框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和值法详解

A
B
Ma
4i a
2ib
6i l
Mb
4i b
2i a
6i l
a
b
l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
37
第三十七页，共69页。
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma
4i a
2i b
6i l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
M 0
A:
4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic )
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3、 i4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
第三十四页，共69页。
35
第三十五页，共69页。
第三十六页，共69页。
ui D
B
hi
A
C
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
端部的转角就很小，此时忽略节点转角的存在，对框架 内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范围 的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
第五页，共69页。
水平荷载作用下框架 的变形情况：
第六页，共69页。
当梁刚度无限大 时，水平荷载作用 下框架的变形情况 ：节点转角为0，各 节点水平位移相同 。
V1k
h1 3
Mb c1k
V1k
2h1 3
上部各层柱，上下 柱端弯矩相等
Mt cjk
Mb cjk
Vjk
hj 2
第十二页，共69页。
hj ——第j层柱高
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱的
顶端和底端。
12
６.梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点
顶部边节点： M b M c
一般边节点：
第十三页，共69页。
M b M c1 M c2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比进 行分配。
14
第十四页，共69页。
７.梁内剪力
15
第十五页，共69页。
８.柱内轴向力
自上而下逐层 叠加节点左右的 梁端剪力。
16
第十六页，共69页。
反弯点法的主要计算步骤：
C
G (1.7)
B
F
M GF 65.93KN
(2.4)
A
E
M GK
(M GH
M
GF
)
1.0 1.7 1.0
30.56kN
M GC
(M GH
M
GF
)
1.7 1.7 1.0
52.04kN
M (0.8)
K (1.0)
J (1.2)
I
31
第三十一页，共69页。
二、改进反弯点法－Ｄ值法
当框架的高度较大、层数较多时，柱子的
框架结构在水平荷载下的计算 反弯点法和值法
第一页，共69页。
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受 的水平荷载主要 是风荷载和水平 地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。
2
第二页，共69页。
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
1.各杆件的弯矩图
杆的线刚度比值。
37kN D
H
(1.5)
M (0.8)
(0.7)
(0.6)
(0.9)
3.3m
74kN
C
(1.7) G
(1.0)
K
(0.7)
(0.9)
B
80.7kN
(2.4) F
(0.6)
(0.8)
A
第二十八页，共69页。
E
2.7m
(1.2)
8.1m
(0.9) 3.3m
J
(0.8) 3.9m
I
28
解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的分配系数。
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置确定
和柱子抗推刚度的确定。
4
第四页，共69页。
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用下
，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框架横 梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有侧移又
有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于3时，柱子
上、下端约束对梁反弯点的影响
h 2
yh
h
yh h 2
yh h
上下都是固端
反弯点在柱中点
上端为简支承
无反弯点或
反弯点在顶点
约束越大 ，反弯点偏离越多
上端约束小
下端约束大
反弯点在上半柱间
45
第四十五页，共69页。
反弯点法
F d 12i
d h2
D 值法
1
FD
D 12i
h2
1
考虑梁 、柱线刚度比
截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线刚度之
比往往要小于3，反弯点法不再适用。进行
框架内力计算，就必须对反弯点法进行改进
——改进反弯点（D值）法。
改进内容 ：
抗侧刚度
反弯点位置
DV
32
第三十二页，共69页。
二、改进反弯点法－Ｄ值法
（一）基本假定
①假定同层各节点转角相同； 承认节点转角的存在，但是为了计算 的方便，假定同层各节点转角相同。
6(ic
ic
)
u hj
j
0
B:
4(i1 i2
ic
ic )
2(i1 i2
ic
ic )
6(ic
ic
)
u hj
j
0
2
u j 2 u j
2
1 2ic
(i1
i2
i3
i4 )
hj
2 K hj
K ib 2ic
38
第三十八页，共69页。
V 6ia 6ib 12i a b V 12i 12i
均为直线，一般情 况下每根杆件都有 一个弯矩为零的点 ，称为反弯点；
2.所有杆件的最 大弯矩均在杆件两 端。
水平荷载作用下框架的弯矩图 3
第三页，共69页。
如果在反弯点处将柱子切
开，切断点处的内力将只有 剪力和轴力。
如果知道反弯点的位置和 柱子的抗侧移刚度，即可求 得各柱的剪力，从而求得框 架各杆件的内力，反弯点法 即由此而来。
位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12ic h2
ic ——柱子的线刚度； h ——柱子的层高。
9
第九页，共69页。
４.同层各柱剪力的确
定
V jk
d jk
m
Vj
d jk
k 1
Vjk ——第j层第k柱所承受的层间剪力；
d jk ——第j层第k柱子的抗侧刚度；
V j ——水平力在第j层产生的层间剪力；
m ——第j层的柱子数。
10
第十页，共69页。
４.同层各柱剪力的确定
一般，当同层各柱的高度相等时，
由
d
12ic h2
有
V jk
i jk
m
Vj
i jk
k 1
i jk ——柱子的线刚度
11
第十一页，共69页。
５.柱端弯矩
求得各柱子所承受的剪力以后，由假定(2)便可求
得各柱的杆端弯矩。
对底层柱
Mt c1k
V
6i a l
6i b l
12i l2
46
第四十六页，共69页。
（三）确定柱反弯点高度比y
柱反弯点高度，取决于柱子两端转角的相对大小。如 果柱子两端转角相等，反弯点必然在柱子中间；如果柱 子两端转角不一样，反弯点必然向转角较大的一端移动 。
影响柱子反弯点高度的因素主要有以下几个方面：
①结构总层数及该层所在的位置； ②梁、柱线刚度比； ③荷载形式；
反弯点必然向上移，故底层柱子的反弯点取在2/3处。 上部各层，当节点转角接近时，柱子反弯点基本在 柱子中间。
7
第七页，共69页。
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2 2 3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
第八页，共69页。
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相对单
l
l
l2
l
l2
将
2 2K
l
代入上式, 可得 V
K 2K
12i l2
A B 则
D jk
V
12ic hj2
K 2K
,
K 2K
,
K
ib 2ic
A
a
a
b
D jk
12ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时
，
1,
D
12ic hj2
同理可推导底层柱 D 值
hj
0.5 K , K ib
2K
ic
第三十九页，共69页。
B b
l
B
b
a
39
A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h —层高 ic —柱的线刚度，ic EIc / h ； E —柱混凝土弹性模量；
Ic —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
第四十页，共69页。
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
④上、下层梁刚度比； ⑤上、下层层高变化。
47
第四十七页，共69页。
（三）确定柱反弯点高度比y
在改进反弯点法中，柱子反弯点位置用反弯点高度 比来表示:
yY h
Y—表示柱反弯点高度 h—柱高度
y y0 y1 y2 y3
y0 —标准反弯点高度比，由附表2.1-2.2查取； y1 —上、下层梁刚度不等时的修正值，由附表2.3查取； y2 y3 —上、下层层高不等时的修正值，由附表2.4查取。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3处， 其余各层柱的反弯点位于柱中。
当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该位 于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、柱的线 刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点仍然存在转
角，那么反弯点的位置就不在柱子中间。尤其是底层柱 子，由于柱子下端为嵌固，无转角，当上端有转角时，
第三十页，共69页。
3
135.56kN m
M K J I
30
（4）求梁端弯矩：梁端弯矩按梁线刚度分配 D
M DH M DC 19.42kN
M DH 19.42kN
M DC 19.42kN
M GH 16.67kN
D
H
(1.5)
G
M GC ? M GC 52.04kN
M GK ? M GK 30.56kN
22
第二十二页，共69页。
（2）柱端弯矩 三 层
23
第二十三页，共69页。
（2）柱端弯矩
二 层
24
第二十四页，共69页。
（2）柱端弯矩
首 层
其余计算从略。
25
第二十五页，共69页。
（3）梁端弯矩
16
其余计算从略。
26
第二十六页，共69页。
(4) 弯
矩
图
27
第二十七页，共69页。
用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数值为该
DH
M
（1）求各柱剪力分配系数：
(0.7)
(0.6)
(0.9)
C
G
K
顶层：
DC
0.7 0.7 0.6 0.9
0.318
(0.7) B
(0.9) F
(0.9) J
HG
0.7
0.6 0.6
0.9
0.273
(0.6) A
(0.8) E
(0.8) I
MK
0.9 0.7 0.6 0.9
0.409
二层：
CB
0.7
0.7 0.9
0.9
0.280
GF
KJ
0.9 0.7 0.9 0.9
0.360
29
第二十九页，共69页。
底层：
BA
0.6
0.6 0.8
0.8
0.272
FE
JI
0.8 0.6 0.8 0.8
0.364
D
H
（2）求各柱在反弯点处的剪力：
37kN
VDC DC 37 11.77kN
18
第十八页，共69页。
解：作三个截面通过各柱的反弯点（一般层反反弯 点高度为1/2柱高，首层为2/3柱高），如图所示：
19
第十九页，共69页。
由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度的
相对值计算各柱的分配系数。
（1）柱的剪力
三层：
20
第二十页，共69页。
二层
21
第二十一页，共69页。
首层
1、计算柱子的抗侧刚度；
2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得各柱 剪力值； 3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩；
4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求得 梁端剪力； 5、计算柱子的轴力。
17
第十七页，共69页。
例题：用反弯点法 计算右图所示框架 的弯矩，并绘出弯 矩图。图中圆括号 内的数字为杆件的 相对线刚度。
i1 i2
ic
K i1 i2 i3 i4 2ic
K
2K
i3 i4
i1 i2
梁柱刚度比
ic
K i1 i2 ic
0.5 K
2K
41
第四十一页，共69页。
（二）柱的抗侧刚度D值
特殊情况：
1.当同一楼层中有个别柱与一般柱的高度不相等时，这些个别
柱的抗推刚度按下列公式计算：
第四十二页，共69页。
CG
74kN
VCB CB (37 74) 31.08kN
BF
VBA
BA
(37
74
80.7)
52.14kN
80.7kN
A
E
（3）求各柱柱端弯矩：
M DC
M CD
VDC
3.3 2
19.42kN
m
M BC
M CB
VBC
3.3 2
51.28kN
m
2 3.9
M AB 2M BA VBA
②假定同层各节点的侧移相同。 这一假定，实际上是忽略了框架梁的轴 向变形。这与实际结构差别不大。
33
第三十三页，共69页。
（二）柱的抗侧刚度D值
柱 D 值计算
DV
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic 与柱B端相交的梁的线刚度为
D'
1
12ic1 h12
42
（二）柱的抗侧刚度D值