人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：圆锥曲线第一章 轨迹方程

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第一章轨迹方程
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.
第一节:直译法:
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.
【例1】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与
BP 的斜率之积等于1
3
-，求动点P 的轨迹方程.
解析：因为点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为()1,1-，设点(),P x y ，由题意得11
1113
y y x x -+=-
+-，
化简得()22341x y x +=≠± ，故动点P 的轨迹方程为()22
341x y x +=≠± 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1,A B -点在直线3y =-上，M 点满足
,MB OA MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。

解析 设(),M x y ，因为()0,1A -，M 点满足//MB OA ，所以
()()()(),3,,1,0,3,,2B x MA x y MB y AB x -=---=--=-，由题意可知
()0MA MB AB +⋅=，即0)2,()24,(=-⋅---x y x ，即24
1
2
-=x y 。

【例3】已知动点(),M x y 到直线: 4l x =的距离是它到点()1,0N 的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点()0,3P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+⇒+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为 椭圆，方程为13
42
2=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。

3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：
2
21221224324
,432402424)43k
x x k k x x kx x k +=⋅+-=
+⇒=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212
221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率2
3
±
=k 【例4】已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，，，．
由题意可得：．
即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k ON=3，
∴直线l的斜率为﹣．
∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
∴|PM|==．
∴．
【例5】.已知抛物线2
:4C y x 的焦点为 ,过点 ﹣ 的直线 与 相交于 、 两点,点
关于 轴的对称点为 . (1)证明:点 在直线 上;
(2)设
,求 的内切圆 的方程.
【解答】解:(1)抛物线C:y 2=4x ①的焦点为F(1,0), 设过点K(﹣1,0)的直线L:x=my ﹣1, 代入①,整理得 y 2﹣4my +4=0,
设L 与C 的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 y 1+y 2=4m,y 1y 2=4,
点A 关于X 轴的对称点D 为(x 1,﹣y 1). BD 的斜率k 1= =
=
,
BF 的斜率k 2=
. 要使点F 在直线BD 上 需k 1=k 2
需4(x 2﹣1)=y 2(y 2﹣y 1), 需4x 2=y22, 上式成立,∴k 1=k 2, ∴点F 在直线BD 上.
(2)
=(x 1﹣1,y 1)(x 2﹣1,y 2)=(x 1﹣1)(x 2﹣1)+y 1y 2=(my 1﹣2)(my 2﹣2)+y 1y 2=4(m 2+1)﹣
8m 2
+4=8﹣4m 2
=
,
∴m 2= ,m=±
.
y 2﹣y 1= =4 =
, ∴k 1=
,BD:y=
(x ﹣1). 易知圆心M 在x 轴上,设为(a,0),M 到x=
y ﹣1和到BD 的距离相等,即
|a +1|× =|( (a ﹣1)|×
,
∴4|a +1|=5|a ﹣1|,﹣1＜a ＜1,
解得a=
.
∴半径r=
,
∴△BDK 的内切圆M 的方程为(x ﹣ )2+y 2=
.
【例6】.设12,F F 分别是椭圆
的左、右焦点,过1F 斜率为 的直线
与 相交于 两点,且22|||,||,|AF AB BF 成等差数列. (1)求 的离心率;
(2)设点 满足 ,求 的方程.
【解答】解:(I)由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a,又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,
得
,l 的方程为y=x +c,其中 .
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组
化简的(a 2+b 2)x 2+2a 2cx +a 2(c 2﹣b 2)=0
则
因为直线AB 斜率为1,|AB |= |x 1﹣x 2|=
, 得
,故a 2=2b 2 所以E 的离心率
(II)设AB 的中点为N(x 0,y 0),由(I)知
. 由|PA |=|PB |,得k PN =﹣1, 即
得c=3,从而
故椭圆E 的方程为
.
第二节：定义法:
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。

【例1】()2,0M -和()2,0N 是平面上的两点，动点P 满足6PM PN += ，求点P 的 轨迹方程.
解析 因为64PM PN MN +=>=，所以由椭圆定义，动点P 的轨迹是以()2,0M -和()
2,0N 为焦点，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>> ，则有26,3a a == ，半焦距
2c = ，所以2
2
5b a c =-= ，所以所求动点的轨迹方程为22
195
x y +
=
【例2】设圆C 与两圆()
()
2
2
225
4,5
4,x y x y ++=-+=一个内切，另一个外切，求C 的圆心
轨迹L 的方程。

解析 设圆C 的圆心为C （y x ,），半径为)0(>r r ，由题意可知两圆的圆心分别为)0,5(),0,5(21F F -，半径均为2，因为圆C 与两圆中的一个内切，另一个外切，所以4||||2||2
||2121=-⇒⎩⎨
⎧-=+=CF CF r CF r CF 或4||||2||2
||2121-=-⇒⎩
⎨
⎧+=-=CF CF r CF r CF ， 所以||524||||||2121F F CF CF =<=-，即圆C 的圆心轨迹L 是双曲线。

设C （y x ,）的轨迹L 的方程为22
221(0,0)x y a b a b -=>>，则
222
224
24
1
5
a b c a a b c ⎧+=⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩，圆C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=。

【例3】如图10-15所示，12,F F 为椭圆22
143
x y +=的左，右焦点，A 为椭圆上任因点，过焦点2F 向12F AF ∠的外角平分线作垂线，垂足为D ，并延长2F D 交1F A 于点B ，则点D 的轨迹方程是 ，点B 的轨迹方程是 解析因为22,BAD F AD AD BF ∠=∠⊥ ,所以2ADF ≌ADB 故22,BD F D BA F A == ,
又O 为12F F 中点,所以112OD
BF ,()121
22
OD AF AF =+= ,则点D 的轨迹为以O 为圆心,2为半径的圆,故点D 的轨迹为2
2
4(y 0)x y +=≠ ,同理,点B 的轨迹是以()11,0F - 为圆心,4为半径的圆,故点B 的轨迹方程为()2
2
116(y 0)x y ++=≠.
【例4】设圆22
2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点1,0B （）
且与x 轴不重合，l 交圆A 于C D ，两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点 的轨迹方程；
试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，
所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(2
2=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .
由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
13
42
2=+y x （0≠y ）. 第三节：相关点法:
有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式.
【例1】已知A 为椭圆
22
12516
x y +=上的点，点B 坐标为()2,1，有2AP PB = 求点P 的轨迹方程. 解析 设()()00,,,A x y P x y ，()()00,,2,1AP x x y y PB x y =--=--
因为2AP PB =，故()()
002221x x x y y y -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 即003432x x y y =-⎧⎨=-⎩ 代入
2212516x y += 得
()
()2
2
3132125
16
x y --+
= ，因此点P 的轨迹方程为
22
42331251699
x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+= 【例2】如图10--17所示，设P 是圆2
2
25x y += 上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且4
5
MD PD =
，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.
解析 设M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ，因为M 为PD 上一点，且|MD|=4
5
|PD|，所以
00004554x x x x
y y y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
，又P 00(,)x y 在圆上，所以2
25()254x y +=，即2212516x y +
=，故点M 的轨迹C 的方程为22
1(0)2516
x y y +=≠。

【例3】如图10—19所示，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==-> ，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切线为,A B （M 为原点
O 时，,A B 重合于O ）
，当012x =-时，切线MA 的斜率为1
2
-。

（1）求P 的值
（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。

解析 （1）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=
，且切线MA 的斜率为1
2
-，所以A 点的坐标为1(1,)4-，故切线MA 的方程为11
(1)24
y x =-++。

因为点M 0(12,)y -在切线MA 及抛物线2C 上，于是011322
(22)244y -=--+=-，①
20(12)322
22y p p
--=-=-
②，由①②得2p =。

（2）设22
12
1212(,),(,),(,),44x x N x y A x B x x x ≠,由N 为线段AB 中点知122x x x +=，③
22
128x x y +=，④ 切线MA ，MB 的方程为2
111()24
x x y x x =-+，⑤ 2
22
2()24x x y x x =-+，⑥ 由⑤⑥得MA,MB 的交点M 00(,)x y 的坐标为121200,24x x x x x y +==。

因为点
M 00(,)x y 在2C 上，即20
04x y =-，所以22
12
126
x x x x +=- ⑦
由③④⑦得24
,03
x y x =
≠。

当12x x =时，A,B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =。

因
此AB 中点N 的轨迹方程为24
3
x y =。

【例4】双曲线
, 12F F 、为其左右焦点, 是以2F 为圆心且过原点的圆.
(1)求 的轨迹方程;
(2)动点 在 上运动, 满足 =2
,求 的轨迹方程.
【解答】解:(1)由已知得a 2=12,b 2=4,故c= =4,所以F 1(﹣4,0)、F 2(4,0), 因为C 是以F 2为圆心且过原点的圆,故圆心为(4,0),半径为4, 所以C 的轨迹方程为(x ﹣4)2+y 2=16; (2)设动点M(x,y),P(x 0,y 0),
则 =(x +4,y), ,
由
,得(x +4,y)=2(x 0﹣x,y 0﹣y),
即
,解得
, 因为点P 在C 上,所以 ,
代入得
,
化简得 .
第四节：参数法:
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
【例1】已知过点()2,0D - 的直线l 与椭圆2
212
x y +=交于不同的两点,A B ，若O P O A O B =+，
求点P 的轨迹方程。

解析 依题意知，直线的斜率一定存在。

（1） 若直线斜率为零，即l 为x 轴时，则点P 为（0，0）；
（2） 当直线斜率存在且不为零时，设斜率为k ，则:(2)l y k x =+。

设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题意可得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩。

22(2)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩
，消去y ，整理得2222(12)8820k x k x k +++-=。

（因为点D 在椭圆外，需考虑判别式）要使得l 与椭圆有两个不同的交点，得0>，
即2222(8)4(12)(82)0k k k =-+->，解得212
k <。

2122121228124(4)12k x x k k y y k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=++=⎪+⎩，所以2
22812412k x k k
y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，两式相除得2x k y =-，即2x k y =-，代入得
2
212()2x
y y x y -
=+-，整理得22420(20)x x y x ++=-<<。

点（0，0）也满足22420x x y ++=，综上所述，点P 的轨迹为22420(20)x x y x ++=-<≤。

评注 在圆锥曲线中涉及直线与圆锥曲线位置关系时，一般都联立直线与圆锥曲线方程，再用韦达定理，该法非常普遍和实用。