2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛考前押题最后一卷及参考答案

2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛
考前押题最后一卷
命题：筑梦杯组委会审题：金华一中
一、填空题（每题5分，共60分）
1．已知正实数,x y 满足(2)9x x y +=，则
2
()y
x y +的最大值为。

2．已知点集{(,)|123}T x y x y =++-≤，数集{2|(,)}M x y x y T =+∈，则集合M 中最大元素与最小元素之和为。

3．已知函数2(2)x x a f x =-+，若{|()}{|(())}x f x x x f f x x ===，则实数a 的取值范围为。

4．计算cos5cos55cos65⋅⋅=。

5．在ABC △中，60,A BC ∠==
o ，O 为ABC △的外心，,,D E F 分别为,,AB BC CA 的中点，若2224OD OE OF ++= ，则OA OB OB OC OC OA =
⋅+⋅+⋅。

6．若数列1234,,,a a a a 满足1423a a a a +=+，则称此数列为好数列。

现从1,2,,9,10 这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成好数列的概率为。

7．设202322023
0122023(1)a a x a x a x =++++ ，则01234520222023))()(()(a a a a a a a a =
+-+++--+ 。

8．若二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为非零整数）的互异的两个根也是方程320x bx ax c +++=的根，则a b c ++的值为。

9．已知向量,a b
不共线，夹角为θ，且2,1,a b b b a a λλ++==-= ，若3
λ≤<，
则cos θ的最小值为。

10．在同一平面直角坐标系中，,P Q 分别是函数()e ln()x f x ax ax =-和2ln(1)
()x g x x
-=图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为。

11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在平面1ACD 上运动，满足143
B P =
，设点Q 为三棱锥1B ACD -外接球球面上的任意一点，则当平面PAD 与平面1ADB 夹角的正
时，PQ 的最大值为。

12．将形如abab 且能表示为21()n n *+∈N 的四位数称为好数，则好数的最大值与最小值之差为。

二、解答题（共三题，各20分，合计60分）
13．已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，过点(1,0)A -的直线l 与Γ交于,M N 两点。

（1）设点(1,0)B ，直线,BM BN 与Γ分别交于,C D 两点。

记直线,CD MN 的倾斜角分别为
,αβ，若αβ>，求tan()αβ-的最大值；
（2）设l 与直线4x =-交于点P ，E 为直线1x =-上不同于点A 的任意一点。

记直线,,EM EN EP 的斜率分别为123,,k k k ，证明：存在1,2,3的一个排列123,,i i i ，使得123,,i i i k k k 成等
差数列。

14．设数轴上有一只兔子，从坐标00x =开始，每秒以1
()2
p p >的概率沿正方向跳一个单位，
以(1)p -的概率沿负方向跳一个单位。

记兔子第n 秒时的位置为(0,1,)n x n = 。

（1）证明：()0n E x ≥；（2）记()f n 是表达式
1C (0,1,,)2k n n k n = 的最大值，证明：(0)1()21
n
p
P x f n p ≥>--。

15．给定实数(0,1)a ∈，设正实数01,,,n x x x 满足01n x x x n a +++=+ 且011111n n x x x a
+++=+ ，试求222
1n x x x +++ 的最小可能值。

2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛
考前押题最后一卷
命题：筑梦杯组委会审题：金华一中
一、填空题（每题5分，共60分）
1．已知正实数,x y 满足(2)9x x y +=，则
2
()y
x y +的最大值为。

【答案】
16
2．已知点集{(,)|123}T x y x y =++-≤，数集{2|(,)}M x y x y T =+∈，则集合M 中最大元素与最小元素之和为。

【答案】6
3．已知函数2(2)x x a f x =-+，若{|()}{|(())}x f x x x f f x x ===，则实数a 的取值范围为。

【答案】5,4
⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
4．计算cos5cos55cos65⋅⋅= 。

【答案】
2616
5．在ABC △中，60,A BC ∠==
o ，O 为ABC △的外心，,,D E F 分别为,,AB BC CA 的中点，若2224OD OE OF ++= ，则OA OB OB OC OC OA =
⋅+⋅+⋅。

【答案】4
-6．若数列1234,,,a a a a 满足1423a a a a +=+，则称此数列为好数列。

现从1,2,,9,10 这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成好数列的概率为。

【答案】
521
7．设202322023
0122023(1)a a x a x a x =++++ ，则
01234520222023))()(()(a a a a a a a a =
+-+++--+ 。

【答案】2022
2
(1⋅+8．若二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为非零整数）的互异的两个根也是方程320x bx ax c +++=的根，则a b c ++的值为。

【答案】2
9．已知向量,a b
不共线，夹角为θ，且2,1,a b b b a a λλ++==-= ，若3
λ≤<，
则cos θ的最小值为。

【答案】
2
10．在同一平面直角坐标系中，,P Q 分别是函数()e ln()x f x ax ax =-和2ln(1)
()x g x x
-=图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为。

【答案】
322
11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在平面1ACD 上运动，满足143
B P =
，设点Q 为三棱锥1B ACD -外接球球面上的任意一点，则当平面PAD 与平面1ADB 夹角的正
时，PQ 的最大值为。

【答案】
19336
12．将形如abab 且能表示为21()n n *+∈N 的四位数称为好数，则好数的最大值与最小值之差为。

【答案】0
二、解答题（共三题，各20分，合计60分）
13．已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，过点(1,0)A -的直线l 与Γ交于,M N 两点。

（1）设点(1,0)B ，直线,BM BN 与Γ分别交于,C D 两点。

记直线,CD MN 的倾斜角分别为
,αβ，若αβ>，求tan()αβ-的最大值；
（2）设l 与直线4x =-交于点P ，E 为直线1x =-上不同于点A 的任意一点。

记直线,,EM EN EP 的斜率分别为123,,k k k ，证明：存在1,2,3的一个排列123,,i i i ，使得123,,i i i k k k 成等
差数列。

【答案】（1
）21
；（2）略。

（2）设点(),01,E t t -≠。

①若直线l 斜率为0，则点()4,0P -，不妨令点()()2,0,2,0M N -，则123,,33
t t
k k t k =-==，
此时1k ，3k ，2k 或231,,k k k 成等差数列。

②直线l 斜率不为0，设直线1122:10),(),)(,(l x my m M x y N x y =-≠，则点3
(4,)P m
--。

由22114
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩得22(4)230m y my +--=，2
16(3)0m ∆=+>，故12122223,44m y y y y m m -+==++。

因为12123
123
3,,1133t y t y t mt m k k k x x m
+
--+===
=++，所以121212121211y t y t y t y t k k x x my my ----+=
+=+++211212121212
()()2()
y y t y y t y y t y y my y my y -+--+==22
326262442334
mt mt m m k m m m --+++===-+。

故1k ，3k ，2k 或231,,k k k 成等差数列，证毕。

…………20分
14．设数轴上有一只兔子，从坐标00x =开始，每秒以1
()2
p p >的概率沿正方向跳一个单位，
以(1)p -的概率沿负方向跳一个单位。

记兔子第n 秒时的位置为(0,1,)n x n = 。

（1）证明：()0n E x ≥；（2）记()f n 是表达式1C (0,1,,)2k n n k n = 的最大值，证明：(0)1()21
n
p
P x f n p ≥>--。

【答案】（1）略；（2）略。

【解】（1）若n 次跳动中一共向右跳了k 次，则()2n x k n k k n =--=-．
因此()()
2C 1n k
k k n n P x k n p p -=-=-，0k =，1，2，…，n ．
若n 次跳动中一共向左跳了k 次，则()2n x n k k n k =--=-．
故()()2C 1n k
k n k
n n P x n k p
p --=-=-，0k =，1，2，…，n ．
于是()()()
()()0
02C 12C 1n
n
n k
k
k
k
k n k
n n
n k k E x k n p p n k p p --===--=--∑∑，()()()()()0
22C 12C 1n
n k
k k k k n k n n n k E x k n p p n k p p --=⎡⎤=--+--⎣⎦
∑()()()2202C 11n
n k
k n k n k k n n k k n p p p p ----=⎡⎤
=----⎣⎦
∑…………5分
当20k n -≤时，()221k n
k n p p ---≤；当20k n -≥时，()
221k n
k n p p ---≥．
01n01n
01
1111
n
n
x x x a
+++=+
，试求222
01n
x x x
+++
的最小可能值。

【答案】+2。

【解】由条件知：
=1
 =+−0
=1
 1=+1−10
由柯西不等式知：
=1
=1
≥2⟺+−0+1−≥2
0−0−≤0
由≤0≤+B+1(B+1)−(+)=(−1)(−1)≤0知+B+1≥1>，于是
≤0≤+B+1
同理，对任意0≤≤，都有
≤≤+B+1
因此
−−12≥0
⟺3−(+2)2
+(2+1)−≥0
⟺
2≥(+2)−(2+1)+
对上式从0到求和得：
=0
2≥(+2)=0
−(2+1
)(+=0
1
=(+2)(+)−(2+1)(+1)+=
+2
故最小值为+2，当且仅当0,1,⋯,n =(,1,1,⋯,1)或其轮换时，等号成立。