2022中考数学考试试卷真题(含答案和解析)(2)

2022中考数学考试试卷真题(含答案和解析)
1．2020的相反数是（）
A ．2020
B ．﹣2020
C ．
12020
D ．12020
-
2．下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（）
A ．0.15×108
B ．1.5×107
C ．15×107
D ．1.5×108
4．下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（
）
A ．圆锥
B ．圆柱
C ．三棱柱
D ．正方体
5．
某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数．．．和中位数．．．分别是（）
A ．253，253
B ．255，253
C ．253，247
D ．255，247
6．下列运算正确的是（）
A ．a+2a=3a 2
B ．235a a a ⋅=
C ．33
()ab ab =D ．326
()a a -=-7．一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（
）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
8．如图，已知AB =AC ，BC =6，尺规作图痕迹可求出BD =（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．以下说法正确的是(
)
A ．平行四边形的对边相等
B ．圆周角等于圆心角的一半
C ．分式方程
11222
x x x -=---的解为x =2D ．三角形的一个外角等于两个内角的和
10．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（
）
A ．200tan70°米
B ．
200
tan 70︒
米
C ．200sin70°米
D ．
200
sin 70︒
米
11．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）
A ．
B ．4ac -b 2<0
C ．3a +c =0
D ．ax 2+bx +c =n +1无实数根
12．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =12．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ,FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF ⊥BG ；②GE=GF ；③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F 与点C 重合时，∠DEF =75°．其中正确．．
的结论共有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
13．分解因式：3m m -=__________．
14．口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．
15．如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，O （0，0），A （3，1），B （1，2），反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k =___．
16．如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，
11
tan ,23BO ACB OD ∠==，则ABD CBD
S S =___
．
17
．计算：10
1
()2cos30||(4)3
π--︒+--．
18．先化简，再求值：
2
13(2)211a a
a a a +-÷+-+-，其中a =2．19．已知反比例函数k
y x
=
的图象分别位于第二、第四象限，化简：216
44
k k k -+--．20．为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社区676873757678808283848585909295
乙社区
666972747578808185858889919698
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．21．如图，平面直角坐标系xOy 中，
OABC 的边OC 在x 轴上，对角线AC ，OB 交于
点M ，函数()0k
y x x
=
>的图象经过点()3,4A 和点M ．
（1）求k 的值和点M 的坐标；（2）求
OABC 的周长．
22．
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．23．如图，ABD ∆中，ABD ADB ∠=∠．
（1）作点A 关于BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC ，DC ，连接AC ，交BD 于点O ．①求证：四边形ABCD 是菱形；②取BC 的中点E ，连接OE ，若13
2
OE =
，10BD =，求点E 到AD 的距离．24．如图，O 为等边ABC ∆的外接圆，半径为2，点D 在劣弧 AB 上运动（不与点,A B 重合），连接DA ，DB ，DC ．
（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；
（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．
25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
:012G y ax bx c a =++<<过点()1,5A c a -，
()1,3B x ，()2,3C x ，顶点D 不在第一象限，线段BC 上有一点E ，设OBE △的面积为1S ，
OCE △的面积为2S ，123
2
S S =+
．（1）用含a 的式子表示b ；（2）求点E 的坐标；
（3）若直线DE 与抛物线G 的另一个交点F 的横坐标为6
3a
+，求2y ax bx c =++在16x <<时的取值范围（用含a 的式子表示）
．参考答案
1．B 【解析】【分析】
直接利用相反数的定义得出答案．【详解】
解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】
解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【解析】
【分析】
分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．【详解】
解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A 不符合题意；圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B 不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C 不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，明确圆锥、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提．5．A 【解析】【分析】
根据题干找出基准数，排列出新数列，则找到平均数，再由从小到大排列找出中位数．【详解】
求平均数可用基准数法，设基准数为250，则新数列为-4，3，-3，5，13，新数列的平均数为3，则原数列的平均数为253；对数据从小到大进行排列，可知中位数为253，故选A ．【点睛】
此题考查中位数和平均数相关知识，难度一般．6．B 【解析】【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可．【详解】
A ．a +2a =3a ,该选项错误;
B ．235a a a ⋅=,该选项正确;
C ．333()ab a b =,该选项错误;
D ．326()a a -=,该选项错误;故选B ．
本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．7．D 【解析】【分析】
如图：根据直角三角形的性质可得360︒∠=，然后再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．【详解】
解：如图：∵含30°直角三角形∴360︒∠=∵直尺两边平行∴∠1+∠2+∠3=180°
∴21803180︒︒∠=-∠-∠=．故答案为D ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，其中灵活运用两直线平行、同旁内角互补的性质是解答本题的关键．8．B 【解析】【分析】
根据尺规作图的方法步骤判断即可．
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
【点睛】
本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
9．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、圆周角定理、解分式方程以及三角形外角的性质逐项分析即可．【详解】
解：A选项正确；
B选项：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故B选项错误；
C选项：x=2为增根，原分式方程无解，故C选项错误；
D选项：没有指明两个内角为不想邻的内角，故D选项错误．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、解分式方程以及三角形外角的性质等知识，掌握相关性质、定理所关注的细节是解答本题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，∴tan 70PQ PT ︒
=，∴200tan 70tan 70PQ PT ==︒︒，即河宽200tan 70︒
米，故选：B ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．11．B
【解析】
【分析】
根据函数图象确定a 、b 、c 的符号判断A ；根据抛物线与x 轴的交点判断B ；利用抛物线的对称轴得到b=2a ，再根据抛物线的对称性求得c=-3a 即可判断C ；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D ．
【详解】
由函数图象知a <0，c >0，由对称轴在y 轴左侧，a 与b 同号，得b <0，故abc>0，选项A 正确；
二次函数与x 轴有两个交点，故∆=240b ac ->，则选项B 错误，
由图可知二次函数对称轴为x =-1，得b =2a ，
根据对称性可得函数与x 轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y =ax 2+bx +c 可得c =-3a ，
∴3a +c =0，选项C 正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（-1，n ），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D 正确；
故选：B ．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax 2+bx+c 型抛物线的性质及特征是解题的关键．
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】
连接BE,由折叠可知BO=GO，
∵EG//BF，
∴∠EGO=∠FBO，
又∵∠EOG=∠FOB，
∴△EOG≌△FOB(ASA)，
∴EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
由折叠可知BE=EG，
则四边形EBFG为菱形，
故EF⊥BG，GE=GF，
∴①②正确；
∵四边形EBFG为菱形，
∴KG平分∠DGH，
∴,DG≠GH，
∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；
当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，
∴∠AEB＝30°，
175
2
DEF DEB
∠=∠=︒，故④正确．
综合，正确的为①②④．
【点睛】
本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．13．(1)(1)
m m m +-【解析】
【分析】
综合利用提取公因式法和平方差公式法分解因式即可得．
【详解】
原式2(1)
m m =-(1)(1)
m m m =-+故答案为：(1)(1)m m m +-．
【点睛】
本题考查了利用提取公因式法和平方差公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
14．3
7
【解析】
【分析】
用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．
【详解】
解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为
37
，故答案为：
37．【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．-2
【解析】
连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标
1,1
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
16．3 17
【解析】【分析】
过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，证明ADO EBO ∽△△，得到3,AO OE =再证明,ABE ACB ∠=∠利用1tan tan ,2
BE AE ACB ABE CE BE ∠=
=∠==设,OE a =利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，90,
DAC ∠=︒∴BE ⊥AD ，
ADO EBO ∴ ∽，∴,AO DO EO BO =13
BO OD = ∴
3,AO DO EO BO ==3,
AO OE ∴=由1tan 2
ACB ∠=，1,2
BE CE ∴=2,
CE BE ∴=90,,
ABC BE AC ∠=︒⊥ 90,
ABE CBE CBE ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠,
ABE ACB ∴∠=∠1tan tan ,2
AE ACB ABE BE ∴∠=∠=
=2,
BE AE ∴=24,CE BE AE ∴==
∴OAB OAD ABD CBD OCB OCD S S S S S S ∆∆+=+ ()()11221122
AO AD AO BE AO AD BE AO OC AD BE OC OC AD OC BE ∙+∙+===+∙+∙设,OE a =则3,
AO a =4,AE AO OE a ∴=+=16,CE a =17.
OC OE CE a =+=33.1717
ABD CBD S AO a S OC a ∆∆===故答案为：
3.17
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用，能正确作出辅助线，借助三角函数和相似三角形表示线段的长度是解题关键．
17．2
【解析】
【分析】
分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并即可．
【详解】
解：10
1
()2cos30|3|(4)3π--︒+---332312
=-⨯-3331
=
2.
=【点睛】
本题考查实数的运算，考查了负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
18．11
a -，1．【解析】
【分析】
先将分式进行化简，再把a 的值代入化简的结果中求值即可．【详解】
213(2211
a a a a a +-÷+-+-212(1)3(1)1
a a a a a +-+-=÷--211(1)1
a a a a ++=÷--211(1)1
a a a a +-=⨯-+1
1a =
-当a=2时，原式1121
=
=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
19．5
【解析】
【分析】
由反比例函数图象的性质可得k <0,化简分式时注意去绝对值．
【详解】
由题意得k <0．
()()22
4416164444
k k k k k k k k +---+++----
441415
k k k k k ++
=++-=+-+==【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题．
20．（1）中位数是82，众数是85；（2）
13
.【解析】
【分析】
（1）根据中位数及众数的定义解答；
（2）列树状图解答即可.
【详解】
（1）甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85；
（2）这4名老人的年龄分别为67,68,66,69岁，分别表示为A 、B 、C 、D ，
列树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中2名老人恰好来自同一个社区的有4种，分别为AB ，BA ，CD ，DC ，∴P （这2名老人恰好来自同一个社区）=
41123=.【点睛】
此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，熟练掌握解题的方法是解题的关键.
21．
（1）k=12，M （6,2）；（2）28【解析】
【分析】
（1）将点A （3,4）代入k y x
=中求出k 的值，作AD ⊥x 轴于点D ，ME ⊥x 轴于点E ，证明△MEC ∽△ADC ，得到12ME MC AD CA ==，求出ME=2，代入12y x
=即可求出点M 的坐标；
（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.
【详解】
（1）将点A（3,4）代入
k
y
x
=中，得k=3412
⨯=，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴MA=MC，
作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴
1
2 ME MC
AD CA
==，
∴ME=2，
将y=2代入
12
y
x
=中，得x=6，
∴点M的坐标为（6,2）；
（2）∵A（3,4），
∴OD=3，AD=4，
∴5
OA==,
∵A（3,4），M（6,2），
∴DE=6-3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴OABC
的周长=2(OA+OC)=28.【点睛】
此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.
22．
（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【解析】
【分析】
（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）依题意得：()501-50%=25⨯（万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x ）辆,依题意得：
()50260x +25x=9000
⨯-解得：x=160
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
23．（1）见解析；（2）①见解析：②
12013．【解析】
【分析】
（1）过点A 做BD 的垂线交BD 于点M ，在A M 的延长线上截取AM CM =，即可求出所作的点A 关于BD 的对称点C ；
（2）①利用ABD ADB ∠=∠，AC BD ⊥得出BO DO =，利用AO CO =，以及AC BD ⊥得出四边形ABCD 是菱形；
②利用OE 为中位线求出AB 的长度，利用菱形对角线垂直平分得出OB 的长度，进而利用Rt AOB ∆求出AO 的长度，得出对角线AC 的长度，然后利用面积法求出点E 到AD 的距
离即可．
【详解】
（1）解：如图：点C 即为所求作的点；
（2）①证明：
∵ABD ADB ∠=∠，AC BD ⊥，
又∵AO AO =，
∴ABO ADO ∆≅∆；
∴BO DO =，
又∵AO CO =，AC BD
⊥∴四边形ABCD 是菱形；
②解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO CO =，BO DO =，AC BD
⊥又∵10BD =，
∴=5BO ，
∵E 为BC 的中点，
∴CE BE =，
∵AO CO =，
∴OE 为ABC ∆的中位线，∵132
OE =，∴13AB =，
∴菱形的边长为13，
∵AC BD ⊥，=5
BO
在Rt AOB ∆中，由勾股定理得：222AO AB BO =-，即：AO =，∴12224AC =⨯=,
设点E 到AD 的距离为h ，利用面积相等得：
12410132
h ⨯⨯=，解得：12013
h =，即E 到AD 的距离为
12013．【点睛】
本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键．
24．(1)详见解析；(2)是，24)4
S x x =
<≤；(3)【解析】
【分析】
(1)根据等弧对等角的性质证明即可；
(2)延长DA 到E,让AE=DB,证明△EAC ≌△DBC,即可表示出S 的面积；
(3)作点D 关于直线BC 、AC 的对称点D 1、D 2，当D 1、M 、N 、D 共线时△DMN 取最小值，
可得t =D 1D 2，有对称性推出在等腰△D 1CD 2中,t ，D 与O 、C 共线时t 取最大值即可算出．
【详解】
(1)∵△ABC 为等边三角形,BC=AC ，
∴ AC BC =,都为13
圆，∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC 是∠ADB 的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA 至点E ，使得AE=DB ．
连接EC ，则∠EAC=180°－∠DAC ＝∠DBC ．
∵AE ＝DB ，∠EAC ＝∠DBC,AC ＝BC ，
∴△EAC ≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC 是等边三角形，
∵DC=x ，∴根据等边三角形的特殊性可知DC 边上的高为2
x
∴214)224
DBC ADC EAC ADC CDE S S S S S S x x x x =+=+==⋅⋅=<≤．
(3)依次作点D 关于直线BC 、AC 的对称点D 1、D 2,根据对称性
C △DMN =DM+MN+ND=
D 1M+MN+ND 2．
∴D 1、M 、N 、D 共线时△DMN 取最小值t ,此时t =D 1D 2,
由对称有D 1C=DC=D 2C=x ，∠D 1CB=∠DCB ，∠D 2CA=∠DCA,
∴∠D 1CD 2=∠D 1CB+∠BCA+∠D 2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD 1D 2=∠CD 2D 1=60°，
在等腰△D 1CD 2中,作CH ⊥D 1D 2，
则在Rt △D 1CH 中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D 1H=13322
x =，
同理D 2H=222
CD x =
∴t =D 1D 2=．
∴x 取最大值时,t 取最大值．
即D 与O 、C 共线时t 取最大值,x =4．
所有t 值中的最大值为
【点睛】
本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．
25．（1）6b a =-；（2）7,32E ⎛⎫
⎪⎝⎭或5,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）当16x <<时，有0＜y ＜9.a 【解析】
【分析】（1）把()1,5A c a -代入：()2
:012G y ax bx c a =++<<，即可得到答案；（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与BC 的交点为H ，确定顶点的位置，分情况利用1232
S S =+，求解OEH S ，从而可得答案；（3）分情况讨论，先求解DE 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解,c 结合二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）把()1,5A c a -代入：()2
:012G y ax bx c a =++<<，5,
c a a b c ∴-=++6,
b a ∴=-（2）6,
b a =- ∴抛物线为：()26012,
y ax ax c a =-+<<∴抛物线的对称轴为：63,2a x a
-=-
= 顶点D 不在第一象限，
∴顶点D 在第四象限，
如图，设1x ＜2,x 记对称轴与BC 的交点为H ，
则,BH CH =,
OBH OCH S S ∴= 1232
S S =+ ，3,2
OBH OHE OCH OHE S S S S ∴+=-+
3,4OHE S ∴= 133,24
EH ∴⨯=1,2
EH ∴=7,3,2E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
当1x ＞2,x 同理可得：5,3.2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
综上：7,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭或5,3.2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（3）()22639,
y ax ax c a x c a =-+=-+- ()3,9,
D c a ∴-当7,32
E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设DE 为：,y kx b =+73239k b k b c a
⎧+=⎪∴⎨⎪+=-⎩解得：621876318
k c a
b c a =-+⎧⎨=--⎩DE ∴为()621876318,
y c a x c a =-++--
()26621876318
y ax ax c y c a x c a ⎧=-+⎪∴⎨=-++--⎪⎩消去y 得：()2
6224663180,ax c a x c a +-+--++=由根与系数的关系得：6622433,c a a a
-+-+
+=-解得：9,c a =()22693,
y ax ax a a x ∴=-+=-当1x =时，4,
y a =当6x =时，9,
y a =当3x =时，0y =，
当16x <<时，有0＜y ＜9.
a 当5,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()3,9,D c a -同理可得DE 为：()218654518,
y c a x c a =---++()22186545186y c a x c a y ax ax c
⎧=---++∴⎨=-+⎩同理消去y 得：()2
1226645180,ax a c x c a +-++--=612266,a c a a
-+∴+=-解得：96,
c a =+()2
269636,
y ax ac a a x ∴=-++=-+此时，顶点在第一象限，舍去，
综上：当16x <<时，有0＜y ＜9.
a 【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方
程根与系数的关系，掌握以上知识是解题。