普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学含答案解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，集合{}
11A x x =-<，2511x B x
x ⎧⎫
-=≥⎨⎬-⎩⎭
，则U A B =ð（ ）
A B ．{}12x x <≤ C ．{}12x x ≤< D ．{}14x x ≤<
【答案】C
【解析】由题意得{}
{}{}1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，
，∴(){}12U
A B x x =≤<ð．选C ．
2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，
所以4在第三象限，所以cos 40<，
sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ．
3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）
A ．18
B ．14
C ．78
D ．34
【答案】A 【解析】如图：
不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，其概率为1
11
1
2228
p ⨯⨯==⨯，故选A ．
4．下列命题中：
①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件
②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +
≥”的否定是“00x ∃≤，使得00
1
2x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-[]0,1． 正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；
②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5；
③命题“0x ∀>，都有12x x +
≥”的否定是“00x ∃>，使得00
1
2x x +<”； ④由条件得[]20,2 820x
x ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．
5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）
A ．90，86
B ．94，82
C ．98，78
D ．102，74
【答案】C
【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；
98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2
22
2
2
正视图
侧视图
俯视图
A
B
C
D 【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，
D ．
7．在平面直角坐标系xOy
）
． A ．2 B ．1
C ．1
2
D ．14
【答案】B
【解析】设a x y =+，b x y =-，则2 2a b x a b y ⎧⎪⎪⎨
+===⎪⎪⎩
，(){},1,0,0A x y x y x y =+≤≥≥且，
∴等价于1
02
02
a a b
a b
⎧
⎪≤⎪
+⎪≥⎨
⎪-⎪≥⎪⎩，即
100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：
可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由1
0a a b =-=⎧⎨
⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积()11
1112122S
⎡⎤=⨯⨯--=⨯=⎣⎦， 故选B ．
8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω
的取值范围是（ ）
A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】π0,2t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<
-≤，
D ． 9．已知函数()()21
202
x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2-∞ B ．(2-∞
C ．(,22-∞
D ．222,⎛- ⎝ 【答案】B
【解析】()()21202x f x x x =+-
<，当0x >时，0x -<，()()21
202
x f x x x --=+->， 当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21
202
x f x x x -=+->，
由题意得：()2221
2log 2
x x x x a -+-=++，在0x >时有解，如图：
当0x =时，
21
log 2
a >，2a <a 的取值范围是(2-∞，，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．163⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，
B ．1653⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．()35，
【答案】D
【解析】∵214n n S S n -+=，()2
141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即
21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，
由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，
23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；
若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．
11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的正切值为H
R
=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
【答案】C
【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，tan 35PDC ∠=，63PD OD a ==，7H R ∴=，故选C ．
12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的
a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，
内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，，函数()212ln 2g x x x x m =-+++，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(],12-∞
C ．(],39-∞
D ．[)12,+∞
【答案】B
【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，
当12x <<时，()()2f x f x =-，
函数()f x 的图象关于直线1x = 又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =；
则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-，则有()8127
22
f x -
≤≤
， 则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为
272，最小值为81
2
-； 对于函数()2
12ln 2
g x x x x m =-+
++，有()()()12x x g x x -+'=
， 分析可得：在()01，
上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，
上，()0g x '>，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0+∞，
上，得()g x 的最小值()3
12
g m =+， 若[]168x ∃∈，
，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立， 必有()()min max g x f x ≤，即327
22
m +≤，得到m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．
【答案】23
2
a
【解析】
∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，
．∴2
33cos302
BD CD a a a ⋅=⋅⋅︒=
． 故答案为：23
2
a ．
14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF
△
周长的最小值为____________． 【答案】13
【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13．
15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______． 【答案】
3
【解析】由题意得180601801202
BOC ︒-︒
∠-
=︒=︒，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，
即13OB OC ⋅≤
，所以13sin120212
OBC S OB OC =⋅︒≤△， 当OB OC =3
16．已知双曲线22
22:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦
点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5
【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：
PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，
假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，
将x c =-
又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，
而EOA MFA △∽△
整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()12
1log n
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）112n n a -=；（2）1,2
,2
n n
n T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数
．
【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得1121
11222
S a a =-=-=；·
···1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即11
2
n n a a +=，·
···3分 又211
2
a a =
，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，1
2
为公比的等比数列．····5分
∴数列{}n a 的通项公式为11
2
n n a -=．····6分
（2）由（1）知，()()11n
n b n =--，····7分
()()012311n
n T n =-+-+-⋯+--，····8分
当n 为偶数时，2
n n
T =
；····10分
当n 为奇数时，()11122
n n n
T n --=
--=
，
·
···12分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同． （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）
80
243
；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为1
3
，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝
颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～1
53
B （，）
， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32
252180C 33243P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
＝＝．····4分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分
()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()2
21
233
P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，
()1
21133n P n ξ-⎛⎫
=-=⋅ ⎪
⎝⎭
，()23n
P n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭
． 所以ξ的分布列为：
····8分
ξ的数学期望为：
()1n +
+- ()2n ++-
①－②得：
()23
1
1
1212121
21221213333333
333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
23⎛⎫++ ⎪⎝⎭
23
12222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭221332212313
n
n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-．
所以2
223n
E ξ⎛⎫
=-⨯ ⎪⎝⎭
．····12分
19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．
（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；
（2）当
2AB
AD
=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）1
4
．
【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，
则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．
因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分
所以BC AD ⊥．····3分
又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分
而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分
（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分
由（1）知AD BD ⊥，又
2AB
AD =，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，
，3
2
BE AB AE a =-=，
·
···8分 所以3302D a a ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭，，，所以13022AD a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，()20AC a a =-，，． 设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即13022
20ay az ax ay ⎧+
=⎪⎨⎪-+=⎩
． 取1y =，则2x =，3
z =，所以321,3⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭m ,．....10分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，. (11)
分 所以二面角D AC B --的余弦值为4．····12分
20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；
（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）见解析．
【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．
x
y
A O
B
C D
A
依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，
O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．··
··1分 ∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分
设其方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则24a =，22c =，
2a ∴=，1c =，2
2
2
3b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22
143
x y +=．····5分
（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22
143x y +
=相切，与题意不符．····6分
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y
k x +=-．
y 整理得()()
222243168161680k x k k x k k +-+++-=．·
···7分 ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()
()()
2
222168443161680k k
k k k ∆=+-++->，解得1
2
k <
．····8分 设()11,M x
y ，()22,N x y 2122
16168
43
k k x x k +-=+，····9分
()()()12121212
1244
222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-
=----++
22
22
22
1684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫
+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()
e 2e 2x x
f x x ax x a '=-=-，····1分
当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
()f x ∴有1个极值点；····2分 当1
02
a <<
时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分
当1
2a =
时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当1
2
a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，
在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且1
2
a ≠时，()f x 有2个极值点； 当1
2
a =
时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）
．
①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，
0x ∀>在0x >上恒成立．
，则()()()2
1e 1x
x x g x x
---'=． 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．
0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，
()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分
②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．
设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若
1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，
00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，
()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θ
θ==⎧⎨⎩
（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1
C 经过伸缩变换： 3x x
y '⎧='=⎪⎨
⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；
（2）若直线cos : sin x t l y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，
且1AB =，求α的值．
【答案】（1）[]()22
30,π2cos 1ρθθ=
∈+；（2）π3α=或2π
3
． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，
把x x ='
，y y ='代入上述方程得，()22
103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()2
2
103
y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为[]()222223
0,π3cos sin 2cos 1
ρθθθθ=
=∈++；·
···5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，
由1
ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由2
23 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得23
12cos 1
B ρα=>+，
所以
121=-，∴1cos 2α=±，而[]
0,πα∈，∴π3α=或2π
3
．····10分 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()2f x x a =-，()1g x bx =+． （1）当1b =时，若
()()1
2
f x
g x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【解析】（1）当1b =时，
()()11112222
a a a
f x
g x x x x x +=-++≥---=+， 因为
()()12f x g x +的最小值为3，所以132
a
+=，解得8a =-或4．·
···5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，
当1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，
因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，所以1a >且132a <，
即
3
1
2
a
<<，故实数a的取值范围是
3
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．····10分。