高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数知识导航学案

§7 正切函数
知识梳理
1.任意角的正切函数 （1）定义
如图1-6-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则a
b
是角α的函数，称为正切函数，记为
a
b
=tanα(α∈R ).通常用x,y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx. （2）正切线
如图1-6-1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.
图1-6-1
（3）正切线所表示的正切值可如下确定：
正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致，向上为正，向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值.
（4）任意角的正切函数定义的推广
图1-6-2
如图1-6-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点,则tanα=
x
y . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数.正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.任意角的正切值的符号
（1）用图形表示：正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.
图1-6-3
tanα x 非负半轴 0 第一象限 + y 非负半轴 不存在 第二象限 - x 非正半轴 0 第三象限 + y 非正半轴 不存在 第四象限
-
3.正切函数的图像和性质 (1)图像：如图1-6-4所示.
图1-6-4
函数
性质
y=tanx
定义域 {x|x≠
2
π
+kπ,k∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数
单调性
增区间 (-2π+kπ, 2
π
+kπ)(k∈Z ) 减区间
无
对称性
对称中心 （2
π
k ,0)(k∈Z ) 对称轴
无
x tanx -α -tanα π-α
-tanα
知识导学
1.复习初中学过的锐角的正切函数，本节是锐角正切函数的补充和延伸.
2.任意角的正切值的符号记忆口诀：“一三正，二四负”.其含义是终边在第一、三象限的任意角正切值为正.
3.三角函数值在各象限的符号的记忆方法：
三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数）.。