云和县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

云和县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 2． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
3． 用秦九韶算法求多项式f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2，当x=﹣2时，v 1的值为（ ） A ．1
B ．7
C ．﹣7
D ．﹣5
4． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
5． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．
D ． 6． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
7． 设函数f （x ）=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
8． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9． 已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（ ）
A ．3x ﹣1
B ．3x+1
C ．3x+2
D ．3x+4
10．已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5
C ．7
D ．8
11．下列计算正确的是（ ）
A 、213
3
x x x ÷= B 、4554()x x = C 、455
4x x
x = D 、4455
0x x -
=
12．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ） A
．
B ．2
C
．
D
．
二、填空题
13．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．
14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －5≤0
2x －y －1≥0x －2y ＋1≤0
，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
15．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围
为 ．
16．已知函数f （x ）=x m 过点（2
，），则m= ．
17．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．
18．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.
三、解答题
19．如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ，E ，F 是PA 和AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ； （2）求E 到平面PBC 的距离．
20．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣4x ﹣5≤0}，B={x|x ＜4}，C={x|x ≥a}．
（Ⅰ）求A ∩（∁U B ）； （Ⅱ）若A ⊆C ，求a 的取值范围．
21．（选做题）已知f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ． （1）求M ；
（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
22．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()
2x
f x x ax a e =++，其中a R ∈，e 是
自然对数的底数.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调减区间；
（3）若()4f x ≤在[]
4,0-恒成立，求a 的取值范围.
23．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14
82
2=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；
（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.
24．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣
）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程；
（2）若点P 在该圆上，求线段OP 的最大值和最小值．
云和县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
考点：等差数列的通项公式．
2．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
3．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2
=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2，
∴v0=a6=1，
v1=v0x+a5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，
故选C．
4．【答案】C
【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
5．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'
222()x x a f x x
++=，因为函数2
()2ln 2f x a x x x
=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒
成立，1
0,4
a ∴∆≤∴≥，故选A. 1
考点：导数与函数的单调性． 6． 【答案】B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=， 解得24a =，由题意得1313812
a a a a +=⎧⎨
=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或136
2a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 7． 【答案】A
【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．
如果 x ≥0 有x 2
﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A ．
8． 【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B ，设圆半径为R ， 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，
其中满足条件AB
的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR ， 则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率
P=
=．
故选B ．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
9． 【答案】A
【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1
∴f（x）=3x﹣1
故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
11．【答案】B
【解析】
试题分析：根据()a aβααβ⋅=可知，B正确。

考点：指数运算。

12．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
二、填空题
13．【答案】A＜G．
【解析】解：由题意可得A=，G=±，
由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号，
由题意a，b是互异的负数，故A＜G．
故答案是：A＜G．
【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．
14．【答案】
【解析】
约束条件表示的区域如图，
当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.
答案：1
15．【答案】（﹣1，﹣）．
【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
16．【答案】﹣1．
【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得：=2m，
解得：m=﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．
17．【答案】[0，2]．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m ≤2， 故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
18．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE=PE ，AF=BF ， ∴EF ∥PB
又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 故EF ∥平面PBC ；
（2）解：在面ABCD 内作过F 作FH ⊥BC 于H ∵PC ⊥面ABCD ，PC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面ABCD
又面PBC ∩面ABCD=BC ，FH ⊥BC ，FH ⊂面ABCD ∴FH ⊥面PBC
又EF||平面PBC ，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH ．
在直角三角形FBH 中，∠FBC=60°，FB=，FH=FBsin ∠FBC=a ，
故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离，
等于
a ．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵全集U=R ，B={x|x ＜4}，
∴∁U B={x|x ≥4}，
又∵A={x|x 2
﹣4x ﹣5≤0}={x|﹣1≤x ≤5}，
∴A ∩（∁U B ）={x|4≤x ≤5}；
（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x ≤5}，C={x|x ≥a}，且A ⊆C ，
∴a 的范围为a ≤﹣1． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本
题的关键．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|=
当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1； 当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2． 所以M=（﹣2，2）．…
（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，
∵4（a+b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab+b 2）﹣（16+8ab+a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2
）＜0， ∴4（a+b ）2＜（4+ab ）2
，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…
【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．
22．【答案】（1）210x y -+=（2）当2a =时，()f x 无单调减区间；当2a <时，()f x 的单调减区间
是()2,a --；当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.（3）2
44,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式()4f x ≤进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极
值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为()()()()2
'222x
x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦，
当2a =时，()()2
'20x f x x e =+≥，所以()f x 无单调减区间. 当2a ->-即2a <时，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是()2,a --. 当2a -<-即2a >时，()()()'2x f x x x a e =++，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是(),2a --. 综上，当2a =时，()f x 无单调减区间；
当2a <时，()f x 的单调减区间是()2,a --；
当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.
（3）()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
. 当2a =时，由（2）可得，()f x 为R 上单调增函数，
所以()f x 在区间[]4,0-上的最大值()024f =≤，符合题意.
当2a <时，由（2）可得，要使()4f x ≤在区间[]4,0-上恒成立， 只需()04f a =≤，()()2244f a e
--=-≤，解得2442e a -≤<. 当24a <≤时，可得()4a
a f a e -=≤，()04f a =≤. 设()a a g a e =，则()1'a a g a e
-=，列表如下：
所以()()max 114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦，可得4a a e ≤恒成立，所以24a <≤. 当4a >时，可得()04f a =≤，无解.
综上，a 的取值范围是244,4e ⎡⎤-⎣⎦.
23．【答案】（1）x y 82=；（2）
9
64. 【解析】 试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积2
2b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x k
y ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 2
1=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．
（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k
1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111] ∴22
21218k
k x x +=+，22212188k k x x +-=. 1
2)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

可得2
)1(32||22++=k k BD . ∵BD AC ⊥，∴四边形ABCD 的面积)
12)(2()1(16||||21222
2+++=⋅=k k k BD AC S . 由于2222222]2
)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k ，∴964≥S ，当且仅当12222+=+k k ，即1±=k 时取得等号.
易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积8=S .
综上，四边形ABCD 面积的最小值为
9
64. 考点：椭圆的简单性质．1 【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得||||2MF MP ,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为22b .当直线AC 和BD 的斜率都存在时,分别设出BD AC ,的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.
24．【答案】
【解析】解：（1）ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0，展开为：ρ2﹣4×ρ（cos θ+sin θ）+6=0．
化为：x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0．
（2）由x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0可得：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2．
圆心C （2，2），半径r=
．
|OP|==2． ∴线段OP 的最大值为2+=3．
最小值为2﹣=．。