2013年高考试题+模拟新题分类汇编专题F平面向量文科)教师版

F 单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
1．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
1.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12
AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12
. 2．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A
＋C)＝－35
.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 2．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35
，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B
，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4
.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22
. 3．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.
3．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.
4．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．
4．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
5．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)
的点P 组成，则D 的面积为________．
5．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩
⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧6≤2x －y≤9，0≤x －2y≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，
点B(5，1)到直线x －2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35
＝3. 6．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的
最大值为( ) A.2－1 B. 2 C .2＋1 D.2＋2
6．C [解析] 由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，
1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c|＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.
7．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长
为________．
7.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12
AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋
AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12
或0(舍去)． 8．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．
8．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.
9．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在
x 轴上，离心率e ＝22
，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心
为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的
圆Q 的标准方程．
9．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22
得b 2
＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 2
16＝12
(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，
－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.
F3 平面向量的数量积及应用
10．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B
两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22
C. 2 D ．2 10．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－
16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝4＋16t 2＋8＋4
－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t
＝2. 11．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )
A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0
11．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m 2
，解得m ＝2或－ 2. 12．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值
为________．
12．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5.
13．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )
A ．b ＝a 3
B ．b ＝a 3＋1a
C ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0
D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a
＝0 13．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为
直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a
＝0，所以(b －a 3)b －a 3
－1a
＝0，故选C. 14．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.3 22 B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 152
14．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22. 15．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
15．B [解析] (m ＋n)⊥(m －＋n)·(m －n)＝2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
16．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．
16．－13
[解析] 设|b|＝1，则|a|＝3，|a ＋2b|＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13
. 17．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最大值和最小值． 17．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6
cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6
. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6
＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12
. 18．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．
18．2 [解析] b·c ＝b·[ta ＋(1－t)b]＝ta·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12
t ＝0，即t ＝2. F4 单元综合
19．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10
19．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12
×12＋22×（－4）2＋22＝5， 20．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
20．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c
＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作
为一组基底来表示平面内任一向量；
③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉
和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，
OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是
圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc.综上，选B.
21．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|
的最大值等于________．
21．2 |x||b|＝|x|2|b|2＝x 2x 2e 21＋2xye 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy×32
＋y 2＝11＋3y x ＋y x 2＝1y x ＋322＋14
22．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2，0)
B ．(－3，6)
C ．(6，2)
D ．(－2，0) 22．A [解析] MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)，则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6， 即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.
23．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43
AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( ) A.13OA →－43OB → B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB → D ．－13OA →－43
OB → 23．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43
OB →，选C. 24．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )
A ．－1
B ．2
C ．1
D ．－2
24．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎨⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，
解得λ＝1.故选C. 25．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|
BD →，则四边形ABCD 的面积为________．
25.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|
BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12
，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32
＝ 3. 26．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值
为( ) A ．1 B.32
C ．2
D ．3 26．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －mb)·a ＝0，即|a|2－ma·b ＝0，所以|a|2－m|a||b|cos 60°＝0，解得m ＝3
27．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，
则点P 的轨迹方程是( )
A ．x －2y ＋5＝0
B ．x ＋2y －5＝0
C ．x ＋2y ＋5＝0
D ．x －2y －5＝0
27．C [解析] 由题意知－5＝OP →·OA →|OA →|
＝x ＋2y 5，所以点P 的轨迹方程是x ＋2y ＋5＝0，故选C.。