【精校】2013年辽宁省大连市中考数学试卷(含答案)

辽宁省大连市2013年中考数学试卷
一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）（2013•大连）﹣2的相反数是（）
A．﹣2 B．﹣C．D．2
解答：解：﹣2的相反数是2．故选D．
2．（3分）（2013•大连）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
解答：解：从上面看易得三个横向排列的正方形．
故选A．
3．（3分）（2013•大连）计算（x2）3的结果是（）
A．x B．3x2C．x5D．x6
解答：解：（x2）3=x6，
故选：D．
4．（3分）（2013•大连）一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（）
A．B．C．D．
解答：解；袋子中球的总数为：2+3=5，
取到黄球的概率为：．
故选：B．
5．（3分）（2013•大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）
A．35°B．70°C．110°D．145°
解答：解：∵射线OC平分∠DOB．
∴∠BOD=2∠BOC，
∵∠COB=35°，
∴∠DOB=70°，
∴∠AOD=180°﹣70°=110°，
故选：C．
6．（3分）（2013•大连）若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4 D．m＞4
解答：解：∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＜0，
∴m＞4．
故选D
7．（3分）（2013•大连）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：
金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
这8名同学捐款的平均金额为（）
A．3.5元B．6元C．6.5元D．7元
解答：解：根据题意得：
（5×2+6×3+7×2+10×1）÷8=6.59（元）；
故选C．
8．（3分）（2013•大连）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）
A．O P1⊥OP2B．O P1=OP2
C．O P1⊥OP2且OP1=OP2D．O P1≠OP2
解答：解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，
=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，
∵∠AOB度数任意，
∴OP1⊥OP2不一定成立．
故选B．
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2013•大连）因式分解：x2+x= x（x+1）．
解答：解：x2+x=x（x+1）．
10．（3分）（2013•大连）在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在第四象限．
解答：解：点（2，﹣4）在第四象限．
故答案为：四．
11．（3分）（2013•大连）把16000 000用科学记数法表示为 1.6×107．
解答：解：将16 000 000用科学记数法表示为：1.6×107．
故答案为：1.6×107．
12．（3分）（2013•大连）某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：移植总数（n）400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数（m）369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为0.9 （精确到0.1）．
解答：解： =（0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902）÷7≈0.9，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故本题答案为：0.9．
13．（3分）（2013•大连）化简：x+1﹣= ．
解答：
解：原式=﹣
=
=．
故答案为：．
14．（3分）（2013•大连）用一个圆心角为90°半径为32cm的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为8 cm．
解答：解：∵=16π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，
∴圆锥的底面周长是16πcm，
设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr=16π，
解得：r=8（cm）．
故答案为：8．
15．（3分）（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）
解答：解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，
则AC=CD≈36.3m；
在Rt△BCD中，∠DBC=45°，
则BC=CD=21m，
故AB=AC﹣BC=15.3m．
故答案为：15.3．
16．（3分）（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+ ．
解答：解：∵令x=0，则y=，
∴点A（0，），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，
∴顶点C的纵坐标为×=，
即=，
解得b1=3，b2=﹣3，
由图可知，﹣＞0，
∴b＜0，
∴b=﹣3，
∴对称轴为直线x=﹣=，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，
解得，
所以，y=x2﹣x+．
故答案为：y=x2﹣x+．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）（2013•大连）计算：（）﹣1+（1+）（1﹣）﹣．
解答：解：原式=5+1﹣3﹣2=3﹣2．
18．（9分）（2013•大连）解不等式组：．
解答：解：解不等式①得：x＞2
解不等式②得：x＞4
在数轴上分别表示①②的解集为：
∴不等式的解集为：x＞4．
19．（9分）（2013•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE=DF．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．
20．（12分）（2013•大连）以下是根据《2012年大连市环境状况公报》中有关海水浴场环境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分（2012年共366天）．
大连市2012年海水浴场环境质量监测结果统计表，监测时段：2012年7月至9月
浴场名称优（%）良（%）差（%）
浴场1 25 75 0
浴场2 30 70 0
浴场3 30 70 0
浴场4 40 60 0
浴场5 50 50 0
浴场6 30 70 0
浴场7 10 90 0
浴场8 10 50 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）2012年7月至9月被监测的8个海水浴场环境质量最好的是浴场5 （填浴场名称），海水浴场环境质量为优的数据的众数为30 %，海水浴场环境质量为良的数据的中位数为70 %；
（2）2012年大连市区空气质量达到优的天数为129 天，占全年（366）天的百分比约为35.2% （精确到0.1%）；
（3）求2012年大连市区空气质量为良的天数（按四舍五入，精确到个位）．
解答：解：（1）2012年7月至9月被监测的8个海水浴场环境质量最好的是浴场5，海水浴场环境质量为优的数据30出现了3次，出现的次数最多，
则海水浴场环境质量为优的数据的众数为30；
把海水浴场环境质量为良的数据从小到大排列为：50，50，60，70，70，70，75，90，
海水浴场环境质量为良的数据的中位数为（70+70）÷2=70；
故答案为：浴场5，30，70；
（2）从条形图中可以看出2012年大连市区空气质量达到优的天数为129天，
所占的百分比是×100%=35.2%；
故答案为：129，35.2%；
（3）污染的天数是：366×3.8%≈14（天），
良的天数是366﹣129﹣14=223（天），
答：2012年大连市区空气质量为良的天数是223天．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2013•大连）某超市购进A、B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1260元，A、B两种糖果的重量比是1：3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元．A、B两种糖果各购进多少千克？
解答：解：设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意得：
﹣=2，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
则B购进的糖果是：30×3=90（千克），
答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克．
22．（9分）（2013•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（m，1）、B（﹣1，n），与x轴相交于点C（2，0），且AC=OC．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式ax+b≥的解集．
解答：解：（1）过A作AD⊥x轴，可得AD=1，
∵C（2，0），即OC=2，
∴OA=OC=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=1，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
∴A（3，1），
将A与C坐标代入一次函数解析式得：，
解得：a=1，b=﹣2，
∴一次函数解析式为y=x﹣2；
将A（3，1）代入反比例解析式得：k=3，
则反比例解析式为y=；
（2）将B（﹣1，n）代入反比例解析式得：n=﹣3，即B（﹣1，﹣3），根据图形得：不等式ax+b≥的解集为﹣1≤x＜0或x≥3．
23．（10分）（2013•大连）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，DC=4，求CG的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵DC是⊙O切线，
∴OC⊥DC，
∵OA⊥DA，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中
∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），
∴DA=DC．
（2）解：连接BF、CE、AC，
由切线长定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC，
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，由勾股定理得：DO=5，
∵由三角形面积公式得：DA•AO=DO•AM，
则AM=，
同理CM=AM=，
AC=．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC==．
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）
∴△BGC∽△EGF，
∴===，
在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=，
在Rt△EMC中，CM=，ME=OE﹣OM=3﹣=，由勾股定理得：CE=，
在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=．
∵CF=CG+GF，=，
∴CG=CF=×=．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2013•大连）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，在射线CA上截取CD=CP，连接PD．设BP=t．
（1）t为何值时，点D恰好与点A重合？
（2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
解答：解：（1）在一次函数解析式y=﹣x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，
∴CD=CP=t．
若点D恰好与点A重合，则BC+CD=AB，即t+t=5，
解得：t=，
∴当t=时，点D恰好与点A重合．
（2）当点P与点O重合时，t=4；
当点C与点A重合时，由BC=BA，即t=5，得t=．
点P在射线BO上运动的过程中：
①当0＜t≤时，如题图所示：
此时S=S△PCD=CP•CD=•t•t=t2；
②当＜t≤4时，如答图1所示，设PC与x轴交于点E．
BD=BC+CD=t+t=t，
过点D作DN⊥y轴于点N，则ND=BD•sin∠ABO=t•=t，BN=BD•cos∠ABO=t•=t．∴PN=BN﹣BP=t﹣t=t，ON=BN﹣OB=t﹣4．
∵ND∥x轴，
∴，即，得：OE=28﹣7t．
∴AE=OA﹣OE=3﹣（28﹣7t）=7t﹣25．
故S=S△PCD﹣S△ADE=CP•CD﹣AE•ON=t2﹣（7t﹣25）（t﹣4）=t2+28t﹣50；
③当4＜t≤时，如答图2所示，设PC与x轴交于点E．
AC=AB﹣BC=5﹣t，
∵tan∠OAB==，∴CE=AC•tan∠OAB=（5﹣t）×=﹣t．
故S=S△ACE=AC•CE=（5﹣t）•（﹣t）=t2﹣t+；
④当t＞时，无重合部分，故S=0．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=．
25．（12分）（2013•大连）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．
（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．
①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．
解答：（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC．
②猜想：DF=2AF．
证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．
由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠B AF．
∵在△DBG与△ABF中，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF．
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF=BF，又BF=AF，
∴GF=AF．
∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF．
（2）解：如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．
由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α．过点B作BN⊥GF于点N，
∵BG=BF，∴点N为GF中点，∠FBN=．
在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin．
∴GF=2NF=2mAFsin
∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin，
∴=1+2msin．
26．（12分）（2013•大连）如图，抛物线y=﹣x2+x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
解答：解：（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4，令y=0，
即﹣x2+x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．
如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F．
∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．
在△AMF与△BME中，
，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．
（2）答：能．
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，
∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）．
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如答图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3，∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，∴，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4．
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣x2+x﹣4，
解得：x=0或x=，
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3．
∴P（，3）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．
（3）答：能．
如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N．
与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．
∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN与△EMB中，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，﹣2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4．
将y=x﹣4代入抛物线解析式得： x﹣4=﹣x2+x﹣4，
解得：x=0或x=，
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣4=．
∴P（，）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）．
考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生
谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易
程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。

有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩
你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。

像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意
每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。

做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。

像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸
有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。

不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。

就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。

只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试
无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。