方差、用样本方差估计总体方差 人教版数学八年级下册

典例精析 例 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中， 班级平均分和方差如下：x甲 x乙 =80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较 为稳定的班级是( B ) A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根 据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小，我们很 容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
典例精析
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均 数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能 够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习 题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此 可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当 平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．
可以画出统计图如图所示：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
合作探究
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大， 乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近.
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？
新知小结
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法. 统计中常采用下面

合作探究
问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产 量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子 的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试 验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
x乙 =
8
166.
方差分别是
2 (163 165)2 (164 165)2
s=
甲
8
2 (163 166)2 (165 166)2
s乙 =
8
(167 165)2 1.5， (168 166)2
2.5.
由s甲2 ＜ s乙2 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
新知小结
一般地，设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，则方差
+（7.41-7.54）2 0.01， +（7.49-7.52）2 0.002.
显然 s甲2 ＞ s乙2 ，即说明甲种甜玉米的波动较大，
据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
典例精析 例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅 湖》, 参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示.
的做法：设有n个数据x1， x2 ，… ，xn，各数据与它们的平均数 x 的差的
平方分别是
2
x1 x ,
2
x2 x ,…,
xn x 2 ,我们用这些值的平均数，即用
1
n
2
x1 x
2
x2 x
xn x
2
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.
班级 甲 乙
参加人数 55 55
中位数 149 151
方差 191 110
平均数 135 135
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个数≥150为优秀)；③
甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 ①②③ .
课堂总结 公式
甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
典例精析
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
163 164 2 165 2 166 2 167
x甲 =
8
165,
163 165 2 166 2 167 168 2
方差
s2=
1 n
[（x1-x ）2+（x2 -x ）2+
+（xn -x）2]
意义
方差越大（小），数据的波动越大（小）
第二十章 数据的分析
20.2.1 方差、用样本方差 估计总体方差
学习目标
1.理解方差的概念及统计学意义. 2.会计算一组数据的方差. 3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.
新课导入
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中 趋势的量以外，还有一类刻画数据波动(离散)程度的量，其中最 重要的就是方差. 本节我们将在实际问题情境中，了解方差的统 计意义并运用方差解决问题.
随堂练习
1.对于一组统计数据3，3，6，5， 3. 下列说法错误的是( D )
A．众数是3
B．平均数是4
C．方差是1.6
D．中位数是6
随堂练习
2.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则( D ) A．x＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0 C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
新知小结
方差的意义 方差用来衡量一组数据的波动大 小(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小.
合作探究 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？
s甲2
=（7.65-7.54）2 +（7.50-7.54）2 + 10
s乙2
=（7.55-7.52）2 +（7.56-7.52）2 + 10
s2＝
1 n
(
x1
x)2
(
x2
x)2
( xn x)2 ，
它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
合作探究 如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时通常需要先按动有关 键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差 的功能键，计算器便会求出方差的值.
随堂练习 3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分别是 0.8和0.35，则成绩比较稳定的是___乙____ (填“甲”或“乙”).
4.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是____2___.
随堂练习
5.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数统计结果如 下表：
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?
合作探究 上面两组数据的平均数分别是
x甲 =7.537， x乙 =7.515，
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量 相差不大.由此 可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
由样本平均数估计总体平均数
合作探究
怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？