一道典型几何题的多解与多变

数理化学习

一道典型几何题的多解与多史

■郑泉水

摘要：数学解题不能满足于会做，不能就题论题， 而要善于多角度分析、思考问题.这样，不仅可以开阔 思路、启迪智慧、提高综合运用知识的能力，而且能够 培养创新精神和学习数学的兴趣.

关键词：几何题；一题多解；一题多变

一题多解、一题多变对于培养发散思维、提高解题 效率具有重要意义!值得引起大家足够的重视!请看下 面的例子.

题目[1]已知：如图1,矩形/1BCD 中，从=4,/10 =6，£是此的中点，连结/1£，过点0作/^丄/1£于厂 求的长.

解法1:(应用相似三角形）由已知条件可知:/Ifl = 4，B £ = 3.故由勾股定理可求得= 5.由已知条件易证得：

…RtADFA

图丨

图2

设 £尸=X ，则= 5 - X .

由勾股定理得-£戸=AZ )2 -4f 2,即:52 -*2 = 62 - (5 -*)2.解得:* = +•

所以 DF = J s 2 - (y )2 = j .解法3:(应用三角形的面积） 如图2,连结D£.则有S A4D£ = y S

矩形撒

'0 = 12.

又〜咖=| x 狀 x D F = 士 x 5 x D F = 12.所以D f =

解法4:(构造全等三角形并0 应用三角形的面积公式）

如图3,分别延长0(：、/1£，交e

于C _

由已知条件易知:c :/

=

R t A C C ^. 图 3

所以 ^ AADG ~ ^^

a b c d

~ 24,/4G = 2AE = 10.

X S A (t 0C = y xAG XDF = 24,24

所以/)F =管.

变式1:探究逆命题

解法2:(应用勾股定理）如图2,连结/)£，

由勾股定理可求得:〇£ =

= 5.

我们将原题的结论“£>厂=f ”当做条件，而将求

解的问题变为“求/!£>=?”或“求

=?”于是得到以

下两个问题.

作者简介：郑泉水（1964 -),男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究

202J年第2期

—————_______，理问题1:已知：如图1，矩形/IBC7)中,仙=4，£是

石C的中点，连结狀,过点£»作抓丄狀于厂若DF =

求仙的长.

问题2:已知：如图1，矩形中,/!/)=6，£是

B C的中点，连结/1£,过点Z)作丄/!£于F.若D f = $求狀的长.

解析:对于问题1 ,设L则

由勾股定理可求得:/l£ = ^16 +x2

由已知条件易证得RtA/lB£ 0RtAOFA

所以& =。厂2解得:尤=3.

T^

所以/1D = 6.

对于问题2,可用类似的方法求解.

解题过程从略.

变式2:探究新的结论

在原题的基础上，延长D F,交B C于C(如图4),

能否求出Z)C的长？

94

解析:由原题的解答可知f

故由勾股定理可求得：

从= V6H

所以 = 5 _ y = +

由已知条件易得A£CF.

24 ^8

所以^ =I解得:F G = ft.

T

m j D G=f+f5=f.

变式3:弱化问题的条件

(1)将原题中的“丄狀”弱化为“乙D M=60°(也可以是其它角度）”，于是得到：

问题3:已知：如图5,矩形/IBCD中，/I f i =4,4Z)= 6，£是fiC的中点，连结/!£，在4£上取一点F，使 乙= 60。•求的长.

解析:过£>点作丄于尺.

94

由原题解答可知f

24

在 R t A Z^F中，sin60。= ^；.

所以D F = >.

(2)将原题中的“矩形”弱化为“有一个角是60°(也可以是其它角度）的平行四边形”，于是得到：问题4:已知：如图6,平行四边形/IBCD中，乙C = 60。，仙=4,仙=6，£是B C的中点，连结狀，过点D 作D f丄/!£于f.求/)F的长•

解析:过4点作丄C B于/V，连接D£.

在 RiA/lB/V 中，乙4B/V = 60。，

所以 B；V = =2，/l/V=/IS x sin60〇=於

由勾股定理可求得= V a n2 + EN2= 7(2/3 )2+ 52=/y f

由

1〇

E：一2 〇矩形一x6x2/3= 6/5"，

s-

。厶ADE-

：^~ xAE x DF

2=y X

y y f X D F，所以士 X y5T X DF = 6/1，解得:训=誇7111.

(3)将原题中的“£是B C的中点”弱化为

数理化学习咖…

图6 图7

问题5:已知：如图7,矩形4B C D中,/IB =4,/10 = 6,£；是B C上一点,且满足= 2: 1,连结从，过 点D作丄/!£于F•求Z)F的长•

问题 7:如图 9,矩形 4BCD 中，/1B = 4,/1£) = 6,£ 是B C的中点，连结/1£，作乙4D C的平分线，交4£于f,求的长.

解析：延长抓交B C于C,过C作C//丄仙于W,则四边形是矩形，A Z W G是等腰直角三角

说明：可应用与原题相同的解法. 形.

答案-.D F :瓜所以 £»// = //G = 4，B G = 2，£G = 1.

解题过程从略.

(4)当然，我们也可以同时弱化两个条件，这样，就又可以得到多个问题，有兴趣的读者不妨一试，这里 从略•

变式4:类比探究

(1)将原题中的“训丄从”类比为“厂是狀的中 点”，于是得到：

问题 6:如图 8,矩形 AfiCD 中，/IB = 4，AZ)= 6,£ 是B C的中点，连结/!£,取的中点F,连结求D F 的长.

解析:过£>点作D C丄/»£于C.

24

由原题的解答可知:/l£ = 5,Z)C =

由勾股定理可求得= ^62 - (y)2

m x FG = A G- AF18 _ 5^ = H

T _ T = 10'

18由勾股定理可求得:

d f-V(M)2+(f)2 =1，

(2)将原题中的“£>F丄从”类比为“D F是乙/IZ)C 的平分线”，于是得到：

由勾股定理可求得:=仏.

6 DF DF

由w A£C F,得：+ =浩=—-----•

1FG4j2 - DF 解得：D F =%.

(3)将问题4进行同样的类比，可以得到：

问题8:已知：如图10,平行四边形A B C D中，乙C =60。,仙=4，仙=6,£是沉的中点，连结从,取从的中点连接抓•求的长.

问题9:已知：如图11，平行四边形4BCZ)中，乙C =60。，仙=4，从）=6，£是6(：的中点，连结从,作乙/1D C的平分线，交/!£于F•求训的长•

解答留给读者自行完成，这里从略•

(4)将问题5进行同样的类比，可以得到：

问题10:已知：如图12,矩形4BCZ)中,/IB =4，4D =6,£是方(：上一点，且满足B£:E C = 2: 1,连结