2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点(含答案)

解 (1)设乙厂生产的产品为 m 件，依题意得14＝ 5 ， 98 m
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件，
∴估计乙厂生产的优质品为 35×2＝14(件)． 5
(3)依题意，ξ可取 0,1,2，
则 P(ξ＝0)＝C33＝ 1 ，P(ξ＝1)＝C23C12＝ 6 ，
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB． nA
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1 8
B．1 4
C．2 5
D．1 2
【答案】B
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 7 ＋ 1 ＝ 8 ． 15 15 15
[变式探究 2] 若本例中的 X 表示取到的粽子的种类，求 X 的分布列．
解 由题意知 X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C33＋C35＝1＋10＝ 11 ，
C310
＝2×3×
1－1 3
＋2×
1－3 4
×1＋
1－2 5
×3×1＝23．
54
5
3
4 3 60
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A －B
－C ∪ －A B －C ∪ －A
－B C) ＝ 2 ×
1－3 4
×
1－1 3
＋
1－2 5
×3×
1－1 3
＋
5
4
1－2 5
×
1－3 4
×1＝
5
．
3 12
故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝110＋2630＋152＝190．
下表是乙厂的 5 件产品测量数据.
编号 1
2
3
4
5
x
169 178 166 175 180
y
75 80 77 70 81
(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中微量元素 x，y 满足 x≥175，y≥75 时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的
优质品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中任取 3 件，求抽取的 3 件产品中优质品数ξ的分布列．
事件 B 发生的条件概率．
(2)性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③条件概率的求法
1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PAB求 P(B|A)． PA
2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件
(2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A)＝2，P(B)＝3，P(C)＝1．
5
4
3
(1)3 人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110．
(2)法一：3 人中有 2 人被选中的概率
P2＝P(AB－C∪A－B C∪－A BC)
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1． 例 1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量 X 的分布列为：P(X＝k)＝ 1 ，k＝1,2，…，则
2k
P(2<X≤4)＝____________．
C25
5
C25 10
又 A⊇B，则 P(AB)＝P(B)＝ 3 ， 10
所以 P(B|A)＝PAB＝PB＝3． PA PA 4
[变式探究 2] 将题改为：从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 为“第一次取
到的是奇数”，事件 B 为“第二次取到的是奇数”，求 P(B|A)的值．
120 120
P(X＝3)＝C12C13C15＝ 30 ＝1， C310 120 4
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)
＝1－ 11 － 30 ＝ 79 ． 120 120 120
综上可知，X 的分布列为
X
1
2
3
P
11
79
1
120
120
4
练习．(2019·辽宁大连月考)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中
PA 3 2 5
练习．(2019· 辽宁大连质检)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3
个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则两次都
取到红球的概率是( )
A．11 27
B．11 24
C． 8 27
D． 9 24
【答案】C [设从 1 号箱取到红球为事件 A，从 2 号箱取到红球为事件 B．由题意，P(A)
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
例 4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手
M 与 B1，B2，B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概
2020 年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为
离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个 值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列.
其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 3 个．
(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；
(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列．
解 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有 P(A)
＝C12C13C15＝1．
(2)二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率
是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.在 n 次独立重
复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
1－3 4
×2×
1－1 2
＝
6
＝1；
3
24 4
P(X＝2)＝P(AB－C)＋P(A－B C)＋P(－A BC)
＝3×2×
1－1 2
＋3×
1－2 3
×1＋
1－3 4
×2×1＝11；
43
4
2
3 2 24
P(X＝3)＝P(ABC)＝3×2×1＝ 6 ＝1，所以 M 获胜场数 X 的分布列为： 4 3 2 24 4
C35 10
C35 10
P(ξ＝2)＝C13C22＝ 3 ． C35 10
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1
6
3
10
10
10
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P 1－p p
其中 p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X
X
0
1
2
3
P
1
1
11
1
24
4
24
4
数学期望为 E(X)＝0× 1 ＋1×1＋2×11＋3×1＝23．
24
4
24
4 12
练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人
能被选中的概率分别为2，3，1，且各自能否被选中互不影响． 543
(1)求 3 人同时被选中的概率；
立．
(2)性质
①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与－B ，－A 与 B，－A 与－B 也都相互独立．
6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，有 A 25种方法；其中第一次取到的是奇数，有
A13A
14种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有
A13A
12种方法．则
P(A)＝A13A14＝ A25
3，P(AB)＝A13A12＝ 3 ，
5
A25 10
3 ∴P(B|A)＝PAB＝10＝1．
[P(A)＝C23＋C22＝2，P(B)＝C22＝ 1 ，又
C25
5
C25 10
A⊇B，则
P(AB)＝P(B)＝ 1 ，所以 10
P(B|A)＝PAB＝ PB ＝1.] PA PA 4
[变式探究 1] 若将题中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为
奇数”，则结果如何？
解 P(A)＝C23＋C22＝2，P(B)＝C23＝ 3 ，
任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X＝4)的值为
____________．
【答案】27 [由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球，故 P(X＝4)＝C23C19＝ 27 .]
220
C312 220
4．条件概率
(1)定义：设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A)＝PAB为在事件 A 发生条件下， PA
C310
4
(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且
P(X＝0)＝ C38 ＝ 7 ，P(X＝1)＝C12C28＝ 7 ，
C310 15
C310 15
P(X＝2)＝C22C18＝ 1 ． C310 15
综上知，X 的分布列为
X
1
2
3
7
7
1
P
15 15 15
[变式探究 1] 在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．
事件为 D，则 P(A)＝3，P(B)＝2，P(C)＝1，由于事件 A，B，C 相互独立，所以
4
3
2
P(D)＝P(ABC)＋P(AB－C)＋P(A－B C)＋P(－A BC)
＝3×2×1＋3×2×
1－1 2
＋3×
1－2 3
×1＋
1－3 4
×2×1＝17，由于17>
7
，所以
M
会
43243
4
2
3 2 24
＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈ N*，称随机变量 X 服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
例 2. （2019 年岳麓区月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有 10 个粽子，
法二：3 人都未பைடு நூலகம்选中的概率为
P(－A
－B
－C )＝
1－2 5
1－3 4
1－1 3
＝
1
，
10
所以 3 人中至少有一人被选中的概率为 1－ 1 ＝ 9 . 10 10
7．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第 i 次试 验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
【答案】 3 [∵P(X＝k)＝ 1 ，k＝1,2，…，∴P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ 1 ＋ 1 ＝
16
2k
23 24
1＋ 1 ＝ 3 .] 8 16 16
练习. (2019·山东滨州模拟)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从
甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素 x，y 的含量(单位：mg)，
率分别为3，2，1，且各场比赛互不影响． 432
(1)若 M 至少获胜两场的概率大于 7 ，则 M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入 10
选，问 M 是否会入选最终的大名单？
(2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望．
解 (1)记 M 与 B1，B2，B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A，B，C，M 至少获胜两场的
＝ 4 ＝2，P(B|A)＝3＋1＝4，所以 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝2×4＝ 8 ，所以两次都取到红
2＋4 3
8＋1 9
3 9 27
球的概率为 8 .] 27
5．事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独
24 10
入选最终的大名单．
(2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3，则
P(X＝0)＝P(－A －B －C)
＝
1－3 4
×
1－2 3
×
1－1 2
＝
1
；
24
P(X＝1)＝P(A－B
－C )＋P(－A
－B C)＋P(－A B－C)＝3×
1－2 3
×
1－1 2
＋
1－3 4
×
1－2 3
×1＋
4
2