电迁移模型课件

可以看出：在这一模型中，温度和相对湿度值在数量上进行了叠加以此来考虑温度和湿度对于器件工作寿命的共同影响。

Lawson 的模型在其1974年和1984年的研究论文中提出[144][145]，由于其模型中的相对湿度平方项，所以，这一模型亦被称之为“RH 2模型”。

其基本表达式为：
2
a E BH kT L t C e −=⋅ (3-1-)
这里0B >是一个正的待定常数。

需要指出的是：上面所介绍的两个模型与Peck 模型一样均是通过对实验结果的分析得到的。

3-1-1-3电迁移模型
如前章所述，在强电流流过金属线时，金属离子会在电流及其它因素的相互作用下移动并在金属层内形成孔隙或裂纹的这样一个现象被称之为“电迁移”。

电迁移是由于金属离子的扩散所引起的，这种扩散有三种基本的形式，即表面扩散、晶格扩散、晶界扩散。

不同的金属材料所涉及的扩散形式可能不同，例如，凸点中的扩散主要是晶格扩散；Al 互连线的扩散主要是晶界扩散；而Cu 互连线的扩散主要是表面扩散等。

影响电迁移的因素主要可以归纳为如下的三类[64]：
y 导致扩散的外力。

这些外力包括了由电子与金属离子动量交换和外电场产生的综合
力、非平衡态离子浓度产生的扩散力、由纵向压力梯度产生的机械应力以及温度梯度产生的热应力。

这些应力的存在会导致金属的离子流密度不连续从而产生电迁移。

y 几何因素。

转角、台阶、接触孔的存在都会加大局部的应力梯度从而加速电迁移现
象的发生。

此外，当线宽变得可以和晶粒大小相比拟甚至更小时，晶界扩散会减少且向晶格扩散和表面扩散转化。

y 金属材料本身。

通常合金可有效地抑制电迁移，正如前面所提到的那样，掺一点铜
能大大提高铝金属层的寿命，加入少量硅也可提高可靠性，因为铜原子沿晶粒界面的吸收使可扩散的部位减少。

电迁移失效物理模型建立了元器件的电迁移与流过金属的电流密度以及金属的几何尺寸、材料性能和温度分布的关系。

流过金属的电流可以是直流或交流，交流条件下的电迁移研究是建立在直流物理模型基础上的，通常采用平均电流密度并对电迁移寿命作近似评估。

将直流与交流模型相结合即得到了通用的电迁移失效物理模型。

3-1-1-3-1质量迁移的离子流方程 电迁移在数学上是由离子流密度的不连续来描述的。

离子流密度向量J G 可表示为金属离子浓度N 和离子扩散速度v G 的乘积：
J Nv =G G (3-1-)
作为一个描述物质流动与受力的近似关系，离子扩散的速度向量v G 与离子扩散力F G 之间呈线性关系，即
v F μ=G G (3-1-)
且迁移率μ满足爱因斯坦关系[5]：
D fkT
μ= (3-1-)
其中，系数D 称为自扩散率；f 为晶格修正系数，
大多数情况下1f =；k (=1.380662×10-23J/K) 为波尔兹曼常数；T 为绝对温度。

如前所述，离子扩散力F G 是由势能场U 的变化引起的[7]，且在数量上等于势能场U 的梯度但方向相反，即
F U =−∇
G (3-1-)
同时势能场为电势能、化学势能和机械势能的总和：
*00ln N U Z eV kT N μσε⎡⎤⎛⎞=+++Ω⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
(3-1-)
其中，第一项为电势能，*Z 为有效运动离子电荷数；e (=1.6021892×10-19C)为电子电荷； V 为电势；第二项为起始态化学能和非平衡状态下离子的化学能，0μ为固有化学势能，N 为金属扩散离子浓度，0N 为初始离子浓度；第三项为机械能，Ω为金属原子体积，σ为应变能密度。

由（4）和（5）可以看出离子扩散力F G 来自电场力（电子与金属离子动量交换后的综合力）、由于非平衡态离子浓度的不同产生的扩散力、以及由纵向压力的不同而产生的机械应力。

此外，对于电势能微分形式的欧姆定律还给出了电场强度E G 与电流密度j G 的如下表达式：
E V j ρ=−∇=G G (3-1-)
其中，ρ为电阻率。

这样将（2）-（6）代入（1）即得出离子流密度J G 的如下表达式[7]： *ND kT J Z e j N kT N ρσ⎛⎞=−∇−Ω∇⎜⎟⎝⎠
G G (3-1-)
在（7）中，扩散系数D 服从Arrehnius 的关系，即：
0a E kT D D e −= (3-1-)
其中，系数0D 为频率因子，a E 为激活能。

在很多的实际场合中可以认为高电流密度是造成电迁移的主要原因，于是忽略（7）中的机械应力梯度和缺陷浓度梯度的影响，合并（7）和（8），并令
*0ND Z e B k
≡ (3-1-)
后得到： a E
kT Bj J e T
−=G G (3-1-)
进一步对（9）求散度后得到[64]：
211a
E a kT E B J j j B j T e T B T kT −⎡⎤⎛⎞∇⋅=∇⋅+⋅∇+−⋅∇⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦G G G G (3-1-)
其中，参数B 与温度无关,只和材料本身的结构有关，j ∇⋅G 为电流密度散度，j B ⋅∇G 和j T ⋅∇G 分别为由于电流作用产生的结构梯度（主要是离子浓度梯度）、温度梯度与电流密度的综合效应。

由于金属离子流密度的散度 表征了空洞的形成速率，所以，电迁移的MTTF 与J ∇⋅G 成反比,且考虑了导体的横截面积后有如下的关系[5]：
wd MTTB J
∝∇⋅G (3-1-)
3-1-1-3-2 Black 的模型
由（10）可以看出，离子流密度不连续主要是由于电流密度不连续、离子浓度梯度的存在、以及温度梯度等因素的综合效应造成。

在不同的情况下，经常会有一种因素占主导地位，而另外的因素影响较小而可以忽略不计。

例如，当金属膜内存在缺陷或金属膜的几何形状不均匀的情况下，电流密度的散度不为零，同时离子浓度梯度也不为零；当电流密度过大，将引起焦耳热效应，金属薄膜上将产生温度梯度。

下面是两个典型案例。

在（10）中，若可以忽略金属薄膜上的温度梯度即0T ∇=，且认为金属膜内无缺陷，金属膜的几何形状均匀，则电流密度在沿长度方向上是均匀连续的即0j ∇⋅=G ，而此时离子流
密度不连续主要是由于电流作用产生的离子浓度梯度造成即N ∇不为零，
于是（10）简化为：
1a E kT J j Be T
−∇⋅=⋅∇G G (3-1-)
代入（11）有
a E kT Twd MTTB e C j
=′ (3-1-)
其中C ′为与结构梯度B ∇成正比的常数。

此外，在沿长度的一维方向上，若金属薄膜上温度梯度很大，而温度梯度一般由焦耳热引起即T ∇不为零；且认为金属膜内无缺陷同时金属膜的几何形状均匀，电流密度在沿长度方向上是均匀连续的即0j ∇⋅=G ，此时离子流密度不连续主要是由于电流作用产生的离子浓度梯度和温度梯度造成即N ∇不为零，T ∇不为零。

由于温度梯度和离子浓度梯度均是由于大电流密度造成的，根据下面的推导发现，大电流密度造成的温度梯度的影响远远大于离子浓度梯度造成的影响，因此为简单计，忽略离子浓度梯度的影响。

又由于a E kT ，因此（10）可以简化为
3
a
E a kT BE J j Te kT −∇⋅=⋅∇G G (3-1-)
由焦耳定律有：
2Q I Rt = (3-1-)
根据实验结果，热传导现象所遵循的热传导定律，即傅里叶定律为：
dQ dT Sdt dl
κ=− (3-1-)
电阻、电流密度与横截面积、长度的关系为：
l R S
ρ=， I j S = (3-1-)
其中Q 为焦耳热（J ），I 为电流强度（A ），j 为单位面积上的电流即电流密度（A/m2），S
为截面积，ρ为电阻率，L 为长度，κ为热导率（W/m •K ）。

由（15）—（17）得
2dT j dl ρκ
=− (3-1-)
（18）代入（14）即得到这一情况下MTTF 的表达式：
33
a E kT T wd MTTF e C j =′′ (3-1-)
其中C ” 为与金属薄膜结构、扩散激活能（即薄膜性质）有关的常数。

3-1-1-3-3直流条件下的通用寿命模型
在传统的电迁移寿命模型常采用Black 方程：
a E kT n wd MTTF e Cj
= (3-1-)
其中，C 均是与电流密度和温度无关的常数，
而电流密度因子n 会随电流密度变化而发生变化。

根据Black 方程，温度与失效寿命的关系服从指数分布，但是，实验结果与此并非完全相符[5]。

合并（13）和（19）两个公式可以得到如下MTTF 的通用模型:
a
E m
kT n
wdT MTTF e Cj = (3-1-)
其中，电流密度j 在交流条件下由（20）给出。

低电流密度失效主要由结构梯度造成的情况，n=m=1；高电流密度失效由温度梯度造成的情况，n=m=3。

从（22）可以看出：如果C 正比于Tm ，则（22）就成为Black 方程。

事实上，在低温大电流密度的情况下，若忽略焦耳热效应，即认为在整个失效过程中，温度变化不大，那么
（22）中C 可以近似认为随温度的变化很小，是一个常数。

另外，在(22)中,C 与金属的几何尺寸和物理性能有关,如前所述,几何尺寸的变化有可能引起金属内部结构的变化,激活能可能发生改变.当在大电流密度(一般认为j>106A/cm2)下,焦耳效应不能忽视[8]。

上面的Black 方程也常被写成如下的形式[55]： a
E n kT
L t A j e −=⋅ (3-1-)
但需要指出的是：不论上面的哪一个模型，都隐含地假定了存在着一个与温度和线宽无关的激活能。

实际上，当金属线宽远大于金属中晶粒的尺寸且这种尺寸对于金属离子迁移的影响可以忽略不计时，这样的假定可以认为是有效的。

但是，如果金属层的线宽已经与晶粒的尺寸相当甚至更小时，这样的假定就不适用了，因此，上面的模型也就不成立了[55]。

3-1-1-3-4交流条件下的模型
交流条件下的电迁移研究是建立在直流物理模型基础上的，通常采用平均电流密度对。