2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学
试题
一、单选题
1．双曲线22
132x y -=的渐近线方程是（ ）
A ．23
y x =± B ．3
2y x =±
C ．y =
D ．y = 【答案】D
【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】由题得双曲线的方程为22
132
x y -
=，所以a b =，
所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D
2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||
v v μθμ⋅=
B ．||
cos ||||
v v μθμ⋅=
C ．sin |||v
v μθμ⋅=
∣
D ．||
sin ||||
v v μθμ⋅=
【答案】D
【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||
sin ||||
v v μθμ⋅=， 故选：D
3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =
C ．24x y =-
D ．24x y =
【答案】D
【分析】由已知条件可得
12
p
=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，
所以
12
p
=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D
4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）
A ．无极大值点、有四个极小值点
B ．有三个极大值点、一个极小值点
C ．有两个极大值点、两个极小值点
D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C
【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.
【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0f
x
，
当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，
所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，
所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．
5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C D ．【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .
6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.
【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；
若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；
所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得
DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.
7．已知双曲线22
221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．（1
B ．（1
C ．∞）
D ．，＋∞）
【答案】C
【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为b
y x a
=
，由题意得2b a >，
所以双曲线的离心率c e a ==
故选：C.
8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式
()0
f x x
>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()
(),20,2-∞-
【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x
=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x
=
≠.
因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()
()f x f x g x g x x x --=
=-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222
f f
g g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()
2
0xf x f x g x x
'-'=
<，所以()g x 在()0,∞+上单减.
因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式
()0f x x
>即为()0g x >.
当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x
>的解集为()
(),20,2-∞-.
故选：D
二、多选题
9．下列导数运算正确的有（ ）
A ．211
x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．()(1)x x xe x e '=+
C ．()222x x e e '=
D ．()2
ln 2x x
'=
【答案】BC
【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.
【详解】对于A ，()
12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭
，故错误；
对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()'
'
11
ln 222x x x x
==，故错误. 故选：BC.
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >
【答案】ABC
【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.
【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()115815152158151202
2
a a a S +⨯⨯=
==⨯=.故B 正确；
对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；
对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC
11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m
+=
-的图像，曲线()()22
22:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．
A
B
C
D ．3
【答案】BD
【分析】先将()f x 整理成()nm m
f x n x m
+=+
-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案
【详解】因为()nx m nm m
f x n x m x m
++=
=+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平
移n 个单位长度得到，nm m
y x
+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm m
f x n x m x m
++=
=+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()3
21
f x x =+
-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛
⎫+ ⎪-⎝
⎭，
则()()2
2
33121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫
=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，
当且仅当3
11
x x -=
-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD
12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1n
n
C x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．
的是（ ）．
A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称
B ．当0n >时，曲线
C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2
D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD
【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n n
x y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离2
2
2
2
2
1x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭
.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求
出最小值.
【详解】对于A ：在曲线:1n
n
C x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成
中心对称.故A 正确；
对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；
对于C ：当01n <<时,由1n n
x y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.
又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222
⨯=，且1n n
x y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.
对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.
不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则2
22221x d x y x x ⎛⎫
=+=+ ⎪-⎝⎭
. 令()11x t t -=>-,
则22
2
2222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++
=++++≥=，当且仅当221
t t =且22t t
=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C
上点到原点距离的最小值为故D 正
确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则
12
34
a a a a ++的值为______． 【答案】1
4
##0.25
【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，
1211134111231
48124
a a a a a a a a a a ++∴
===++ 故答案为：1
4
.
14．设点P
是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.
【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【分析】
求出23'=y x
tan α≥α的范围可得答案. 【详解】
∵23y x '=≥
∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02
π
α≤<
或
23
a π
π≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
.
故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
.
15．已知数列{}n a 满足()2
1n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有
1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．
【答案】1016,1117⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1
111
m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1
117
m ->
，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()2
1n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，
所以()()()()()()222222
111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，
解得：1111
m -<
. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪
+⎨-<⎪--⎩
，解得：1
117
m ->
. 所以
1111711m <-<，解得：10161117
m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故答案为：1016,1117⎛⎫
⎪⎝⎭
16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.
【答案】(]1,01e ⎧⎫
-∞+⎨⎬⎩⎭
【分析】方程2l e
n 1x
x ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1
e x x a x x
-++=
存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 1
0e ,e x x f x x x x x x x x
-+++==+>有唯一的交点，
利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1
x f x x
x x +=+的图象，即可求解
【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1
e x x a x x
-++=存在唯一实根，
令()()2ln 1
0e ,x x x x x
f x -++=>，
则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛
⎫-+⋅- +⎪⎭
+⎝
'= ()2222
31l e l e n e n x x x x x x x x x
x x ----+==-⋅-- 令()()()
2211ln e e ln x
x
x x h x x x x x --⋅=-++⋅=，
注意到()10h =，则()10f '=，且
当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e e
l 0x x
x x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e e
l 0x x
x x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0f
x
，()f x 单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 1
0e ,e x x f x x x x x x x x
-+++=
=+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；
所以()()2ln 1ln 1
0e ,e x x f x x x x x x x x
-+++=
=+>的大致图象为：
由2ln 1
e x
x a x x
-++=
存在唯一实根，
则函数y a =与函数()()2ln 1ln 1
0e ,e x x f x x x x x x x x
-+++==+>有唯一的交点，
由图象可知0a ≤或1
1e
a =+时满足条件，
所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫
∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭
故答案为：(]1,01e ⎧⎫
-∞⋃+⎨⎬⎩⎭
四、解答题
17．已知函数321
()213
f x x x =-++.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 19
3
f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0f
x
，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.
（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，
令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，
在[]0,2单调递增，
所以()()min 01f x f ==，
而()81928133f =-++=，()11012133
f -=++=， 故最大值是()923
1f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．
【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=
【解析】（1）利用准线方程2
p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.
【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2
p x =-
过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =
（2）设切线方程为1x my =-
与抛物线方程联立有2440y my -+=
()24160m ∆=-=
故1m =±
故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=
【点睛】求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
19．等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，59a =．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设1
23a n n b +=，求数列12n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-
(2)1313442n n n S +⎛⎫=
--⋅ ⎪⎝⎭
【分析】（1）设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式列方程求解；
（2）由（1）求得132
n n n a b n +=⋅，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，
则23411151231549
a a a a d a d a d a a d ++=+++++=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；
（2）由（1）可得1
233a n n n b +==，
132
n n n a b n +∴=⋅ 231323333n n n S =⨯+⨯+∴⨯++⋅，
234113233333n n n S +=⨯+⨯++⋅∴⨯+
两式相减得()2311313333333231n n n n n S n n ++--=+++
+-⋅=-⋅-，
整理得1313442n n n S +⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭ 20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF=1.
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）在线段EF 上是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB ，所成的锐二面角为45o ，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为45o
【详解】试题分析：（1）由AB ∥CD 且AD=DC ，得∠DAC=∠DCA=∠CAB ，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB= 12∠DAB=30°，得△ABC 中∠ACB=90°，从而AC ⊥BC ．最后根据
平面ACEF ⊥平面ABCD ，结合面面垂直的性质定理即可证出BC ⊥平面ACFE ；（2）以C 为坐标原点，AC 、BC 、CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A 、B 的坐标，设M （a ，0，1）从而得出,AB BM 的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出()
1,3,3m a =-是平面AMB 的一个法向量，结合()1,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量,m n 的余弦之值，由平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45°，建立关于a 的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面
角为45°
试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o ，
∴ 2AB =，
，∴222AB AC BC =+
∴ AC BC ⊥
又平面ACFE ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD
∴BC ⊥平面ACFE
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC 、BC 、CF 两两垂直，分别以
为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则(300)A ，，，(010)B ，，，设(01)M a ，，，
则
，， 设是平面MAB 的法向量，则
取，得， 显然是平面FCB 的一个法向量， 于是， 化简得22(3)0a +=，此方程无实数解，
∴线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为45o
【解析】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法
21．已知函数()()x f x ax e a R =-∈.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设()2312
g x x ax =-+-，求证：当[]0,1x ∈时，()()f x g x ≤恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可得单调区间；
（2）将问题转化为()23102
x h x x e =
-+≤在[]0,1上恒成立，利用导数可求得()()max 00h x h ==，由此可证得结论.
【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为R ，()x f x a e '=-； ①当0a ≤时，e 0x >，则()0f x '<在R 上恒成立，
f x 的单调递减区间为(),-∞+∞，无单调递增区间；
②当0a >时，令()0f x '=，解得：ln x a =，
∴当(),ln x a ∈-∞时，0f x ；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '<；
f x 的单调递增区间为(),ln a -∞，单调递减区间为()ln ,a +∞；
综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),ln a -∞，单调递减区间为()ln ,a +∞.
（2）由()()f x g x ≤得：23102
x x e -+≤； 令()()231012
x h x x e x =-+≤≤，则()3x h x x e '=-，()3x h x e ''=-，
当01x ≤≤时，()0h x ''>，()h x '∴在[]0,1上单调递增，
()01h '=-，()130h e '=->，[]00,1x ∴∃∈，使得()00h x '=，
∴当[)00,x x ∈时，()0h x '<；当(]0,1x x ∈时，()0h x '>；
()h x ∴在[)00,x 上单调递减，在(]0,1x 上单调递增，
又()00h =，()1102
h e =-<，()()max 00h x h ∴==，即()0h x ≤在[]0,1上恒成立， ∴当[]0,1x ∈时，()()f x g x ≤恒成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、利用导数证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最大值的求解问题，通过导数得到函数单调性，进而确定最大值.
22．已知椭圆C ：2
214
x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，直线(02)x m m =<<与C 交于M 、N 两点，直线A 1M 和直线2A N 交于点P .
(1)求P 点的轨迹方程；
(2)求12PA PM
PA PN ⋅⋅的取值范围.
【答案】(1)2
21(2)4
x y x -=> (2)()1,4
【分析】（1）写出直线1A P 和2A P 的直线方程，联立后求出24(
,)m y P m m
，从而可以进一步求出P 点的轨迹方程为2
21(2)4x y x -=>； （2）根据弦长公式求出每个线段的长度，并根据分离常数法即可求解.
【详解】（1）设(,),(,)M M M m y N m y -，
依题意得12(2,0),(2,0)A A -，
∴直线1:(2)2M y A P y x m =
++ 直线2:(2)2M y A P y x m -=
-- 联立可得(2)(2)22
M M y y x x m m -+=-⇒+-
(2)(2)(2)(2)m x m x -+=+-， 解得2244,,(,)M M y y x y P m m m m
==∴，. 22
221,144
M M m m y y +=∴=-， 2222222444114
M P P
y x m y m m m -∴===-=-，即2214P P x y -= 402,,2P m x x m <<=∴>， ∴P 点的轨迹方程为2
21(2)4
x y x -=>. （2）∵1,2
M A
P y k m =+ 12,P PA x ∴
=+,P PM m
=- 同理可得22P PA
=-，P PN m =-， 2,P x m >>
∴原式=221()(2)()21()(2)()2M P P M P P y x x m m y x x m m ⎡⎤++-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤+--⎢⎥-⎣⎦
2
22
2144[1](2)(2)144[1](2)(2)m m m m m m -+++=-+-- 22(2)(2)243101()4(2)2103(2)(2)421()24(2)m m m m m m m m m m m m m m ⎡⎤-++++⎢⎥+⎣⎦==-⎡⎤-+-+⎢⎥-⎣⎦
10361,101033m m m
+==+-- 02,m <<
1032,m
∴-> 603,103m
∴<<-
6114,103m ∴<+<- 故12||||(1,4),||||PA PM PA PN ⋅∈⋅。