2023八年级数学上册第十二章分式和分式方程12

5
10
= -1的解为x=4.
+1 +1
(1)⑤
6
12
⑥+1=+1-1的解为x=5.

2
(2)第n个方程:+1=+1-1的解为x=n-1.
验证:方程两边同乘x+1,得n=2n-(x+1),
解得x=n-1.
经检验,x=n-1是原分式方程的解.
一题练透
分式方程的解与字母参数
−3
1
已知关于x的分式方程 −2 +1=2−.
答案
4.a≥1且a≠2
方程两边同乘x-1,得a-2=x-1,解得x=a-1,由方程的解为非负数,得a-1≥0,
解得a≥1,因为x≠1,所以a-1≠1,所以a≠2,所以a的取值范围是a≥1且a≠2.
2−
−2+
5. [2021达州中考]若分式方程 −1 -4= +1 的解为整数,则整数a=
−2 16
依题意,令+2- 2 −4=1,
方程两边同乘(x+2)(x-2),
得(x-2)2-16=(x+2)(x-2),
解得x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0.
所以x=-2不是原分式方程的解,
所以原分式方程无解,
−2 16
所以不存在数x,使得式子+2- 2 −4的值等于1.
答案
7.解:(1)方程两边同乘(x+2)(x+1),
得x(x+1)-(x+2)=(x+2)(x+1),
化简,得x2-2=x2+3x+2,
4
解得x=-3.
4
3
经检验,x=- 是原分式方程的根.
(2)方程两边同乘3x-9,
得2x+9=3(4x-7)+2(3x-9),
解这个整式方程,得x=3.
检验:当x=3时,3x-9=0.
1
2
2
4
3
6
4
8
①+1=+1-1的解为x=
②+1=+1-1的解为x=
③+1=+1-1的解为x=
④+1=+1-1的解为x=
;
;
;
;
……
(1)根据你发现的规律直接写出⑤,⑥的方程及它们的解;
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律,并验证它的解.
答案
10.解:①0;②1;③2;④3
得x+4+m(x-4)=m+3,
整理,得(m+1)x=5m-1.
当m+1=0时,一元一次方程无解,
此时m=-1.
5−1
当m+1≠0时,解得x= +1 .
5−1
5−1
当 +1 =4或 +1 =-4时,
1
原方程的根为增根,解得m=5或-3.
1
综上所述,m的值为-1,5或-3.
10.[2022铜仁一中实验学校月考]解方程:

2
时,关于x的分式方程−1-−1=1的解与方程
−4
=3的解相同

答案
1
3.7
− 4

2
− 4
=3,得x-4=3x,解得x=-2.因为方程
=1的解与方程
=3的解相同,所以

−1 −1

由方程
−2 2
1
的解,把x=-2代入,得−1-−2−1=1,解得a=7.

2
4. [2022石家庄期中]已知关于x的分式方程−1+1−=1的解是非负数,则a的取值范围是
1
2
2. [2021广州中考]方程−3=的解为(
A.x=-6
B.x=-2
C.x=2
D.x=6
)
答案
2.D
把选项中未知数的值依次代入验证,可知x=6是原分式方程的解.
知识点2 分式方程的解(或根)
3. [2021滨州期末]若x=4是分式方程
A.6
B.-6
C.4
−2 1
=−3的根,则a的值为(
−2 16
(2)试用嘉淇的方法解分式方程+2- 2−4=1.
;
答案
8.解:(1)分式的值为0,即分子为0且分母不为0
−2 16
-1=0,
+2 2 −4
(2)移项,得
(−2)2
(+2)(−2)
16
通分,得
=0,
(+2)(−2) (+2)(−2) (+2)(−2)
−4(+2)
.
答案
5.±1 方程两边同乘(x+1)(x-1),得(2x-a)(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x-1)(-2x+a),整理,得
2ax=4,故ax=2.因为x,a为整数,所以a=±1或a=±2,又因为x=±1为增根,所以a≠±2,所
以a=±1.
1
3
6. 如图,A,B,C三点在数轴上对应的数分别是+2,1,2+4,且点B到点A,C的距离相等,则x=
答案
8.解:因为x=1是方程1−-−1=3的根,

2
所以1−-−1=3.
方程两边同乘1-a,得a+2=3-3a.
1
解这个整式方程,得a=4.
1

2
经检验,a=4是方程1−-−1=3的根.
1
所以a的值为4.
知识点3 分式方程的解法
9. [2021杭州上城区期末]静静同学解分式方程
−6
=0,
-4(x+2)=0,
解得x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0.
所以x=-2是原分式方程的增根,
所以原分式方程无解.
1

+3
9. [2022聊城外国语学校月考]若关于x的方程−4++4= 2−16无解,求m的值.
答案
9.解:方程两边同乘(x-4)(x+4),
答案
4.B
)
知识点3 分式方程的解法
1 1−
5. [2021黄石中考]分式方程−2+2−=3的解是
.
答案
5.x=3 方程两边同乘x-2,得1-(1-x)=3(x-2),解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的解.
知识点3 分式方程的解法
1
2
时,分式5−与分式2−3的值互为相反数.
6. [2022秦皇岛期中]当x=
5

1. 易错题[2022邢台八中期中]若关于x的分式方程−2= +
A.0
B.2
4
有增根,则增根为(
(−2)
C.0或2 D.1
答案
1.A
分式方程的最简公分母为x(x-2),由分式方程有增根,得x(x-2)=0,所以x=0或2.原
分式方程去分母后,
得5x=a(x-2)+4,x=2不是这个整式方程的根,所以分式方程的增根为0.
2
5
-−1=3−的过程如下:
(−1)(−3)
去分母,得-6x-2(3-x)=5(x-1).
去括号,得-6x-6-2x=5x-5.
移项,得-6x-2x-5x=-5-6.
合并同类项,得-13x=-11.
13
两边同除以13,得x=11.
13
11
经检验,x= 是原分式方程的根.
静静的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.
答案
9.解:静静的解答过程有错误.
正确的解答过程如下:
去分母,得6x-2(3-x)=5(x-1).
去括号,得6x-6+2x=5x-5.
移项,得6x+2x-5x=-5+6.
合并同类项,得3x=1.
1
3
两边同除以3,得x= .
1
经检验,x=3是原分式方程的根.
知识点4 分式方程的增根


10. [2021宜宾中考]若关于x的分式方程−2-3=−2有增根,则m的值是 (
A.1
B.-1
C.2
)
D.-2
答案
10.C


1
方程−2-3=−2的两边同乘x-2,得x-3(x-2)=m,解得x=3-2m.∵方程有增根,∴x-2=0,∴x
知识点4 分式方程的增根
−2 16
11. 是否存在数x,使得式子+2- 2 −4的值等于1,并说明理由.
答案
11.解:不存在.理由如下:
答案
1
2
6.2.4 根据题意,得5−+2−3=0,方程两边同乘(5-x)(2-3x),得2-3x+10-2x=0,解得x=2.4.经检
解.
知识点3 分式方程的解法
7. 解分式方程:

12
(1)−2-1= 2−4;


(2)[2021广西北部湾经济区中考]+1=3+3+1.
答案
7.解:(1)方程两边同乘(x+2)(x-2),

D.-4
答案
− 2 1
− 2
=
,化简得
=1,解得a=6.
4
4−3
4
3.A 将x=4代入分式方程,得
)
知识点3 分式方程的解法
2

4. 原创题解分式方程 2−1=1-+1时,去分母后正确的是(
A.2=1-x(x-1)
B.2=x2-1-x(x-1)
C.2=x2-1-x(x+1)
D.2(x+1)=x2-1-x
12.4
分式方程
知识点1 分式方程的概念
1. 在下列各式中,是关于x的分式方程的是 (
A.2x-3y=0
3
5
C.−2=
B.
)
+1
2
-3=
2
7
+1
D.−2+3
答案
1.C 分母中含有未知数的方程叫做分式方程,A,B选项为整式方程,D选项不是等式,也
不是方程.
知识点2 分式方程的解(或根)
得x(x+2)-x2+4=12.
解这个整式方程,得x=4.
经检验,x=4是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘3(x+1),
得3x=x+3(x+1).
解这个整式方程,得x=-3.
经检验,x=-3是原分式方程的解.
知识点3 分式方程的解法

2

2
8. 已知关于x的方程1−-−1=3的根为x=1,求a的值.
4
解得x=+1.
∵分式方程的解为正数,
4
∴+1>0,解得a>-1,
4
≠2,解得a≠1,
+1
又∵x≠2,∴
∴a的取值范围是a>-1且a≠1.
所以x=3是原分式方程的增根,
所以原分式方程无解.
8. 阅读材料:
5
7
嘉淇解分式方程=−2的过程如下:
5
7
解:移项,得-−2=0,
5(−2)−7
通分,得
(−2)
=0,
−2(+5)
=0,
(−2)
整理,得
分子的值取0,得x+5=0,
即x=-5.
经检验,x=-5是原分式方程的解.
(1)嘉淇这种解分式方程的新方法,主要依据是
)
1 1
2. [2021石家庄七中期中]在正数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=+,则方程x*(x+2)
A.x=2
B.x=-2
C.x=3
D.x=-3
答案
1
1
6
2.A 根据题意,得++2= 2 +2,方程两边都乘x(x+2),得x+2+x=6,解得x=2,经检验,x=2是原
3. [2022邢台月考]当a=
2a-3+2-2=-1,解得a=1.
(4)方程两边同乘x-2,得ax-3+x-2=-1,
整理,得(a+1)x=4.
当a+1=0,即a=-1时,整式方程无解,
∴分式方程无解.
4
当a+1≠0时,解得x=+1.
当x=2时,原方程的根为增根,
4
∴+1=2,解得a=1.
综上所述,a的值为-1或1.
(5)方程两边同乘x-2,得ax-3+x-2=-1,
答案
1
3
1
6.-6 依题意,得1-+2=2+4-1,整理得2-+2=
3
.方程两边同乘2(x+2),得4(x+2)-2=3x.去
2(+2)
得4x-3x=2-8,所以x=-6.经检验,x=-6是原分式方程的根.
7. 解分式方程:

1
(1)+2-+1=1;
2+9 4−7
(2)3−9= −3 +2.
(2)x=5
4−3
1
当a=4时,分式方程为 −2 +1=2−,
方程两边同乘x-2,得4x-3+x-2=-1,
4
解这个整式方程,得x=5.
4
经检验,x=5是分式方程的解.
(3)1
方程两边同乘x-2,得ax-3+x-2=-1.
∵分式方程有增根,
∴x-2=0,解得x=2,
把x=2代入ax-3+x-2=-1,得
(1)若x=1是分式方程的解,求a的值;
(2)当a=4时,分式方程的解是
;
(3)若分式方程有增根,则a的值为
;
(4)若分式方程无解,求a的值;
(5)若分式方程的解为正数,求a的取值范围.
答案
−3
1
解:(1)把x=1代入分式方程 −2 +1=2−,
− 3
1
得1−2+1=2−1,解得a=3.
4