断裂力学第三讲断裂力学理论
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应力强度因子。应力强度因子是有限量，它是代表应 力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是 合适的。
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
KI
2
若以极坐标表示复变量
ri er(co issin )
则可得到
ZIII
xz
K III sin 2 r 2
y
K Ⅰcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
ij
xy
KⅠcossincos3 2r 2 2 2
KI
2r
fij
xz yz 0
4
Ⅰ型裂纹求解
uE 1[(1)R eZ Ⅰ (1)yIm Z Ⅰ ] 平面应力
vE 1[2ImZⅠ (1)yReZⅠ ]
u1 E [(12)R eZ Ⅰ yIm Z Ⅰ ]
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要
求r
a 。对于稍远处，应该用
ZⅠ ()
（+a）f()所示的
(2a)
Z
I
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不
则可得到
Re Z III z K III Im Z III z K III
2r
cos
2
2r
sin
2
w KIII G
2r sin 2
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的位移场表达式
21
ZⅠ()
（+a） ( 2a)
Z()
a 2a
应力强度因子
K Ili m 0Z I•2 a
Z(z)
z
z2a2
x
x2a2
虚数
ReZ(z)0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x2Im ZyRZe' y yReZ' xyRZ eyIm Z‘
11
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
Ⅱ型裂纹求解
za
Z()
a f() 2a
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设:
li m 0f()li m 0 Z()K 2
Z(z)
z
z2 a2
能够满足全部边界条件。
10
Ⅱ型裂纹求解
z
lim
z
Z (z)
lim
z
lim
z
Z' (z)
lim
z
z 只有实部且为一常数
z2 a2
ZII z 0
a2
z2 a2
3/ 2
0
x y 0 xy
满足平板周围的边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处
平面应变
v1 E[2(1)Im Z Ⅰ yR eZ Ⅰ ]
u4 K G Ⅰ 2r[(2k1)cos2cos32 ]
34
vK Ⅰ 4G
2r[(2k1)sin2sin32 ]
k 3 1
w 0 平面应变
wE (x y)dz
平面应变 平面应力
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了 0 这个条件，所以
鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个 世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪 七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子 手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解 析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及数值 方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
z (穿透) 2 a ,无限远处受与
方向平行的 作用.
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w (x,y),uv0
根据几何方程和物理方程:
rxz
w x
G1 xz
ryz
w y
1
G
yz
xyxyz0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0
x y
右裂尖附近, 在很小范围内时
K
lim 0
2Z()
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
12
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z ) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2Z()
Z ( )
K
2
若以极坐标表示复变量
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学理论 Fracture Mechanics
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
2
3
Ⅰ型裂纹求解 x ReZⅠyImZⅠ y ReZⅠyImZⅠ xy yReZⅠ
z 0 (平面应力)
z(xy)2R eZ Ⅰ(平面应变)
xK 2 Ⅰ rcos2(1sin2sin3 2 ) 用张量标记可缩写成
ri er(co issin )
则可得到
Z()
K
(cos isin )
2r 2 2
yrsin2rsincos
22
Z I I K 2 II K 2 II 3 2 2 K 2 IIrr 3 2 c o s3 2 is in 3 2
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
x2Im ZyRZe'
y yReZ'
xyRZ eyIm Z‘
进而可得到位移分量
u＝(1) E
2(1)ImZ
yRZe
v＝(1E)(12)RZe yImZ
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的 Z ( z )
边界条件：
y xy 0
在 y ，0 x a 处
zy0 xy 在 z 处
选取
环状区域内K场是适用的。
❖
K场内的位移与 r
1 2
成线性比例关系。
25
线弹性裂尖场特点
❖ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度 因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而
r 且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与( )坐标
无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所 以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。 ❖ 裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角 有关，而与r无关，对于同一种变形模式，角分布函 数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂 纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。
左图a所示裂纹原
长为a，扩展微小
长度 a（图b）后，
释放出的能量可
用从图b状态闭合
到图c状态所作的
功来计算。闭合
时作用在裂纹上
表面上x位置的应
力由图b中的0值，
逐渐增加到图a中
的
y (x)
31
由I型裂纹的应力表达式， y K 2rcos21sin2sin32
当 rx， 0 时
y (x)
yz
K III co s 2 r 2
K 2IIIrc 这os2 就i是sinI2II型裂纹问IR题meZZ在IIIIII裂纹 K2K2IIIIIrIrcsoisn22
尖端附近的应力场表达式
20
Ⅲ型裂纹求解
ZIII K 2IIIrcos2isin2
Z IIIK 2 III dK 2 III21 2 K III 2 r c o s2 is in 2
满足平板周围的边界条件。
18
Ⅲ型裂纹求解
同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标 z a
ZⅢ ()(( 2a a))1 fIII
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设: li m 0f()li m 0 ZI()K 2 I
右裂尖附近, 在很小范围内时
KI
lim
0
2ZI()
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 ZⅢ(z)
l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处， Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ，都有 ZIIT z l ，即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知，yz l,xz 0
Kli m 0 2Z() a
ZⅢ()
l ( a) ( 2a)
K Ili m 0 2ZI()l a
注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在 载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。
22
值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根 据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。 进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于 其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非 均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力 场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应力强度 因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的 应力强度因子就可以了。
xK 2 Ⅱ rsin2(2cos2cos3 2 )
xy
K Ⅱcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
y
KⅡcossincos3 2r 2 2 2
xz yz 0
z (xy) 平面应变
z 0
平面应力
u4 K G Ⅱ 2r[(2k3)sin2sin32 ] v4 K G Ⅱ 2r[(2k2)cos2cos32 ]
2xw2 2yw2 2w0
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1 w(x,y)GImZⅢ(z)
xzG w xIm xZⅢ Im ZⅢ
非零应力分量
yzG w yIm yZⅢR eZⅢ
边界条件:
y0, xa,yz 0 z ,xz0,yz
17
性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不
真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认
为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关
系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂
纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不
可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限
的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个
29
脆性断裂的K准则
应力强度因子与应变能释放率的关系 强度根因据子前K面所述a的可应以变发能现释它放们率之公间式应G1有 一E2定a 关与系应。力 这关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。
以张开型裂纹为例，由于应变能释放率代表裂纹扩展 单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下……
30
利用上节的裂尖附近应力和位移场，可以计算使裂纹闭合单位面积所 作的功，显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。
26
应力强度因子
应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量——裂 尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力就趋于无穷大。
依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。即传统的强度 条件判断准则失去意义。
应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。 ——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的
23
通过前面的推导，各种类型裂尖应力和位移场可表示为
(I) ij
K
2r
fi(jI)()
i, j 1,2,3
u(I) i
K
r
gi(I)()
i 1,2,3
若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。
裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近
24
线弹性裂尖场特点
❖ 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
KI
2
若以极坐标表示复变量
ri er(co issin )
则可得到
ZIII
xz
K III sin 2 r 2
y
K Ⅰcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
ij
xy
KⅠcossincos3 2r 2 2 2
KI
2r
fij
xz yz 0
4
Ⅰ型裂纹求解
uE 1[(1)R eZ Ⅰ (1)yIm Z Ⅰ ] 平面应力
vE 1[2ImZⅠ (1)yReZⅠ ]
u1 E [(12)R eZ Ⅰ yIm Z Ⅰ ]
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要
求r
a 。对于稍远处，应该用
ZⅠ ()
（+a）f()所示的
(2a)
Z
I
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不
则可得到
Re Z III z K III Im Z III z K III
2r
cos
2
2r
sin
2
w KIII G
2r sin 2
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的位移场表达式
21
ZⅠ()
（+a） ( 2a)
Z()
a 2a
应力强度因子
K Ili m 0Z I•2 a
Z(z)
z
z2a2
x
x2a2
虚数
ReZ(z)0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x2Im ZyRZe' y yReZ' xyRZ eyIm Z‘
11
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
Ⅱ型裂纹求解
za
Z()
a f() 2a
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设:
li m 0f()li m 0 Z()K 2
Z(z)
z
z2 a2
能够满足全部边界条件。
10
Ⅱ型裂纹求解
z
lim
z
Z (z)
lim
z
lim
z
Z' (z)
lim
z
z 只有实部且为一常数
z2 a2
ZII z 0
a2
z2 a2
3/ 2
0
x y 0 xy
满足平板周围的边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处
平面应变
v1 E[2(1)Im Z Ⅰ yR eZ Ⅰ ]
u4 K G Ⅰ 2r[(2k1)cos2cos32 ]
34
vK Ⅰ 4G
2r[(2k1)sin2sin32 ]
k 3 1
w 0 平面应变
wE (x y)dz
平面应变 平面应力
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了 0 这个条件，所以
鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个 世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪 七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子 手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解 析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及数值 方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
z (穿透) 2 a ,无限远处受与
方向平行的 作用.
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w (x,y),uv0
根据几何方程和物理方程:
rxz
w x
G1 xz
ryz
w y
1
G
yz
xyxyz0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0
x y
右裂尖附近, 在很小范围内时
K
lim 0
2Z()
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
12
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z ) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2Z()
Z ( )
K
2
若以极坐标表示复变量
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学理论 Fracture Mechanics
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
2
3
Ⅰ型裂纹求解 x ReZⅠyImZⅠ y ReZⅠyImZⅠ xy yReZⅠ
z 0 (平面应力)
z(xy)2R eZ Ⅰ(平面应变)
xK 2 Ⅰ rcos2(1sin2sin3 2 ) 用张量标记可缩写成
ri er(co issin )
则可得到
Z()
K
(cos isin )
2r 2 2
yrsin2rsincos
22
Z I I K 2 II K 2 II 3 2 2 K 2 IIrr 3 2 c o s3 2 is in 3 2
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
x2Im ZyRZe'
y yReZ'
xyRZ eyIm Z‘
进而可得到位移分量
u＝(1) E
2(1)ImZ
yRZe
v＝(1E)(12)RZe yImZ
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的 Z ( z )
边界条件：
y xy 0
在 y ，0 x a 处
zy0 xy 在 z 处
选取
环状区域内K场是适用的。
❖
K场内的位移与 r
1 2
成线性比例关系。
25
线弹性裂尖场特点
❖ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度 因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而
r 且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与( )坐标
无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所 以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。 ❖ 裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角 有关，而与r无关，对于同一种变形模式，角分布函 数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂 纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。
左图a所示裂纹原
长为a，扩展微小
长度 a（图b）后，
释放出的能量可
用从图b状态闭合
到图c状态所作的
功来计算。闭合
时作用在裂纹上
表面上x位置的应
力由图b中的0值，
逐渐增加到图a中
的
y (x)
31
由I型裂纹的应力表达式， y K 2rcos21sin2sin32
当 rx， 0 时
y (x)
yz
K III co s 2 r 2
K 2IIIrc 这os2 就i是sinI2II型裂纹问IR题meZZ在IIIIII裂纹 K2K2IIIIIrIrcsoisn22
尖端附近的应力场表达式
20
Ⅲ型裂纹求解
ZIII K 2IIIrcos2isin2
Z IIIK 2 III dK 2 III21 2 K III 2 r c o s2 is in 2
满足平板周围的边界条件。
18
Ⅲ型裂纹求解
同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标 z a
ZⅢ ()(( 2a a))1 fIII
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设: li m 0f()li m 0 ZI()K 2 I
右裂尖附近, 在很小范围内时
KI
lim
0
2ZI()
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 ZⅢ(z)
l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处， Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ，都有 ZIIT z l ，即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知，yz l,xz 0
Kli m 0 2Z() a
ZⅢ()
l ( a) ( 2a)
K Ili m 0 2ZI()l a
注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在 载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。
22
值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根 据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。 进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于 其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非 均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力 场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应力强度 因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的 应力强度因子就可以了。
xK 2 Ⅱ rsin2(2cos2cos3 2 )
xy
K Ⅱcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
y
KⅡcossincos3 2r 2 2 2
xz yz 0
z (xy) 平面应变
z 0
平面应力
u4 K G Ⅱ 2r[(2k3)sin2sin32 ] v4 K G Ⅱ 2r[(2k2)cos2cos32 ]
2xw2 2yw2 2w0
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1 w(x,y)GImZⅢ(z)
xzG w xIm xZⅢ Im ZⅢ
非零应力分量
yzG w yIm yZⅢR eZⅢ
边界条件:
y0, xa,yz 0 z ,xz0,yz
17
性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不
真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认
为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关
系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂
纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不
可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限
的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个
29
脆性断裂的K准则
应力强度因子与应变能释放率的关系 强度根因据子前K面所述a的可应以变发能现释它放们率之公间式应G1有 一E2定a 关与系应。力 这关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。
以张开型裂纹为例，由于应变能释放率代表裂纹扩展 单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下……
30
利用上节的裂尖附近应力和位移场，可以计算使裂纹闭合单位面积所 作的功，显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。
26
应力强度因子
应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量——裂 尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力就趋于无穷大。
依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。即传统的强度 条件判断准则失去意义。
应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。 ——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的
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通过前面的推导，各种类型裂尖应力和位移场可表示为
(I) ij
K
2r
fi(jI)()
i, j 1,2,3
u(I) i
K
r
gi(I)()
i 1,2,3
若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。
裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近
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线弹性裂尖场特点
❖ 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异