高2020届高2017级高三三维设计地理一轮复习资料第十二章复数

第十二章⎪

⎪⎪

复数、算法、推理与证明

第一节

数系的扩充与复数的引入

一、基础知识批注——理解深一点

1.复数的有关概念 （1）复数的概念:

形如a ＋b i （a ,b ∈R ）的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b ＝0,则a ＋b i 为实数；若b ≠0,则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0,则a ＋b i 为纯虚数.

一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0.

（2）复数相等:a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d （a ,b ,c ,d ∈R ）. （3）共轭复数:a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ,b ＝－d （a ,b ,c ,d ∈R ）. （4）复数的模:

向量OZ ―→

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i （a ,b ∈R ）的模,记作|z |或|a ＋b i|,即|z |＝|a ＋b i|＝

2.复数的几何意义

（1）复数z ＝a ＋b i

复平面内的点Z （a ,b ）（a ,b ∈R ）.

复数z ＝a ＋b i (a ,b ∈R )的对应点的坐标为(a ,b ),而不是(a ,b i ).

（2）复数z ＝a ＋b i （a ,b ∈R ） 平面向量OZ ―→

.

3.复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i,z 2＝c ＋d i （a ,b ,c ,d ∈R ）,则

①加法:z 1＋z 2＝（a ＋b i ）＋（c ＋d i ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； ②减法:z 1－z 2＝（a ＋b i ）－（c ＋d i ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； ③乘法:z 1·z 2＝（a ＋b i ）·（c ＋d i ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； ④除法:z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad

c ＋

d i （c ＋d i ≠0）.

（2）复数加法的运算定律

设z 1,z 2,z 3∈C,则复数加法满足以下运算律: ①交换律:z 1＋z 2＝z 2＋z 1；

②结合律:（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）.

二、常用结论汇总——规律多一点

（1）（1±i ）2＝±2i,1＋i 1－i ＝i,1－i

1＋i ＝－i.

（2）－b ＋a i ＝i （a ＋b i ）.

（3）i 4n ＝1,i 4n ＋

1＝i,i 4n ＋

2＝－1,i 4n ＋

3＝－i （n ∈N *）；i 4n ＋i 4n ＋

1＋i 4n ＋

2＋i 4n ＋

3＝0（n ∈N *）.

（4）z ·z ＝|z |2＝|z |2,|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|,⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|,|z n |＝|z |n

.

三、基础小题强化——功底牢一点

(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) （1）方程x 2＋x ＋1＝0没有解.（ ）

（2）复数z ＝a ＋b i （a ,b ∈R ）中,虚部为b i.（ ）

（3）复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.（ ） （4）原点是实轴与虚轴的交点.（ ）

（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.（ ）

答案:（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√

（二）选一选

1.（2018·全国卷Ⅱ）1＋2i 1－2i ＝（ ）

A.－45－3

5i

B.－45＋35i

C.－35－45

i

D.－35＋45

i

解析:选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )

＝－3＋4i 5＝－35＋4

5i.

2.设（1－i ）x ＝1＋y i,其中x ,y 是实数,则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

解析:选D ∵（1－i ）x ＝1＋y i ⇒x －x i ＝1＋y i ⇒（x －1）－（x ＋y ）i ＝0⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －1＝0，

x ＋y ＝0⇒

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1，

y ＝－1，∴x ＋y i ＝1－i,其在复平面内所对应的点为（1,－1）,在第四象限,故选D. 3.若复数z ＝a

1＋i

＋1为纯虚数,则实数a ＝（ ） A.－2 B.－1 C.1

D.2

解析:选A 因为复数z ＝

a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )

＋1＝a 2＋1－a

2i 为纯虚数,

所以a 2＋1＝0,且－a

2≠0,解得a ＝－2.故选A.

（三）填一填

4.已知复数z ＝|（3－i ）i|＋i 5（i 为虚数单位）,则复数z 的共轭复数是________. 解析:由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋(3)2＋i ＝2＋i,则z ＝2－i.

答案:2－i

5.设复数z 1＝2－i,z 2＝a ＋2i （i 是虚数单位,a ∈R ）,若z 1z 2∈R ,则a ＝________. 解析:依题意,复数z 1z 2＝（2－i ）（a ＋2i ）＝（2a ＋2）＋（4－a ）i 是实数,因此4－a ＝0,a ＝4.

答案:4

考点一 复数的四则运算

[典例] （1）（2017·山东高考）已知i 是虚数单位,若复数z 满足z i ＝1＋i,则z 2＝（ ） A.－2i B.2i C.－2

D.2

（2）（2019·山东师大附中模拟）计算:(2＋i )(1－i )21－2i ＝（ ）

A.2

B.－2

C.2i

D.－2i

[解析] （1）∵z i ＝1＋i, ∴z ＝1＋i i ＝1i

＋1＝1－i.

∴z 2＝（1－i ）2＝1＋i 2－2i ＝－2i.

（2）(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i

1－2i ＝2,故选A.

[答案] （1）A （2）A

[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略

（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可.

（2）复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.

[题组训练]