课件7-1向量坐标

第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2 a
向量表示：a 或 M1M2
M1
几何上：以 M1为起点 M2 为终点的有向线段.
以坐标原点为起点的向量称为向径 r OM .
向量的模：向量的大小,记为
|
a
|或
MM 12
单位向量：模长为1的向量. a0 或
零向量：模长为0的向量.
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k

数乘：
(ax
bx ,
ay
by,
az
bz )
a (ax )i (ay ) j (az )k (ax , ay , az )
a (ax , ay , az )
有序数
R
C
z
B
M
xo y
Qy
xP
A
空间点 M r OM 11 有序数组 ( x, y, z)
称x, y, z为点M的坐标，记作M x, y, z .
也称x, y, z为向量r OM的坐标,记作r x, y, z.
z
特殊点的坐标表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
2,
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
AB AB x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2
例5 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为到 点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P在x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
2
PP1 ( x)2 2 32 x2 11,
M1M2 (1)2 12 ( 2)2 2.
方向余弦为 cos ax
cos
ay
M1M2 1 , cos
1, 2
az

2 .
M1M2 2
M1M2
2
方向角为
2 ,
3
,
3
3 .
4
例8 设有向量 P1P2，已知
x 轴和y 轴的夹角分别为
b

a


(a,
b)

(b,
a)
(0 )
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，
规定: 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
非零向量 r与三条坐标轴的正向的夹角,
称为非零向量r 的方向角： , ,
z
M

o
y
x
0 , 0 ,
22
2
由前面得 cos 1 ,
2
cos
2 , cos 1
2
2
设 P2的坐标为( x, y, z),则
P P ( x 1, y 0, z 3).
12
cos

x 1 P1 P2

x1 2

1 2
x 2,
cos

y0 P1 P2

y0 2

2 y 2

1 5

5
b

2a

5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平
分的四边形必是平行四边形.
证 AM MC
BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD与BC 平行且相等, 结论得证.
三、空间直角坐标系
取点O和三个两两垂直的单位向量i , j , k ,
| a | 62 72 (6)2 11,
a0
或
a0
a | a

6
i
|
|
a11 a |

7 11 6 11
j i

6 11 7 11
k, j
6 11
k.
2.方向角与方向余弦
两向量的夹角的概念：
向a量a0与, 向b量b0的, 夹角为：
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间点M , 有r OM OP PA AM
OP OQ OR
设OP＝xi ,OQ yj ,OR zk , 分向量
则r OM＝xi yj zk , 坐标分解式
M 空间点

OM＝xi
z

yj

zk x, y, z
P1 P2

3和
2，它与 ，如果
4
P1 的坐标为(1,0,3)，求P2的坐标.
解 设向量 P1P2的方向角为 , ,
, cos 1 , , cos 2 ,
3
2
4
2
cos2 cos2 cos2 1,
cos 1 ( 1 )2 ( 2 )2 1
的唯一性： 两式相减,得 (
设 b)a0a，，即又设 b



b a

a
a.

b
.
a，
a 0，
a 0，故 0，即 .
按照向量与数的乘积的规定，
b‖a 存在唯一的数，使 b a，
设a0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，

a

(b)
特别地 a (a ) 0.
b
a
a

b

a

b
b b
aa

b

b
a (b)
| a b || a | | b |
3.向量与数的乘法（数乘）
设 是一个数,向量a与 的乘积a规定为:
(1) 0,a与a同向，| a | | a |
（平行四边形法则） （或三角形法则）
b
c
a
c
b
a
三角不等式 | a b || a | | b |
特殊地：若 a‖
b
分为同向和反向
同向
a

b

c

b
|
a
c ||
a
|

|
b
|
c

反向
b
a

b

c
|
ca
|
|
a
|

|
b
|
c
向量的加法符合下列运算规律：
确定三个坐标轴：横轴,纵轴和竖轴， 正方向符合右手系, 构成空间直角坐标系.
即以右手握住z 轴，当
z 竖轴
右手的四个手指从正向
x轴以 角度转向正向
2
y 轴时，大拇指的指向
k
定点 o
j i
就是 z 轴的正向.
横轴 x
y 纵轴
空间直角坐标系有三个坐标面，将整个 空间分为八个部分，称为八个卦限.
PP 2
x2 12 12
x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
例6
求平行于向量a

6i

7
j

6k
的单位
向量的分解式.
解 所求向量有两个,一个与 a 同向,一个反向
记为
0
M1
M
0 2
任意方向
自由向量：不考虑起点位置的向量.
a
a
相等向量：a大 小相等且方b 向相同的向量.
负向量：大小相等但方向相反的向量.
记作 a
a
a
向量平行：记两作个方a‖ 向b相同a或 相反b的 非零向量.
二、向量的线性运算
1. 加法：
a

b

c
C( x,o, z)
R(0,0, z)
z
B(0, y, z)
M(x, y, z)
坐标面上的点 A, B, C, x o y
坐标原点O(0,0,0) x P(x,0,0)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (ax , ay , az ) axi ay j azk, b (bx , by , bz ) bxi by j bzk , 加（减）法：
(2) 0,
a

0
(3) 0, a与a反向，| a || | | a |
a
2a
1 a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
（1）交换律：a

b

b

a.
（2）结合律：(a b) c a (b c ) a b c
连加 a1 a2 a3 a4 c
abc



b

c
c
ab
a
b
a4
首尾相接
c
a3
起点
a1
a2
终点
2. 减法
a

b
0 .
方向余弦用来表示向量的方向.
z
R

P o
M

Qy
x | r | cos y | r | cos
方 向 余
z | r | cos 弦
x
cos
x , cos
y,
cos
z,
|r |
|r |
|r |
cos ,cos ,cos



b)


a


b
两个向量的平行关系：
定理 设向量 a 0，那末向量 b 平行于 a 的
充分必要条件是：存在唯一的实数 ，
使 b a.
证 充分性显然； b
必要性 设 b‖ a 取 ,
a
当 b 与 a 同向时 取正值，
当 b 与 a 反向时 取负值，即有 b
此时 b 与 a 同向.且 a a
7k
p 5i j 4k，求向量 a 4m 3n p
的横坐标和沿y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3,5,8) 3(2,4,7) (5,1,4)
(13,7,15) 13i 7 j 15k,
a的横坐标为ax 13，
M
y
y Q
A
模的坐标表示：
r x2 y2 z2
模的坐标表示：r x2 y2 z2
设空间点A( x1, y1, z1)和B( x2 , y2, z2 )，则A和B间
的距离 AB 就是的模AB，即 AB AB
AB OB OA
( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1) ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 ) A、B两点间的距离
在y轴上的分向量为7 j .
五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离
设r ( x, y, z), 有 r OM OP OQ OR
r OM OP 2 OQ 2 OR 2
z OP xi ,OQ yj ,OR zk
R
C
z r
xo
xP
B OP x , OQ y , OR z
a | a | a0
|
a a
|

a 0
.
单位化
上式表明：一个非零向量除以它的模的
结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a

b5源自1 b b

3a

解
a

b

5

1
b

2 b

3a

5

2
5

(1

3)a



1

5 2
求向量 AB的坐标.
A
解 由向量的加法，有
B
OB OA AB,
即 AB OB OA O
OA ( x1, y1, z1), OB ( x2, y2, z2 ) 因此 AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1)
例4
设m

3i

5j

8k，n
2i

4j
|
x r
|
,
|
y r
|
,
|
z r
|


|
1 r
|
(
x
,
y,
z
)

|
r r
|

r
0
单位 向量
cos2 cos2 cos2 1 特性
例7 已知两点 M1( 2, 2, 2 )和 M2(1, 3, 0 ),
计算向量
M1
M
的模
2
、方向余弦和方向角
.
解 M1M2 (1 2, 3 2, 0 2 ) (1, 1, 2 ),
当a 0时, b // a b a
(bx , by , bz ) (ax , a y , az )

bx

by

(ax ,
bz
ay,
az )
ax ay az
向量b与a平行的充分必要条件是
b与a的对应坐标成比例.
例3 已知A( x1, y1, z1 )和B( x2 , y2 , z2 )，
第七章 空间解析几何与向量代数
引言
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的 点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和 方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何 问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起 来的.
空间解析几何作为学习多元函数微积分的 准备知识.
内容
第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程