A 1,A 2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,∴A 1M =(x 1+2,y 1),A 1P =(6,t ),A 2N =(x 2-2,y 2),A 2P
=(2,t ),∵A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP ,
∴A 1,M ,P 三点共线,A 2,N ,P 三点共线,即6y 1=t x 1+2 2y 2=t x 2-2 ,整理得3y 1y 2=x 1+2
x 2-2,两边平方得9y 2
1y 22=
x 1+2 2x 2-2 2,①又M ,N 在椭圆上,则y 21=3-34
x 2
1
y 22=3-34
x 22
,代入①并化简得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,又FM =(x 1-1,y 1),FN
=(x 2-1,y 2),
∴要证M ,F ,N 三点共线,只需证y 2x 1-1 =y 1x 2-1 ,即y 1y 2=x 1-1x 2-1,只需证x 1+23x 2-2
=x 1-1
x 2-1,整理
得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,∴M ,F ,N 三点共线.
(三)利用向量共线求双变量的关系式
此类问题一般是给出形如b =λa ,d =μc
的条件,确定关于λ,μ的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标
与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把λ,μ用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.
【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C 的方程为x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 ,过椭圆左焦点F 1且
垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ,椭圆的右焦点为F 2,已知tan ∠PF 2F 1=3
12
,椭圆过点
A 3,1
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2
,求
证：λ1+λ2为定值．
【解析】(1)依题可知：PF 1=b 2a ,tan ∠PF 2F 1=b 2
a
2c =a 2-c 22ac =312,
所以12a 2-12c 2=23ac ,即6c a 2+3c
a
-6=0,
解得c a =
32
又∵椭圆C 过点A 3,12 ,则3a 2+1
4b
2=1
联立a 2=b 2+c 2c a =32
3a 2+14b 2=1
可得a =2b =1c =3
,椭圆C 的标准方程为x 2
4
+y 2=1．
(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,F 3,0 ,
由题意可知,直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y =k x -3 ,联立y =k x -3 x 24
+y 2
=1
,可得4k 2+1 x 2-83k 2x +12k 2-4=0,由于点F 2在椭圆C 的内部,直线l 与椭圆C 必有两个交点,
由韦达定理可得x 1+x 2=83k 24k 2+1,x 1⋅x 2=12k 2-4
4k 2+1
,
∵MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2
,M 0,y 0 ,
得x 1,y 1-y 0 =λ13-x 1,-y 1 ,x 2,y 2-y 0 =λ23-x 2,-y 2 ,
∴λ1=x 13-x 1,λ2=x 2
3-x 2
,
∴λ1+λ2=x 13-x 1+x 23-x 2=3x 1+x 2 -2x 1x 23-3x 1+x 2 +x 1x 2=24k 2-212k 2-4
4k 2+1
3+
12k 2-4 -24k
24k 2+1
=-8．(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形
若点A ,B ,C .D 满足AB +AD =AC
,则四边形ABCD 是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
【例4】(2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)经过点
M 3,1
2
,左焦点F 1-3,0 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点D 0,3 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,点N 满足ON =OA
+OB (O 为原点),求四边形
OANB 面积的最大值.
【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ,则c =3,
又因为椭圆经过点M 3,12 ,所以3a 2+1
4b
2=1,
又a 2-b 2=3 2∴c 2=3,a 2=4,b 2=1,
所以椭圆C 的方程为x 2
4+y 2=1.
(2)因为ON =OA
+OB ,所以四边形OANB 为平行四边形,当直线l 的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +3,l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,
由y =kx +3x 24
+y 2
=1
⇒(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Δ=242k 2-128(1+4k 2)>0⇒k 2>2.
x 1+x 2=-24k 1+4k 2,x 1x 2=32
1+4k 2
,∵S △OAB =12|OD ||x 1-x 2|=3
2
|x 1-x 2|,
∴S ▱OANB =2S △OAB =3|x 1-x 2|=3(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3-24k 1+4k 2 2-4×321+4k 2
=3
242k 2-128(1+4k 2)
(1+4k 2)2
=24
k 2-2(1+4k 2)2
,令k 2-2=t ,则k 2=t +2(由上式知t >0),∴S ▱OANB =24t (4t +9)2
=24172+16t +81t
≤24
1144=2,当且仅当t =94,即k 2=174
>2时取等号.
∴当k =±
17
2
时,平行四边形OANB 的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.
【例5】(2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研)已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >b >0)的右焦点为
F 2,0 ,O 为坐标原点,双曲线C 的两条渐近线的夹角为π
3
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点F 作直线l 交C 于P ,Q 两点,在x 轴上是否存在定点M ,使MP ⋅MQ
为定值？若存在,求出定点
M 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．
【解析】(1)双曲线x 2a 2-y 2b
2=1的渐近线为y =±b
a x ,
又a >b >0,0<b a <1,故其渐近线y =b a x 的倾斜角小于π4,而双曲线C 的两条渐近线的夹角为π
3,
则渐近线的y =b a x 的倾斜角为π
6
,
则b a =33
,即a =3b ．又a 2+b 2=2,则a =3,b =1．
所以双曲线C 的方程是x 2
3
-y 2=1．
(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =ty +2,
代入x 2
3
-y 2=1,得(ty +2)2-3y 2=3,即t 2-3 y 2+4ty +1=0．
设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4t t 2-3,y 1y 2=1
t 2-3
．
设点M m ,0 ,则MP ⋅MQ
=x 1-m x 2-m +y 1y 2=ty 1+2-m ty 2+2-m +y 1y 2
=t 2
+1 y 1y 2+t 2-m y 1+y 2 +(2-m )2=t 2+1t 2-3-4t 22-m t 2
-3
+(2-m )2=
m 2-3 t 2-3m 2
-12m +11 t 2-3
令3m 2-12m +11=3m 2-3 ,得m =5
3
,
此时MP ⋅MQ =m 2-3=-2
9
．
当直线l 与x 轴重合时,则点P ,Q 为双曲线的两顶点,不妨设点P -3,0 ,Q 3,0 ．
对于点M 53,0 ,MP ⋅MQ =-3-53,0 ·3-53,0 =-2
9
．
所以存在定点M 53,0 ,使MP ⋅MQ =m 2-3=-2
9
为定值．
(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零
求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.
【例6】已知椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的距离的最大值和最小值分别
为2+3和2-3．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若圆O :x 2+y 2=r 2的切线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在正数r ,使得OA ⊥OB ？若存在,求出r 的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题意可得,a +c =2+3a -c =2-3 ,解得a =2,c =3,
则b 2=4-3=1,
所以椭圆方程为x 24+y 2=1；
(2)假设存在正数r ,使得OA ⊥OB ,即使得OA ⋅OB
=0,当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x
=t ,
可得A t ,
4-t 22 ,B t ,-4-t 2
2
,因为OA ⋅OB =0,
则有t 2-4-t 24=0,解得t =±25
5
,又直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,所以r =25
5
；
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =kx +m x 24
+y 2
=1
,可得(1+4k 2)x 2+8km x +4(m 2-1)=0,则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0,
所以4k 2-m 2+1>0,
且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2
,
所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=kx 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,
因为OA ⋅OB =0,则y 1y 2x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2
=-1,所以(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,整理可得4k 2+4=5m 2,
则m 21+k 2
=45,
所以|m |1+k 2
=25
5,
因为直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,故原点(0,0)到y =kx +m 的距离为r =|m |1+k
2=25
5,所以存在正数r =25
5
,使得OA ⊥OB ．三、跟踪检测
1.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线E ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)一个顶点为
A -2,0 ,直线l 过点Q 3,0 交双曲线右支于M ,N 两点,记△AMN ,△AOM ,△AON 的面积分别为S ,S 1,
S 2.当l 与x 轴垂直时,S 1的值为15
2
.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)若l 交y 轴于点P ,PM =λMQ ,PN
=μNQ ,求证：λ+μ为定值；
(3)在(2)的条件下,若16
25
S =μS 1+mS 2,当5<λ≤8时,求实数m 的取值范围.
【解析】(1)由题意得a =2,OA =2,则当l 与x 轴垂直时,不妨设M 3,y 1 ,
由S 1=12OA ⋅y 1 =152,得y 1 =15
2
,
将M 3,y 1 代入方程x 2
4-y 2
b 2=1,得94-154
b
2=1,解得b 2=3,
所以双曲线E 的方程为x 2
4-y 23
=1．
(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,P 0,y 0 ,
由PM
=λMQ 与Q 3,0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ3-x 1,-y 1 ,
即x 1=3λ1+λ,y 1=y 01+λ,将M 3λ
1+λ,y 01+λ
代入E 的方程得：3λ1+λ 24-y 01+λ 2
3
=1,
整理得：15λ2-24λ-4y 2
0-12=0①,
同理由PN =μNQ 可得15μ2-24μ-4y 2
0-12=0②．
由①②知,λ,μ是方程15x 2-24x -4y 2
0-12=0的两个不等实根．
由韦达定理知λ+μ=2415=8
5
,所以λ+μ为定值．
(3)又1625S =μS 1+mS 2,即1625⋅12⋅AQ ⋅y 1-y 2 =μ12⋅2⋅y 1 +m ⋅12⋅2⋅y 2 ,
整理得：8
5
y 1-y 2 =μy 1 +m y 2 ,
又y 1y 2<0,不妨设y 2<0<y 1,则8
5
y 1-y 2 =μy 1-my 2,
整理得m =85-85-μ y 1y 2,又λ+μ=85,故m =8
5-λy 1y 2
,
而由(2)知y 1=y 01+λ,y 2=y 01+μ,故y 1y 2=1+μ
1+λ
,
代入m =85-λ⋅1+μ1+λ=85-λ135
-λ 1+λ
,
令1+λ=t t ∈6,9 ,得m =85-t -1 185-t t =-3+t +18
5
t
,
由双勾函数y =t +185t 在6,9 上单调递增,得m =-3+t +18
5
t ∈185,325 ,
所以m 的取值范围为185,32
5
．
2.(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ,B 1,0 ,一个焦点为F 0,1 .
(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ,D 两点,当CD =32
2
时,求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ,D 两点,并与x 轴交于点P ,直线AD 与直线BC 交于点
Q ,当点P 异A ,B 两点时,试问OP ⋅OQ
是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.
【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2
b
2=1(a >b >0),
由已知得b =1,c =1,所以a =2,
椭圆的方程为y 2
2
+x 2=1,
当直线l 与x 轴垂直时与题意不符,
设直线l 的方程为y =kx +1,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,
将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0,
则x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1⋅x 2=-1
k 2+2
,
∴CD =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2
⋅-2k k 2+2 2+4⋅1k 2
+2=22(k 2+1)k 2+2
=322,解得k =±2.
∴直线l 的方程为y =±2x +1；
(2)当l ⊥x 轴时,AC ⎳BD ,不符合题意,
当l 与x 轴不垂直时,设l ：y =kx +t ,则P -t
k
,0 ,
设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立方程组y =kx +t
x 2+y 22
=1
得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0,
∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2,x 1x 2=t 2-2
2+k 2
,又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1),直线BC ：y =y 1
x 1-1(x -1),
由y =y 2
x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1
(x -1)
可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1),即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1),
kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1),
kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ,
k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ,
k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2,4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k
2-k x 2-x 1 ,即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ,得x =-k
t
,∴Q 点坐标为Q -k
t
,y Q ,
∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k
-k
t +0⋅y Q =1,
所以OP ⋅OQ
=1为定值.
3.(2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的离心率为3
2,短
轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点P 0,1 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求OA ⋅OB
的取值范围．
【解析】(1)∵e =c a =3
2
,2b =4,
∴b =2,
又a 2=b 2+c 2,即a 2=4+3
4
a 2,
解得：a =4,c =23,
∴椭圆的标准方程为x 2
16+y 24
=1；
(2)当直线AB 的斜率不存在时,AB :x =0,
不妨设A 0,2 ,B 0,-2 ,则OA ⋅OB
=-4
当直线AB 的斜率存在时,设AB ：y =kx +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,
由x 216+y 2
4
=1y =kx +1
得4k 2+1 x 2+8kx -12=0,Δ=64k 2+484k 2+1 >0恒成立,
故x 1+x 2=-8k 4k 2+1,x 1x 2=-12
4k 2+1
,
∴OA ⋅OB
=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+1 kx 2+1
=k 2+1 x 1x 2+k x 1+x 2 +1=k 2
+1 -124k 2+1 -8k 24k 2+1
+1
=-12k 2-12-8k 2+4k 2+14k 2+1=-16k 2-114k 2
+1=-4-74k 2+1∈-11,-4 ,综上：OA ⋅OB ∈-11,-4 ,故OA ⋅OB
的取值范围为-11,-4 ．
4.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试)已知点B 、A 分别是椭圆Γ:x 2
4+y 23
=1的左、右
顶点,过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于M ,N 两点,
(1)设直线AM ,AN ,BM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求k 1k 2和k
2k 3的值；
(2)若直线AM ,AN 分别交椭圆Γ的右准线于P ,Q 两点,证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【解析】(1)由已知F (1,0),A (2,0),B (-2,0),
直线l 的斜率不存在时,方程为x =1,不妨设M 1,32 ,N 1,-3
2
,
k 1=321-2=-32,同理k 2=32,k 3=3
2
1-(-2)
=12,
k 1k 2=-94,k
2k 3
=3,
直线l 斜率存在时,设直线方程为y =k (x -1),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),
由x 24+y 2
3
=1y =k (x -1)
,得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2
=4k 2-12
3+4k 2,k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,k 3=y 1
x 1+2
,
k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1-1)(x 2-1)(x 1-2)(x 2-2)=
k 2(x 1x 2-x 1-x 2+1)
x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=k 24k 2-123+4k 2-8k 2
3+4k 2
+1 4k 2-123+4k 2-16k 23+4k 2+4=k 2(4k 2-12-8k 2+3+4k 2)4k 2-12-16k 2+12+16k 2
=-94,
k 2k 3=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=k (x 2-1)(x 1+2)k (x 1-1)(x 2-2)
=x 1x 2
-x 1+2x 2-2x 1x 2-2x 1-x 2+2因为2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8=2(4k 2-12)3+4k 2-40k 2
3+4k 2
+8=0,
所以x 1x 2-x 1+2x 2-2=3(x 1x 2-2x 1-x 2+2),
所以k
2k 3
=3,
综上,k 1k 2=-94,k
2k 3
=3；
(2)由已知a =2,b =3,c =1,右准线方程为x =a 2
c
=4,
由(1)知直线AM 方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4得y P =2y 1x 1-2=2k 1,同理y Q =2y 2
x 2-2
=2k 2,
由椭圆的对称性知,以PQ 为直径的圆有一个圆心x 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x 轴对称的圆,这两个圆的交点在x 轴上,以PQ 为直径的圆经过定点,这个定点必在x 轴上,设定点为G (t ,0),则GP ⋅GQ =0,
由(1)得GP ⋅GQ
=(4-t ,2k 1)⋅(4-t ,2k 2)=(4-t )2+4k 1k 2=(4-t )2-9=0,t =7或t =1,
所以以PQ 为直径的圆经过定点(1,0),(7,0)．
5.(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的离心率为6
2,
点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.
(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE
为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为6
2
,
所以62 2=1+b 2
a
2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16
b
2=1,
解得b 2=2,
所以C 的方程为x 2
4-y 22
=1.
(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,
x 24-y 2
2
=1,
消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,
由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠1
2
,
所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+4
1-2k 2
.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE
=x 2-t ,y 2 ,
所以PD ⋅PE
=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.
所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2
,
化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4
-2k 2+1
.
因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.
此时该常数的值为t 2-4=105
16
,
所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为105
16
.
6.(2023届广东省茂名市高三上学期9月联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,
动点P 满足PO =PQ =3
2,又点E 满足PE =12
EQ .
(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；
(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM
,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.
【解析】(1)由题意,设E x ,y ,P 12
x ,y
,由PO =PQ =32得Q x
,0 ,且x 24+y 2=94
,
由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32
x y =32
y
,
代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2
=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.
(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,
∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,
可得：M x 0-y 0
k
,0 ,N 0,y 0-kx 0 ,
由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k
,kx 0=-2y 0,
联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k
,可得：y 2
0=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1
y =kx
,得：x 2=4
1+4k 2,即B 、D 的横坐标为±2
1+4k 2
,
∴BD =1+k 2
x B -x D =41+k 21+4k 2
,
∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 0
1+k 2
=3k 1+k 2,
∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=6
1+k 2 1+4k 2
k 2
=64k 2+1k
2+5
≤
6
24k 2×1k
2+5
=2,
当且仅当4k 2=1k
2,即k =±2
2时等号成立,
∴△ABD 面积的最大值为2.
7.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 1
3
,0 ,
点G 与P ,Q 两点的距离之和为4
3
,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．
(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),
则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=2
3
,
可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为4
3
的椭圆,
其轨迹方程为9
4
x 2+3y 2=1,
由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3
,代入点G 的轨迹方程,
可得：94x 3 2
+3y 3
2=1,
所以点N 的轨迹方程C ：x 2
4+y 23
=1；
(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0
x 0-1
(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,
MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0
x 0+2,
∴R 4，6y 0
x 0+2
,
则点R 到直线ME 的距离为：
d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0
y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|
(x 0+2)y 2
0+(x 0-1)2
,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,
又|RS |=|y R |=6|y 0|
x 0+2
,
∵y 0≠0,
所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 2
0+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 2
0+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 2
04+y 203
=1,即4y 20=12-3x 2
0,
代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 2
0-8x 0+4恒成立,
∴ER 为∠MES 的角平分线．
8.(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图,椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1((a >b >0),|A 1B 1|
=7,F 1是椭圆C 的左焦点,A 1是椭圆C 的左顶点,
B 1是椭圆
C 的上顶点,且A 1F 1 =F 1O
,点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点,过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0),使得QA ⋅QB
为定值,若存在,试求出定点Q 的坐标,并求出此定值；若不存
在,请说明理由.
【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7
a -c =c a 2=
b 2+
c 2 ,解得a =2b =3c =1
,
所以椭圆方程为x 2
4+y 23
=1；
(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意,
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),QA =(x 1-x 0,y 1),QB
=(x 2-x 0,y 2),
①当直线l 与x 轴不垂直时,设l ：y =k (x -n ),
代入x 2
4+y 23
=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0
∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3,x 1x 2=
4k 2n 2-12
4k 2+3
QA ⋅QB
=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )
=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 2
0+k 2n 2
=k 2
+1 4k 2n 2-124k 2
+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 2
0+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 2
0-124k 2+3
(*)
(*)式是与k 无关的常数,则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 2
0-12)
解得x 0=12n +7n 8,此时QA ⋅QB =x 2
0-4=12n +7n 8
2-4为定值；
②当直线l 与x 垂直时,l :x =n ,A n ,31-n 24 ,B n ,-31-n 2
4
,
QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 8
2-4也成立,
所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ,使得QA ⋅QB =12n +7n 8
2
-4为定值．
9.(2023届北京市第四中学高三上学期开学测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,3
2
,离心率为
3
2
,点A 为其右顶点.过点B 1,0 作直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,直线AE 、AF 与直线x =3分别交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；
(2)求EM ⋅FN
的取值范围.
【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0),
由题意,得1a 2+34b 2=1c a =32a 2=b 2+c 2
,解得a 2=4,b 2=1,
即椭圆C 的标准方程为x 2
4
+y 2=1.
(2)由(1)得A (2,0),
设l :x =ty +1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),
联立x =ty +1x 2+4y 2-4=0
,得(ty +1)2+4y 2-4=0,
即(t 2+4)y 2+2ty -3=0,则y 1+y 2=-2t t 2+4,y 1y 2=-3
t 2+4,
直线AE ,AF 的方程分别为y =y 1x 1-2(x -2),y =y 2
x 2-2
(x -2),
令x =3,则M 3,y 1x 1-2 ,N 3,y 2
x 2-2
,
则EM =3-x 1,y 13-x 1 x 1-2 =2-ty 1,y 12-ty 1 ty 1-1
,
FN =3-x 2,y 23-x 2 x 2-2 =2-ty 2,y 22-ty 2 ty 2-1
,
所以EM ⋅FN =2-ty 1 2-ty 1 +
y 1y 22-ty 1 2-ty 2 ty 1-1 ty 2-1 =t 2y 1y 2-2t y 1+y 2 +4 1+y 1y 2t 2
y 1y 2-t y 1+y 2 +1
=-3t 2
t 2+4+4t 2
t 2+4+4 1+-3t 2+4-3t 2t 2+4+2t 2t 2+4
+1 =5t 2+164(t 2+4)=5(t 2+4)-44(t 2+4)=54-1
t 2+4
因为t 2+4≥4,所以0<1t 2+4≤14,1≤54-1t 2+4
<5
4,
即EM ⋅FN 的取值范围为1,54 .
10.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 2
12-y 23
=1有相同的渐近线,且过
点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ⋅DF
=0,DG ⊥EF 于G ,证明：存在定点H ,使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标,解得λ=4
所以双曲线C 的标准方程为x 24
-y 2=1
(2)(i )当直线EF 斜率存在时,设EF :y =kx +m ,
设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ,联立y =kx +m 与双曲线x 2
4
-y 2=1,
化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2
+1 =0,
Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0,即4k 2-m 2-1<0,
则有x 1+x 2=-8km
4k 2-1
x 1x 2=
4m 2
+44k 2-1
,又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,
因为DE ⋅DF
=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0,
所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0,
所以k 2
+1 ⋅4m 2+44k 2
-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0,化简,得3m 2+16km +20k 2
=0,即3m +10k m +2k =0,
所以m 1=-2k ,m 2=-10
3
k ,
且均满足4k 2-m 2
-1<0,
当m 1=-2k 时,直线l 的方程为y =k x -2 ,直线过定点2,0 ,与已知矛盾,
当m 2=-103k 时,直线l 的方程为y =k x -103
,过定点10
3,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE ：y =x -2,
与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103,此时EF 也过点M 10
3
,0 ,
综上,直线EF 过定点M 10
3
,0 .
由于DG ⊥EF ,所以点G 在以DM 为直径的圆上,H 为该圆圆心,GH 为该圆半径,所以存在定点
H 83,0
,使GH 为定值23
.11.(2023届四川省达州市开江县高三上学期考试)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 的
左、右焦点,过点F 1的任意直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8,椭圆C 的离心率为1
2
.
(1)椭圆C 的方程；
(2)若P 为椭圆C 上的任一点,PM 、PN 为过焦点F 1、F 2的弦,且PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2N
,求λ1+λ2的值.
【解析】(1)由题意可知, △ABF 2的周长为AF 1+AF 2+BF 1+BF 2=4a =8.
所以a =2,又c a =1
2
,
所以c =1,则b =3,
所以椭圆C 的方程为x 2
4+y 23
=1.
(2)不妨令P x 0，y 0 ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2 .
所以x 2
04+y 203
=1,即3x 20+4y 2
0=12.
当y 0≠0时,不妨设直线PM 为x =m 1y -1,其中m 1=x 0+1
y 0
.直线PN 为x =m 2y +1,其中m 2=x 0-1
y 0
.联立方程3x 2
+4y 2
=12x =m 1y -1 ,
得3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0.
所以y 0y 1=-93m 21+4,即1
y 1=3m 2
1+4 y 0-9.
同理可得：1
y 2=3m 2
2+4 y 0-9
.
又PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2M .
所以λ1y 1+y 0=0λ2y 2+y 0=0
.
则λ1+λ2=-y 01y 1+1
y 2
=y 2
09
3m 21+m 22 +8 =y 203m 21+m 2
2 +8y 209
=13m 1y 0 2+m 2y 0 2
+8y 209
=13x 0+1 2+x 0-1 2
+8y 209=293x 20+4y 20 +23=103
,综上所述,λ1+λ2=10
3
.
12.(2022届上海市普陀区高三一模)已知点M x ,y 与定点F 1,0 的距离是点M 到直线x -2=0距离的
2
2
倍,设点M 的轨迹为曲线Γ,直线l :x +my +1=0m ∈R 与Γ交于A 、B 两点,点C 是线段AB 的中点,P 、Q 是Γ上关于原点O 对称的两点,且PO =λOC
λ>0 .(1)求曲线Γ的方程；
(2)当λ=3时,求直线l 的方程；
(3)当四边形PAQB 的面积S =6时,求λ的值.【解析】(1)由题意可得x -1
2
+y 2
x -2
=22,化简可得x 2
2
+y 2=1,
因此,曲线Γ的方程为
x 2
2
+y 2=1.(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,联立x +my +1=0
x 22
+y 2
=1
,可得m 2+2 y 2+2my -1=0,Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+1 >0,
由韦达定理可得y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1
m 2+2
,
则y 1+y 22=-m m 2+2,x 1+x 22=-m ⋅y 1+y 22-1=-2m 2+2
,
所以点C 的坐标为-2m 2+2,-m
m 2+2
,
因为PO =3OC =-23m 2+2,-3m m 2+2
,可得点P 23m 2+2,3m m 2+2 ,将点P 的坐标代入曲线Γ的方程得6+3m 2m 2
+2
2=3
m 2+2=1,解得m =±1,因此,直线l 的方程为x ±y +1=0.
(3)由(2)可得PO =λOC =-2λm 2+2,-λm m 2+2 ,则点P 2λm 2+2,λm
m 2+2
,则点Q -2λm 2+2,-λm
m 2+2
,
因为点P 在曲线Γ上,则2λ2+λ2m 2m 2
+2
2=1,可得λ2=m 2
+2,因为λ>0,则λ=m 2+2≥2,点P 到直线l 的距离为d 1=2λ+λm 2m 2+2
+1
m 2+1=λ+1m 2
+1
,点Q 到直线l 的距离为d 2=-2λ+λm 2
m 2
+2
+1
m 2+1=λ-1m 2+1
,
AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2
⋅-2m m 2
+2 2+4m 2+2=22m 2+1 m 2+2
,所以,S =12AB ⋅d 1+d 2 =12×22m 2+1 m 2+2×2λm 2+1=22⋅λ2-1
λ=6,因为λ>0,解得λ=2.
13.(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1a >b >0 的焦点恰为椭圆D :
x 2
4+y 23
=1长轴的端点,且C 的短轴长为2(1)求椭圆C 的方程．
(2)若直线l 与直线y =2x -1平行,且l 与C 交于A ,B 两点,M 1,0 ,求MA ⋅MB
的最小值．
【解析】(1)由椭圆D :x 2
4+y 23=1,可得其长轴的端点分别为(-2,0),(2,0),
根据题意,可得a 2-b 2=4
2b =2 ,解得a 2=5,b 2=1,
故C 的方程为x 2
5
+y 2=1．
(2)设直线l 的方程为y =2x +m m ≠-1 ,
联立方程组x 25+y 2=1
y =2x +m
,整理得21x 2+20mx +5m 2-5=0,
设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-20m 21,x 1x 2=5m 2-5
21
,且Δ=400m 2-845m 2-5 =2021-m 2 >0,解得m 2<21且m ≠-1
所以MA ⋅MB
=x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+2x 1+m 2x 2+m
=5x 1x 2+(2m -1)x 1+x 2 +m 2+1=
25m 2-25-40m 2+20m +21m 2+21
21
=
6m 2
+20m -421
因为6m 2+20m -4=6m +53 2-62
3
,其中m 2<21且m ≠-1,
所以当m =-53时,6m 2+20m -4取得最小值,且最小值为-62
3
,
故MA ⋅MB 的最小值为-6263
．
14.(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为-2,0 ,2,0 ,
P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于-1
4
.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 2
4
+y 2=1相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得OA +
3OB =4OM
,求m 的取值范围.
【解析】(1)设P x ,y ,则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-1
4x ≠±2 ,
所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x
24
+y 2=1x ≠±2 .
(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ,由OA +3OB =4OM
得
x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ,x 1=-3x 2
联立y =kx +m x 24
+y 2
=1
可得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0,
即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2
+1>0,且x 1+x 2=-8km
4k 2+1x 1x 2=
4m 2
-44k 2+1
, 又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1,则x 1⋅x 2=-3x 2
2=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1
,
∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0,
∴k 2
=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m 2+1-m 2
>0,14<m 2<1,解得m ∈-1,-12 ∪12
,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪1
2
,1 15.(2022届河北省邢台市
“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考)已知点F 1,F 2是已知椭圆C :x 2
a 2
+y 2b
2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,当∠PF 1F 2=π
3时,△PF 1F 2面积达到最大,且最大值为3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且两点与左右顶点不重合,若F 1M =F 1A +F 1B
,求四边形AMBF 1面积的取值范围.【解析】(1)由题可知,当点P 在短轴端点时,△PF 1F 2的面积最大,且为正三角形,∴bc =3,b =3c ,又a 2
=b 2
+c 2
,由bc =3
b =3
c a 2=b 2+c 2
,解得a =2b =3c =1
,
所以椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 23
=1.
(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AB :x =my +1,则由x =my +1
x 24+y 2
3
=1
,可得3(my +1)2+4y 2=12,即3m 2+4 y 2+6my -9=0,
Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0,
又因为F 1M =F 1A +F 1B
,所以四边形AMBF 1是平行四边形,设平面四边形AMBF 1的面积为S ,
则S =2S △ABF 1
=2×12F 1F 2 ×y 1-y 2 =2×1
2
F 1F 2 ×
y 1+y 2
2
-4y 1y 2=2×
144m 2+1
3m 2+4
=24×
m 2+1
3m 2+4
.
设t =m 2+1,则m 2=t 2-1(t ≥1),
所以S =24×t 3t 2+1=24×
1
3t +1
t 因为t ≥1,而对勾函数y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以3t +1
t
≥4,
所以S ∈(0,6].
所以四边形AMBF 1面积的取值范围为(0,6].
16.(2022届四川省成都市高三上学期期中)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,
过点A 作斜率为3
3
的直线与C 相交于A ,B ,且以AO 为直径的圆过点B ,其中O 为坐标原点.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)若b =1,过点F 作与直线AB 平行的直线l ,l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点.①求k OP ⋅k OQ 的值；
②点M 满足2OM =OP ,直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ,求NM
NQ
的值.
【解析】(1)依题意,如图,△ABO ,∠ABO =π2,OA =a ,∠BAO =π6,OB =a 2,则B -a 4,3a
4
,
而点B 在椭圆C 上,于是得：a 216a 2+3a 216b 2=1,整理得a 2=5b 2
,即a =5b ,c =a 2-b 2=2b ,
所以椭圆的离心率e =c a =25
5
.
(2)①由(1)及b =1得,a =5,椭圆C 的方程为x 2
5
+y 2=1,而直线l 与直
线AB 平行,
则直线l 的方程为x =3y +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x =3y +2
x 2+5y 2=5
消去x 得：8y 2+43y -1=0,显然�>0
于是得y 1+y 2=-32,y 1y 2=-18,x 1x 2=(3y 1+2)(3y 2+2)=3y 1y 2+23(y 1+y 2)+4=58,所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1
5
.
②因2OM =OP ,由①得M x 12,y 1
2 ,设N x 3,y
3 ,NM NQ
=λ(0<λ<1),
则NM =λNQ ,NM =x 1
2-x 3,y 12
-y 3 ,NQ =x 2-x 3,y 2-y 3 ,
x 1
2-x 3=λx 2-x 3 y 12-y 3=λy 2-y 3 ,即x 1-2λx 2=2(1-λ)x 3
y 1-2λy 2=2(1-λ)y 3 ,解得x 3=12(1-λ)x 1-2λx 2 y 3=12(1-λ)y 1
-2λy 2
,而P ,Q ,N 都在椭圆上,即x 21+5y 21=5,x 22+5y 22=5,x 23+5y 2
3=5,x 1-2λx 2 24(1-λ)2+5⋅y 1-2λy 2 2
4(1-λ)2=5,
整理得：x 21+5y 21+4λ2x 22+5y 2
2 -4λx 1x 2+5y 1y 2 =20(1-λ)2,
由①可知x 1x 2+5y 1y 2=0,则有1+4λ2=4(1-λ)2,解得λ=3
8
,
所以NM NQ 的值是38.
17.(2022届广东省江门市高三上学期10月月考)设i ,j
分别是平面直角坐标系中x ,y 轴正方向上的单位向
量
,若向量a =(x +2)i +yj ,b =(x -2)i +yj ,且a
+b =8,其中x ,y ∈R .(1)求动点M (x ,y )的轨迹E 的方程；
(2)过点(3,0)作直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点,设OP =OA
+OB ,是否存在直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,试说明理由.
【解析】(1)由题意得a
=(x +2,y ),b =(x -2,y ),
∴a
+b =8,∴(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=8,
设F 1(-2,0),F 2(2,0),则动点M 满足MF 1 +MF 2 =8>F 1F 2 =4,由椭圆的定义可知动点M 的轨迹是以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆,
设椭圆E 的方程为x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0),则2a =8,2c =4,
∴a =4,c =2,b 2=42-22=12,
故轨迹E 的方程为x 2
16+y 212
=1
(2)存在满足条件的直线l .设直线l 的方程为x =ky +3,
由方程组x =ky +3
x 216+y 2
12
=1
,消去x ,整理得：(3k 2+4)y 2+18ky -21=0则Δ=(18k )2+84(3k 2+4)>0恒成立,即直线l 与椭圆E 恒有两个不同的交点,
设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-18k 3k 2+4①,y 1⋅y 2=-21
3k 2+4
②
由OP =OA +OB 得OP -OA
=OB ,即AP =OB ,∴四边形OAPB 为平行四边形
若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形,则OA ⊥OB ,OA
⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0
即(ky 1+3)(ky 2+3)+y 1y 2=(k 2+1)y 1y 2+3k (y 1+y 2)+9=0③
将①､②代入③式得：-18k (k 2+1)3k 2+4-54k 23k 2+4
+9=0,解得k =±5
4,
所以直线l 的方程为x =±5
4
y +3,此时四边形OAPB 为矩形.
18.过双曲线Γ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ,B 两点,设Γ的右焦点
为F 2.(1)若△ABF 2是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ,使得AF 2⊥BF 2,求Γ的离心率的取值范围.
【解析】(1)依题意,结合双曲线的对称性得AF 1 =2,AF 2 =4,F 1F 2 =23,所以2a =|AF 2|-|AF 1|=2,a =1,2c =F 1F 2 =23,c =3,b 2=c 2-a 2=2,
此时Γ的标准方程为x 2
-y 22
=1.(2)依题意知直线l 的斜率不为0,设l 的方程为x =my -c ,
联立x =my -c x 2a 2-y 2
b
2=1
,消去x ,得(b 2m 2-a 2)y 2-2b 2cm y +b 4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2-a 2,y 1y 2
=b 4
b 2m 2-a 2
, 由AF 2⊥BF 2得AF 2 ⋅BF 2
=0,故(x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0,即(my 1-2c )(my 2-2c )+y 1y 2=0,
整理得m 2+1 y 1y 2-2cm y 1+y 2 +4c 2=0,即(m 2+1)b 4-4m 2c 2b 2+4c 2(b 2m 2-a 2)=0,
则(m 2+1)b 4=4a 2c 2,所以m 2
+1=4a 2c 2b
4
≥1,故4a 2c 2≥(c 2-a 2)2,所以c 4+a 4-6a 2c 2≤0,两边除以a 4
,得e 4-6e 2+1≤0,解得3-22≤e 2≤3+22,又因为e >1,所以1≤e 2≤1+2 2,故1≤e ≤1+2,
又A ,B 在左支且l 过F 1,所以y 1y 2<0,即b 4b 2m 2-a 2<0,故m 2
<a 2b
2,
所以m 2+1=4a 2c 2b 4
<a
2b
2+1,所以4a 2c 2<a 2b 2+b 4=b 2a 2+b 2 =b 2c 2,即4a 2<b 2=c 2-a 2
,则5a 2<c 2,故e 2>5,即e >5,综上：5<e ≤1+2,即e ∈5,1+2 .。