思想04 等价转换思想(教学案)-2021年高考数学二轮复习精品资料(新课标版)(原卷版)

思想四等价转换思想
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

1.转化有等价转化与非等价转化．
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．
2．转化与化归的原则：
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；
(4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
3．常见的转化与化归的方法：
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．
(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
4． 转化与化归的指导思想：
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．
(2)化归到何处去，即化归目标．
(3)如何进行化归，即化归方法．
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
【热点分类突破】
类型一 特殊与一般的转化
例1.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（ ）
A ．有最小值()f a
B ．有最大值()f a
C ．有最大值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
【规律总结】一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果． 【举一反三】
【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】函数223x
x x y e -=的图象大致是（ ）
类型二 相等与不等的转化
例２．【天津六校2017届高三上学期期中联考，16】设函数()21ln 2f x x ax bx =-
- （1）当12
a b ==时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围
【规律总结】等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，有时表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．
【举一反三】
【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知函数()2 2 03 0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩
，，的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）
A ．17 116⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
B ．17 28⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.191 16⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．171 16⎛⎫ ⎪⎝
⎭， 类型三 常量与变量的转化
例３．已知函数2()ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠
（1）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 单调递增区间；
（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()1(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
【规律总结】在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．
【举一反三】
【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时，2(4)420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是____________.
类型四 正与反的相互转化
例4．设命题:p 函数()2116a f x g ax x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
的定义域为R ;命题:39x x q a -<对一切的实数x 恒成立,如果命题“p q 且”为假命题,求实数a 的取值范围.
【举一反三】
【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，21】（本小题满分12分）
函数()()31,3
f x x x a x R a R =+-∈∈． （1）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围；
（2）若函数()f x 在R 上不单调时；
①记()f x 在[]1,1-上的最大值、最小值分别为()()M a m a 、，求()()M a m a -；
②设b R ∈，若()23
f x b +≤
，对[]1,1x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围． 1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性
化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。

化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。

在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确
化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。

例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。

学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。