chap2(3 单纯形法的基本原理)
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z CX C( X 0 (1 ) X 1 ) z 0 (1 ) z 0 z 0
即X亦为LP的最优解，此时LP有无穷多最优解 （3）若有 j 0 且 Pj 0 ，则由 x1 xi0 aij 知，对任意的θ>0 i ，均有 x1 xi0 aij 0 ,即X1为可行解，而z1可以无限增大。此 i 时，LP有无界解。
容易看出，它是非奇异的，所 以X1为基可行解。 注意到X0与X1只有一个分量 不同，则它们是相邻的基可 行解。
3.最优性检验和解的叛别
z
0
i 1
m
ci xi0
z1
m
c (x
i i 1
m
0 i
aij ) c j
i 1
ci xi0 (c j
m
c a
i 1
1 0 B ( P1 , P2 ... Pm ) 0 0 1 0 0 0 1
j
n aij x j b j 1 x 0, j 1,2,... n j
(1) (2)
则x1,x2,…xm为基变量，而xm+1,xm+2,…xn为非基变量，令 非基变量＝0，则很容易得到一个基可行解：（？）
单纯形法的基本思想
只考察基可行解。
对于某一个基可行解，只需考察与其相邻的基可行解， 看是否比它们均优。（图示说明）
所谓两基可行解相邻，是指仅有一个基变量为不同分 量，其余基变量都是相同的量。 设有基可行解
0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,x0 ,0,0...0)T m
X1 ( x1 , x1 ,...xl11 0, xl11..., x1 ,0,0..., ,..0)T 2 1 m
X ( x1 , x2 ,...,xn )T (b1 , b2 ,... m ,0,0..0)T b
按单纯形法的思想，找到一个基可行解后，进行检验，看 它是否为最优解，用什么办法呢？就是将它和与其相邻的基可 行解比较，为此须找到与它相邻的基可行解。
2.从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解
注意到x只有一个分量不同则它们是相邻的基可解的判别1若所有则表明z2若所有且有某个j同时可按规则找到0则存在x也为最优解且而对于x即x亦为lp的最优解此时lp有无穷多最优解3若有则由知对任意的0均有可以无限增大
运筹学
主讲：熊德国 河南理工大学能源学院
复习
线性规划的解的四种可能情况：
有唯一最优解；有无穷多最优解； 有无界解；无可行解
Pj
a P
i 1
ij i
Pj
a P 0
ij i i 1 m i 1
(4)
将（4）两端同时乘以θ>0，则得到： ( Pj aij Pi ) 0 (5)
（3）+（5）整理后得到： ( x 0 a ) P P b (6) i ij i j
i 1
m
则得到了约束方程（1）的另一个解。
0 0 0 X 1 ( x1 a1 j , x2 a2 j ,..., xm amj ,0,0... 0, ,0,... 0)T
j
xi0 xl0 min | aij 0 取 aij alj
则X1的所有分量均≥0！！这样 ( 7) X1就是LP的一个可行解。
（6）系数矩阵为： 1 0 0 a
0 0
1j
1 0
0 1 0
a2 j al 1, j alj al 1, j amj
0
0
0 0 0 0 1 0 0 1
则它们是相邻的。
2.2.4 单纯形法的迭代原理 单纯形法的基本思想：考察LP的基可行解，判断其是否 为最优解，若不是，则转到与其相邻的可使目标函数增 大的基可行解，直到找到最优解。 1.初始基可行解的确定 通常在方程（1）的系数 考察标准形的LP问题：
max z
c x
j j 1
n
矩阵A中，总存在1个单位 矩阵，不妨设为：
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 2 1 0 0 x1 x2 x3 x4 3 5 1 0 6 2 0 1
3 A 6
5 2
1 0
0 1
Step2 检验
1)计算 检验数
j cj
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 σj 2 x1 3 [6] 6 2 1 0 0 x2 x3 x4 5 1 0 2 0 1 1 0 0 θ
m
i ij )
z 0 (c j
c a
i 1
i ij )
(8)
当 (c j ci aij ) 0 时，就有
i 1
m
z1 z 0
记 c ca c z j j i ij j j
i 1
m
称为xj的检验数。
解的判别 （1）若所有 j 0 ，则表明z0比各相邻的基可行解均优，则z0 即为LP的最优值，X0即为LP的最优解。 （2）若所有 j 0 ，且有某个j, j 0 ,同时可按θ规则找到 θ>0，则存在X1，也为最优解，且 z1 z 0 而对于X0和X1的凸 组合X，有
max z 2 x1 x 2
4.单纯形法求解LP问题的步骤 例2.10 求解LP问题 2）容易看出其一个基为：
1 B 0 0 1
3 x1 5 x 2 15 s.t .6 x1 2 x 2 24 x1 , x 2 0
则得到初始基可行解：
X 0 (0,0,15,24)T
0 1/3 0 -1/3
3/4 12
x2 3/4 x1 15/4 σj
0 1 1/4 -1/8 1 0 -1/12 5/24 0 0 -1/12 -7/24
3）列新单纯形表 Step4 重复step2step3
5
c a
i 1
m
i ij
cj zj
4
0 2 1 2
x3 x1 σj
2)解的判别 Step3 基可行解的转换 1）入基变量的确定 2）出基变量的确定
xi0 xl0 min | aij 0 aij alj
3 4
0 [4] 1 -1/2 4 1 1/3 0 1/6
Step1 确定初始基可行解， 列初始单纯形表 1）标准化
max z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 3 x1 5 x2 x3 15 s.t.6 x1 2 x2 x4 24 x , x ,x ,x 0 1 2 3 4
3）列初始单纯形表
基：系数矩阵A的m阶非奇异子方阵 基解：令非基变量为0，求解由基变量构成的线性方 程组所得的解，该解与非基变量一起构成的约束方程 组的解 基可行解：可行的基解，满足变量非负约束的基解。
几个基本定理
定理2.1 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。
定理2.2 线性规划可行域D中顶点的对应于LP的基可行解。 定理2.3 若线性规划有最优解，则最优解一定可以在可行 域的顶点上得到。 引理 线性规划可行解X＝（x1, x2, … xn ）为基可行解的充分 必要条件为X的正分量对应的系数列向量线性无关。
定义：如果两个基可行解只有一个基变量不相同，则称这两个基 可行解相邻 0 0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,xm ,0,0...0)T 设已得到一个基可行解为
0 将其代入约束方程（1），则得到： Pi xi b i 1 m
(3)
因为P1,P2,…Pm线性无关（？），则其它系数列向量Pj可由它 m m 或写成： 们线性表示为:
即X亦为LP的最优解，此时LP有无穷多最优解 （3）若有 j 0 且 Pj 0 ，则由 x1 xi0 aij 知，对任意的θ>0 i ，均有 x1 xi0 aij 0 ,即X1为可行解，而z1可以无限增大。此 i 时，LP有无界解。
容易看出，它是非奇异的，所 以X1为基可行解。 注意到X0与X1只有一个分量 不同，则它们是相邻的基可 行解。
3.最优性检验和解的叛别
z
0
i 1
m
ci xi0
z1
m
c (x
i i 1
m
0 i
aij ) c j
i 1
ci xi0 (c j
m
c a
i 1
1 0 B ( P1 , P2 ... Pm ) 0 0 1 0 0 0 1
j
n aij x j b j 1 x 0, j 1,2,... n j
(1) (2)
则x1,x2,…xm为基变量，而xm+1,xm+2,…xn为非基变量，令 非基变量＝0，则很容易得到一个基可行解：（？）
单纯形法的基本思想
只考察基可行解。
对于某一个基可行解，只需考察与其相邻的基可行解， 看是否比它们均优。（图示说明）
所谓两基可行解相邻，是指仅有一个基变量为不同分 量，其余基变量都是相同的量。 设有基可行解
0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,x0 ,0,0...0)T m
X1 ( x1 , x1 ,...xl11 0, xl11..., x1 ,0,0..., ,..0)T 2 1 m
X ( x1 , x2 ,...,xn )T (b1 , b2 ,... m ,0,0..0)T b
按单纯形法的思想，找到一个基可行解后，进行检验，看 它是否为最优解，用什么办法呢？就是将它和与其相邻的基可 行解比较，为此须找到与它相邻的基可行解。
2.从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解
注意到x只有一个分量不同则它们是相邻的基可解的判别1若所有则表明z2若所有且有某个j同时可按规则找到0则存在x也为最优解且而对于x即x亦为lp的最优解此时lp有无穷多最优解3若有则由知对任意的0均有可以无限增大
运筹学
主讲：熊德国 河南理工大学能源学院
复习
线性规划的解的四种可能情况：
有唯一最优解；有无穷多最优解； 有无界解；无可行解
Pj
a P
i 1
ij i
Pj
a P 0
ij i i 1 m i 1
(4)
将（4）两端同时乘以θ>0，则得到： ( Pj aij Pi ) 0 (5)
（3）+（5）整理后得到： ( x 0 a ) P P b (6) i ij i j
i 1
m
则得到了约束方程（1）的另一个解。
0 0 0 X 1 ( x1 a1 j , x2 a2 j ,..., xm amj ,0,0... 0, ,0,... 0)T
j
xi0 xl0 min | aij 0 取 aij alj
则X1的所有分量均≥0！！这样 ( 7) X1就是LP的一个可行解。
（6）系数矩阵为： 1 0 0 a
0 0
1j
1 0
0 1 0
a2 j al 1, j alj al 1, j amj
0
0
0 0 0 0 1 0 0 1
则它们是相邻的。
2.2.4 单纯形法的迭代原理 单纯形法的基本思想：考察LP的基可行解，判断其是否 为最优解，若不是，则转到与其相邻的可使目标函数增 大的基可行解，直到找到最优解。 1.初始基可行解的确定 通常在方程（1）的系数 考察标准形的LP问题：
max z
c x
j j 1
n
矩阵A中，总存在1个单位 矩阵，不妨设为：
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 2 1 0 0 x1 x2 x3 x4 3 5 1 0 6 2 0 1
3 A 6
5 2
1 0
0 1
Step2 检验
1)计算 检验数
j cj
cj C B X B B-1b 0 x3 15 0 x4 24 σj 2 x1 3 [6] 6 2 1 0 0 x2 x3 x4 5 1 0 2 0 1 1 0 0 θ
m
i ij )
z 0 (c j
c a
i 1
i ij )
(8)
当 (c j ci aij ) 0 时，就有
i 1
m
z1 z 0
记 c ca c z j j i ij j j
i 1
m
称为xj的检验数。
解的判别 （1）若所有 j 0 ，则表明z0比各相邻的基可行解均优，则z0 即为LP的最优值，X0即为LP的最优解。 （2）若所有 j 0 ，且有某个j, j 0 ,同时可按θ规则找到 θ>0，则存在X1，也为最优解，且 z1 z 0 而对于X0和X1的凸 组合X，有
max z 2 x1 x 2
4.单纯形法求解LP问题的步骤 例2.10 求解LP问题 2）容易看出其一个基为：
1 B 0 0 1
3 x1 5 x 2 15 s.t .6 x1 2 x 2 24 x1 , x 2 0
则得到初始基可行解：
X 0 (0,0,15,24)T
0 1/3 0 -1/3
3/4 12
x2 3/4 x1 15/4 σj
0 1 1/4 -1/8 1 0 -1/12 5/24 0 0 -1/12 -7/24
3）列新单纯形表 Step4 重复step2step3
5
c a
i 1
m
i ij
cj zj
4
0 2 1 2
x3 x1 σj
2)解的判别 Step3 基可行解的转换 1）入基变量的确定 2）出基变量的确定
xi0 xl0 min | aij 0 aij alj
3 4
0 [4] 1 -1/2 4 1 1/3 0 1/6
Step1 确定初始基可行解， 列初始单纯形表 1）标准化
max z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 3 x1 5 x2 x3 15 s.t.6 x1 2 x2 x4 24 x , x ,x ,x 0 1 2 3 4
3）列初始单纯形表
基：系数矩阵A的m阶非奇异子方阵 基解：令非基变量为0，求解由基变量构成的线性方 程组所得的解，该解与非基变量一起构成的约束方程 组的解 基可行解：可行的基解，满足变量非负约束的基解。
几个基本定理
定理2.1 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。
定理2.2 线性规划可行域D中顶点的对应于LP的基可行解。 定理2.3 若线性规划有最优解，则最优解一定可以在可行 域的顶点上得到。 引理 线性规划可行解X＝（x1, x2, … xn ）为基可行解的充分 必要条件为X的正分量对应的系数列向量线性无关。
定义：如果两个基可行解只有一个基变量不相同，则称这两个基 可行解相邻 0 0 0 X 0 ( x1 , x2 ,...,xm ,0,0...0)T 设已得到一个基可行解为
0 将其代入约束方程（1），则得到： Pi xi b i 1 m
(3)
因为P1,P2,…Pm线性无关（？），则其它系数列向量Pj可由它 m m 或写成： 们线性表示为: