第三章 傅里叶变换

ω
第三章 傅里叶变换 肖娟
3. 周期信号频谱的特点 频谱是离散的而不是连续的， （1）离散性 —— 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 ） 称为离散频谱。 称为离散频谱。 信号的周期T 决定着其离散频谱谱线的间隔大小。 信号的周期 1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。 T1 越大， ω1越小，谱线越密。 越大， 越小，谱线越密。 （2）谐波性 —— 谱线出现在基波频率 ω1 的整数倍上。 的整数倍上。 ） （3）收敛性 —— 幅度谱反映了信号 f(t) 中各频率分量的 ） 大小， 大小，其谐波幅度随着 n → ∞ 而逐渐衰 减到零。 减到零。
n =1
∞
其中
c0 = a 0 ,
cn = a + b ,
2 n 2 n
ϕ n = tan −1 (−
bn ) an
an , bn , cn , ϕ n 都是 n ω 1 的函数。 的函数。
cn
ϕn
～ ～
关系曲线， 幅度频谱。 n ω 1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n ω 1 关系曲线，称为信号的 相位频谱。 关系曲线， 相位频谱。
◆ ◆
1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密 年 法国数学家狄利克雷 以严密
的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。 的方式给出傅里叶级数与积分的存在条件的完整证明。 一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下， 一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才 狄利克雷条件的前提下 可以展开为傅里叶级数。 可以展开为傅里叶级数。
2. 两种形式的傅里叶级数系数之间的关系
（1） F0 ） （2） ）
= c0 = a0
2 2 − j tan −1 ( bn ) an
an − jbn an + bn = e Fn = 2 2 b an 2 + bn 2 j tan −1 ( ann ) a− n − jb− n an + jbn F = = = e −n 2 2 2
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
（一） 三角形式的傅里叶级数
满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。 若周期信号 f (t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
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1. 傅里叶级数表达式
f (t ) = a0 + ∑ [ a n cos( n ω1t ) + bn sin( nω1t )]
幅度频谱
jϕn
{ϕ
F 是 n 的偶函数 n
n是
n 的奇函数
ϕ n ~ nω1 相位频谱
双边频谱
nωτ jnω1t Eτ ∞ 例：周期矩形脉冲 f (t) = Sa( 1 )e ∑ 2 T n=−∞ 1
实数
nω1τ Eτ Fn = Sa( ) T1 2
{
Eτ ωτ Eτ nω1τ Fn = Sa = T Sa 2 T1 ω =nω1 2 1
c0 = Eτ T1
−
2π
0 ω1
2π
ω
τ
ϕn
π
0 ω1
τ
0 ω1
2π
4π
ω
ϕn
π
τ
τ
ω
0 ω1
ω
−π
负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。 负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。
Eτ 第三章 傅里叶变换 肖娟 F T1
n
Fn =
nω τ Eτ Sa( 1 ) 2 T1
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第三章 傅里叶变换
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 3. §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 §3.9 引言 周期信号的傅里叶级数分析 典型周期信号的傅里叶级数 傅里叶变换 典型非周期信号的傅里叶变换 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质 卷积定理 周期信号的傅里叶变换
是一个正交函数集 是一个正交函数集
=
n=−∞
∑F
∞
2
n
第三章 傅里叶变换 肖娟
f (t )
1
作业： 作业：周期信号 f (t )如图所示。 如图所示。
（1）给出 f (t ) 的三角形式傅里 ）
-2 -1
0
1
2
t
叶级数； 叶级数； f (t) = 1 + 2 [sin(πt) + 1 sin(3πt) + 1 sin(5πt) +L ]
1 1 1 s2 = 1 + 2 + 2 + 2 + L 3 5 7
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2 Eτ T1
cn
2 Eτ T1
& cn
c0 =
Eτ T1
c0 =
Eτ T1
2π
4π
0 ω1
2π
4π
ω
0 ω1
τ
τ
ω
ϕn
π
0 ω1
τ
τ
ω
当周期信号 f(t) 为偶函 数时，单边谱的另一种 画法。 画法。
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4. 周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系
1 t0 +T1 2 P= ∫ f (t )dt t0 T1
−
2π
0 ω1
τ
π
ϕn
2π
ωτຫໍສະໝຸດ 0 ω1ω实函数时 当Fn是实函数时，可 用Fn的正、负表示相 位的0 位的0、π，幅度谱 和相位谱合一。 和相位谱合一。 当周期信号 f(t) 为 偶函数时 偶函数时, bn = 0 ,
−π
Eτ T1
Fn
an 实函数。 Fn = 为实函数。 2
−
2π
0 ω1
τ
2π
ω
τ
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（二）本章重点
掌握周期信号的Ｆourier级数分解方法 级数分解方法； 掌握周期信号的Ｆourier级数分解方法； 掌握周期信号 和 非周期信号、 抽样信号的Ｆourier 非周期信号、 抽样信号的Ｆ 变换； 变换； 掌握Ｆourier变换的方法和性质，了解信号的时域特 变换的方法和性质， 掌握Ｆourier变换的方法和性质 性和频域特性之间的关系。 建立信号频谱的概念 性和频域特性之间的关系。 掌握抽样定理。 掌握抽样定理。
∞ 1 t0 +T1 = ∫ {a0 + ∑ [an cos(nω1t ) + bn sin(nω1t )]}2 dt T1 t0 n =1
1 ∞ 2 2 2 = a0 + ∑(an + bn ) 2 n=1
1 ∞ 2 = c + ∑ cn 2 n =1
2 0
1 ,2, cos(nω t) n =1 L 1 sin(nω t) n =1 L ,2, 1
1 f ( ) = 1 ，求下列无穷级数之和； 求下列无穷级数之和； （2）利用（1）的结果和 ）利用（ ） 2
2 π
3
5
1 1 1 s1 = 1 − + − + L 3 5 7
的平均功率； （3）求出 f (t ) 的平均功率； ）
s1 =
π
4 1 P= 2
s2 =
（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和； ）利用（ ）的结果，求下列无穷级数之和；
0 ϕn = π 或 − π nω τ , Sa 1 2 nω τ , Sa 1 2 >0 <0
第三章 傅里叶变换 肖娟 双边 Eτ ωτ 频谱 Fn = Sa
2 Eτ T1
cn
单边 频谱
T1
Eτ T1
2 ω =nω1
∞
n =1
= F0 + ∑ [ Fn e jnω1t + F− n e − jnω1t ] n =1 ∞ 1 jnω1t −∞ − jnω1t ∞ 0 ω1t n = (e + ) jn = F0 e jcos(+ω1t )Fn e jnω1t + ∑eFn e jnω1t = n 的偶函数 ω1t Fn e ∑ 2 n=−1 欧拉公式 n =1 j jnω t n − jnω t 2 t +T =−∞ − ean = ) ∫ f (t)cos(nω1t)dt an sin(n ω1t ) = − ( e − jbn 记
1 t0 +T1 Fn = ∫ f (t )e − jnω1t dt (−∞ < n < ∞) T1 t0
1 t0 +T1 1 t0 +T1 = ∫ f (t )e − j 0ω1t dt F0 = a0 = ∫ f (t )dt t0 T1 t0 T1
an − jbn 1 t0 +T1 Fn = = ∫ f (t )e − jnω1t dt 2 T1 t0
抽样信号的傅里叶变换、 §3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理
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§3.1 引言
（一）傅里叶分析发展的历史
1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个 年 法国数学家傅里叶 提出“ 周期函数都可以表示成三角函数之和” 周期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级 数的理论基础。 数的理论基础。
nωτ E τ 2Eτ ∞ f (t) = + Sa( 1 )cos(nω t) ∑ 1 T T n=1 2 1 1
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2. 周期信号的频谱
f (t ) = a0 + ∑ [ a n cos( n ω1t ) + bn sin( nω1t )]
n =1
∞
= c0 + ∑ cn cos( nω1t + ϕ n )
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（二）指数形式的傅里叶级数
1. 由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数
∞
f (t ) = a 0 + ∑ [ a n cos( nω 1t ) + bn sin( nω 1t )]
an − jbn jnω1t an + jbn − jnω1t = a0 + ∑ ( e + e ) 2 2 n =1
n =1
∞
T1
Eτ c0 = T1
包络
=
2 Eτ ωτ Sa T1 2 ω =nω 1
nω1τ 0 , Sa 2 > 0 ϕn = π , Sa nω1τ < 0 2
ϕn
0 ω1
2π
4π
ω
τ
τ
π
0 ω1
例：周期矩形脉冲
E f (t )
L
− T1
T − 1 2
−
τ
2
τ
2
L
T1 2
T1
t
nω1τ 1 τ2 − jnω1t Eτ ) Fn = ∫ τ Ee dt = Sa ( T1 − 2 T1 2
nωτ jnω1t Eτ ∞ f (t) = Sa( 1 )e ∑ 2 T n=−∞ 1
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nωτ E τ 2Eτ ∞ 周期矩形脉冲 f (t) = + Sa( 1 )cos(nω t) ∑ 1 T T n=1 2 1 1
对比
Eτ c0 = T1
2 Eτ nω1τ cn = Sa T1 2
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cn f (t ) = c0 + ∑ cnEcos(nω1t + ϕ n ) 2 τ
0 1 0
n =1
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例：周期矩形脉冲
E f (t )
L
− T1
T − 1 2
−
τ
2
τ
2
L
T1 2
T1
t
1 T1 1 Eτ 2 a0 = ∫ T1 f (t )dt = Eτ = T1 − 2 T1 T1
2 T1 bn = ∫ 2 1 f (t )sin(nω1t )dt = 0 T − T1 2
jϕn
Fn = Fn e
{ϕ
F 是 n 的偶函数 n
n是
n 的奇函数
an = Fn + F− n bn = j ( Fn − F− n )
1 Fn = F− n = cn 2 cn = Fn + F− n
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3. 指数形式的信号频谱
Fn = Fn e
Fn ~ nω1
Fn =
∞
{
∑
2
( n = 1, 2,2 ) L
1
1
0
1
T 1
t0
则 F = a − n − jb − n = an + jbn −n 2 2
n 的奇函数
2 t0+T1 bn = ∫ f (t)sin(nω t)dt 1 t0 T 1
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f (t ) =
n =−∞
∑
∞
Fn e
jnω1t
2 T1 2 τ2 an = ∫ 2 1 f (t ) cos(nω1t )dt = ∫ τ E cos(nω1t )dt T T1 − 2 T1 − 2 4 τ2 4E nω1τ = 2 Eτ Sa nω1τ = ∫ E cos(nω1t )dt = sin T1 nω1T1 2 2 T1 0
∞
2π T 的周期。 基波角频率 ω1 = ， 1为 f (t ) 的周期。 T1 1 t +T f ( t ) dt 直流分量： 直流分量： a 0 = ∫t T1 2 t0 +T1 余弦分量的幅度： 余弦分量的幅度： n = a ∫t0 f (t ) cos( nω1t ) dt T1 2 t0 +T1 正弦分量的幅度： 正弦分量的幅度： n = b ∫t0 f (t ) sin( nω1t ) dt T1