北京市朝阳区陈经纶中学2016-2017学年高一上学期期中

北京市陈经纶中学期中统练
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（ ）．
A ．1A -∈
B ．0A ∈
C ．1A ∉
D ．0A ∉
【答案】B
【解析】由(1)00x x x -=⇒=或1x =， ∴0A ∈且1A ∈，故选B ．
2．函数()
f x 的定义域是（ ）．
A ．(,2)-∞
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．(2,)+∞
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得：2x >，所以函数的定义域是： (2,)+∞，故选D ．
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（ ）．
A ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．1y x
=
C ．3log y x =
D ．32y x =--
【答案】C
【解析】A 中，12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，底数大于0小于1，为减函数；故A 错误；
B 中，1
y x
=
，在区间(0,)+∞上是减函数；故B 错误； C 中，3log y x =，底数大于1，在(0,)+∞上是增函数，故C 正确；
D 中，32y x =--，x 的系数小于0，在区间(0,)+∞上减函数，故D 错误． 综上所述，故选C ．
4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则2()2f x x x =+，则(1)f -=（ ）．
A ．3-
B ．1
C ．1-
D ．3
【答案】A
【解析】∵0x ≥时，2()2f x x x =+， ∴(1)3f =，
又∵()y f x =是定义在R 上的奇函数， ∴(1)(1)3f f -=-=-． 故选A ．
5．已知二次函数2()(0,)f x ax bx c a x =++≠∈R 的部分对应值如下表．
则不等式()0f x <
A ．(,0)-∞
B ．(,1)(3,)-∞-+∞
C ．(,1)-∞
D ．(3,)+∞
【答案】B
【解析】通过表格可以看出：
二次函数2y ax bx c =++开口向下，且有两个零点：1-，3；
故不等式20ax bx c ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，故选B ．
6．函数2ln y x =的部分图象可能是（ ）．
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】B
【解析】∵20x ≠， ∴0x ≠，
∴函数2ln y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 又()()f x f x -=，
∴函数2ln y x =为偶函数，且图象关于y 轴对称，可排除C 、D ． 又∵当1x >时，2ln 0y x =>，可排除A ．
综上，故选B ．
7．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是（ ）．
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若
a b
c c
>，则a b >
C ．若33a b >且0ab <，则11a b
> D ．若22a b >且0ab >，则
11a b
< 【答案】C
【解析】A 中，当0c =时，22ac bc >不成立，故A 错误；
B 中，当0c <时，a b <，故B 错误；
C 中，若33a b >，0ab <，则0a b >>，所以
11
a b
>，故C 正确； D 中，当0a <，0b <时，
11
a b
<不成立，故D 错误． 综上所述，故选C ．
8．已知{}4,25B =，则能构成以B 为值域且对应法则为2()f x x =的函数有（ ）．
A ．4个
B ．8个
C ．9个
D ．10个
【答案】C
【解析】一个函数的解析式为2y x =，它的值域为{}4,25，
∴函数的定义域可以为：{}2,5，{}2,5-，{}2,5-，{}2,5--，{}2,2,5-，{}2,2,5--，{}2,5,5-，
{}2,5,5--，{}2,2,5,5--，共9种可能，
∴这样的函数共有9个，故选C ．
9．函数lg ,(010)()16,102
x x f x x x ⎧<⎪
=⎨-+>⎪⎩≤，若()()()f a f b f c ==且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取
值范围是（ ）． A ．(1,10)
B ．(10,12)
C ．(5,6)
D ．(20,24)
【答案】B
【解析】在坐标系中画出()f x 的图象如图：
不妨设a b c <<，则1
lg lg 6(0,1)2
a b c -==-+∈，
∴1ab =，1012c <<，
∴(10,12)abc c =∈，故选B ．
10．已知()()()2f x x a x b =---，并且α，β是方程()0f x =的两根，实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）．
A ．a b αβ<<<
B ．a b αβ<<<
C ．a b αβ<<<
D ．a b αβ<<<
【答案】A 【解析】
)x b ()
由题意知，α，β是函数()()()2f x x a x b =---的图象与x 轴交点的横坐标，而函数()f x 的图象可以看成是()()y x a x b =--的图象向下平移两个单位得到的，函数()()y x a x b =--的两个零点分别为a 、b ，在同一坐标系中作出函数()()y x a x b =--及()()()2f x x a x b =---的图象如图所示，由函数的图象可得，a b αβ<<<，故选A ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11．若幂函数()f x 经过点(8,2)，则()f x =__________． 【答案】1
3x
【解析】设幂函数为()a f x x =， ∵图象经过点(8,2)，
∴82a =，解得：1
3a =，
故函数的解析式为：1
3()f x x =．
12．已知函数2,0,()1,0,
x x f x x x ⎧=⎨->⎩≤若1
()2f a =，则实数a =__________．
【答案】1-或3
2
【解析】∵函数2,0()1,0
x x f x x x ⎧=⎨->⎩≤，1
()2f a =，
∴若0a ≤，则1
22
a
=
，解得：1a =-； 若0a >，则1
12
x -=
，解得：32a =．
综上所述，实数a
为1-或3
2
．
133log 21
lg 3100
-的值为__________． 【答案】0
3log 21
lg 3100
- 2113
6
2
222(2)2=⋅⋅+-- 2222=-- 0=．
14．函数
2
12
log (32)y x x =-+的定义域为__________，单调递增区间为__________． 【答案】(,1)(2,)-+U ∞∞；(,1)-∞
【解析】令232x x μ=-+，则原函数可以看作12
log y μ
=与232x x μ=-+的复合函数．
令2320x x μ=-+>，解得：1x <或2x >，
∴函数
212
log (32)y x x =-+的定义域为：(,1)(2,)-+U ∞∞． 又∵232x x μ=-+的对称轴是3
2
x =
，且开口向上， ∴232x x μ=-+在(,1)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数， 而
12
log y μ
=在(0,)+∞上是减函数，
∴
2
12
log (32)y x x =-+的单调减区间是：(2,)+∞，单调增区间是：(,1)-∞．
15．若函数2y a =与函数1(0,1)x y a a a =->≠的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,1(1,)2⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
U ∞
【解析】分1a >和01a <<两种情况分别作图，如图所示： 当1a >时，
x 1
∵2y a =与|1|x y a =-的图象有且只有一个交点，
∴21a ≥，1
2
a ≥，又∵1a >，∴1a >．
当01a <<时，
∵2y a =与|1|x y a =-的图象有且只有一个交点，
∴21a ≥，12a ≥，又∵01a <<，∴1
12a <≤．
综上所述，a 的取值范围是：1,1(1,)2⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
U ∞．
16．已知集合{}1,2,,U n =，*n ∈N ，设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð．
（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是__________．（写出一个即可）． （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为__________． 【答案】（1）{}1,4，（{
}1,4,{}1,3,4，{}2，{}2,3任写一个）
（2）16
【解析】（1）4n =时，集合{}1,2,3,4U =，
由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈ð，则2U x A ∉ð；可知：
当1A ∈时，则2A ∉，即2U A ∈ð，则4U A ∉ð，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，故
{}1,4A =或{}1,3,4A =；
当2A ∈时，则4A ∉，1A ∉，元素3与集合A 的关系不确定， 故{}2A =，或{}2,3A =．
（2）当7n =时，集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，
由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③U x A ∈ð，则2U x A ∉ð，可知：
1，4必须同属于A ，此时2属于A 的补集；或1，4必须同属于A 的补集，此时2属于A ； 3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集，6属于A ；而元素5，7没有限制． 故满足条件的集合A 共有4216=个．
三、解答题：本大题共5个小题，共56分．
17．（本大题满分8分）设全集为R ，集合{}|17A x x =<≤，{}
2
|12200B x x x =-+<．
（Ⅰ）求集合A B ．
（Ⅱ）求()
()U A B R 痧． 【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）由题意得：{}|17A x x =<≤，{}
{}2
|12200|210B x x x x x =-+<=<<，
∴{}|110A B x x =<U ≤．
（Ⅱ）{|1U A x x =<ð或7}x ≥，{|2U B x x =≤ð或10}x ≥， ∴()(){|1U A B x x =<R I 痧或
10}x ≥．
18．（本小题满分12分）已知22()log (1)log (1)f x x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域． （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性．
（Ⅲ）求f ⎝⎭
的值．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）∵10x +>且10x ->，
∴11x -<<，
∴函数()f x 的定义域为：(1,1)-．
（Ⅱ）∵()f x 的定义域为(1,1)-，关于原点对称，且 [][]2222()log 1()log 1()log (1)log (1)f x x x x x -=+-+--=-++，
∴()()f x f x -=， ∴函数()f x 为偶函数．
（3）22221
log 1log 1log 11log 12f ⎛⎛⎛=+===- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
19．（本小题满分12分）在经济学中，函数()f x 的边际函数为()Mf x ，定义为
()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台的收入函数为
2()300020R x x x =-（单位元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位元），利润等于收入
与成本之差．
（Ⅰ）求出利润函数()p x 及其边际利润函数()Mp x ．
（Ⅱ）求出的利润函数()p x 及其边际利润函数()Mp x 是否具有相同的最大值． （Ⅲ）你认为本题中边际利润函数()Mp x 最大值的实际意义． 【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：[]1,100x ∈，且*x ∈N ， 利润函数2()()()300020(5004000)p x R x C x x x x =-=--+ 22025004000x x =-+-，
边际利润函数()(1)()Mp x p x p x =+-
2220(1)2500(1)40002025004000x x x x =-+++---+ 402480x =-+．
（Ⅱ）22()202500400020(62.5)74125p x x x x =-+-=--+， ∴当62x =或63时，()p x 的最大值为74120元． ∵()248040Mp x x =-是减函数， ∴当1x =时，()Mp x 的最大值为2440．
∴利润函数()p x 与边际利润函数()Mp x 不具有相同的最大值．
（Ⅲ）边际利润函数()Mp x 当1x =时有最大值，说明生产第二台机器与生产第一天机器的
利润差最大，边际利润函数()Mp x 是减函数，说明随着产量的增加，每一台利润与前一天利润相比在减少．
20．（本小题满分12分）若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且12x x ≠，都有
1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．
（Ⅰ）若函数
12
()log f x x
=，证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上具有性质L ．
（Ⅱ）若函数21
()f x ax x
=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）证明：∵1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠， ∴
111
2
()log f x x =，
212
2
()log f x x =，121212
log 22x x x x f ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，
∵12x x +>
∴12
2
x x +
∴12
1
2log 2x x +< ∴121
1122
2
1
log log 22x x x x +<， ∴1112
122
2
12log log log 22
x x x x ++<，
即
1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
故函数()f x 在区间(0,)+∞上具有性质L ． （Ⅱ）任取1x ，2(0,1)x ∈，且12x x ≠，则：
2
2
2
121212121212()()
11122
222f x f x x x x x f ax ax a x x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫-
=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
22
12121212()()2()4
x x x x a x x x x --=-⋅+ []
121221212122()()4()
ax x x x x x x x x x -+=-⋅
+．
∵1x ，2(0,1)x ∈且12x x ≠， ∴212()0x x ->，12124()0x x x x +>．
∴要使上式大于零，必须12122()0ax x x x -+>在1x ，2(0,1)x ∈上恒成立， 即12122
()
a x x x x <
+恒成立，
∴1a ≤，
即实数a 的取值范围为(,1]-∞．
21．（本小题满分12分）设函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<．
（Ⅰ）求(0)f 的值．
（Ⅱ）证明()f x 在R 上是减函数．
（Ⅲ）设集合{}
2
(,)|(61)()1A x y f x x f y =-+-⋅=，{}(,)|B x y y a ==，且A B =∅，求实
数a 的取值范围． 【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）∵()()()f m n f m f n +=⋅，m ，n 为任意实数， 取0m =，1n =，则有(01)(0)(1)f f f +=⋅，即(1)(0)(1)f f f =⋅， ∵当0x >时，0()1f x <<， ∴(2)0f ≠， ∴(0)1f =．
（Ⅱ）设1x ，2x ∈R ，且12x x <，则：
2121112111()()()()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-⋅-，
[]211()1()f x x f x =--⋅，
∵12x x <， ∴210x x ->， ∴210()1f x x <-<， ∴21()10f x x --<， 又∵当0x <时，0x ->， ∴0()1f x <-<， 则
1
1()
f x >-， 取m x =，n x =-，则()(0)()()1f x x f f x f x -==⋅-=， ∴1
()1(1)
f x f x =
>-，
又当0x >时，0()1f x <<， ∴在R 上，()0f x >，故1()0f x >， ∴21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <， ∴()f x 在R 上是减函数．
（Ⅲ）在集合A 中，2(61)()1f x x f y -+-⋅=， 由已知，得2(61)(0)f x x y f -+-+=， ∴2610x x y -+-+=，即261y x x =-+， 在集合B 中，有y a =，
∵A B =∅I ，所以261y x x =-+与y a =无交点， ∵2261(3)8y x x x =-+=--， ∴min 8y =-，
∴8a <-，
即a 的取值范围是(,8)--∞．。