2016届数学一轮(理科)北师大版课时作业第九章平面解析几何-6含答案

第6讲 抛物线

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2015·合肥质量检测)抛物线x 2＝1

2y 的焦点坐标为 ( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫18，0

D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，18 解析 抛物线x 2

＝12y 的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 答案 D

2．(2014·咸阳复习检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为

( )

A ．2

B ．1 C.1

2

D.14

解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p

2，

∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p

2＝3，解得p ＝2，故选A. 答案 A

3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2

D ．y ＝112x 2或y ＝－1

36x 2

解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2

. 答案 D

4．(2014·九江质量检查)已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 2

5＝1的

右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为

( )

A ．2 2

B ．3

C ．2 3

D ．4

解析 抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p 2＝

3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝

2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3. 答案 B

5．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 ( )

A.33

4 B.938 C.6332

D.94

解析 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫

34，0，

法一 直线AB 的斜率k ＝3

3， 故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －34，

代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋9

16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝21

2.

由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3

2＝12， 法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p

sin 2θ＝32sin 230°＝12， 结合图像可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，

所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9

4. 答案 D 二、填空题

6．(2014·北京海淀区模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________.

解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－p

2，双曲线x 2－y 2＝1的左顶点为 (－1,0)，所以－p

2＝－1，p ＝2. 答案 2

7．(2014·银川质量检测)已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．

解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 2

1＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得

y 21－y 22＝2(x 1－x 2

)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝0

8．(2015·沈阳质量监测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB

→＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA

＝________. 解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2－p 2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 3－p 2，y 3＝(0,0)， 故y 1＋y 2＋y 3＝0.

因为1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 2

1)

y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 1

2p ，所以

原式＝

2(y 1＋y 2＋y 3)2p

＝0.

答案 0 三、解答题

9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直

角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．

解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1

k x ， 由⎩⎨⎧

y ＝kx ，y 2＝2px ，

得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，

由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨

⎪⎧

4p 2k 2

＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②

②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)

＝4

5.

又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝45

5x .

10．(2014·陕西卷)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32.

(1)求a ，b 的值；