微积分第八章课后习题答案

微积分第八章课后习题答案
微积分第八章课后习题答案
习题8-1
1.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。

2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。

3.1
22
y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：
21
()(1)2
u x x dx x x C =+=++⎰.
习题8-2
1.（1）原式化为：ln dy
x y y dx =
分离变量得：
11
ln dy dx y y x = 两边积分得：11
ln dy dx y y x
=⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x
=⎰
⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =
所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； （2）原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：
()()22
11y x
dy dx y x -=-- 两边积分得：()()
22
11y x
dy dx y x -=--⎰⎰ 计算得：
()()()
()22
22
1111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=
所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；
（3）21x dy xydx -=-
分离变量得：
211dy y x =-
两边积分得：211dy y x =-⎰
计算得：()22
1ln 121y x x =
--⎰ 即：21ln 1y x C =- 整理：2
1x y Ce
-=所以：原微分方程的通解为：2
1x y Ce -=
（4）
1y e Cx
-=-；
（5）sin 1y C x =-； （6）10
10x
y C
-+=；
（7）2
2ln 22arctan y
y x x C
-=-+；
（8）当sin 02y ≠时，通解为ln |tan |2sin 42y y C =-；当sin 02
y
=时，特解为2(0,1,2,)y k k π==±±； （9）2
22ln x
y x C
+-=；
（10）2
2ln
ln x y C
+=。

2.（1）tan 2
x
y e =；（2）(1)sec 22x
e y +=；（3）2
(1)22
y x
e y +-=；
3.''
'
20y y y -+=。

4.
'''320
y y y -+=。

5.（1）*
01
y
b x b =+；（2）*
201y
b x b x =+；（3）*
0x
y
b e =；（4）
*2012()x y b x b x b e =++；（5）*01cos 2sin 2y b x b x
=+；（6）
*01(cos sin )
y x b x b x =+。

6.（1）321
2
11
23
x
y C C e
x x -=++-；（2）1
2
1
(cos sin )2
x
y C C e
x x =++-；
（3）22
1277117(cos
sin )22224
x y e C x C x x x -
=++--；
（4）
122
cos sin 1x
e y C ax C ax a =++
+；
（5）31
2
113
cos sin ()1050
x
y C x C x x e =++-； （6）31234
()(
cos sin )2525
x
x y e
C C x e x x =++-。

（7）2
1
2
1(cos sin )(1)2
x
y e C x C x x =+++； （8）32
1
2x
y C e
C x
=++；（9）2
1
23
2
x
x x
y C e
C e e -=++；
（10）2221
2
()224x
x
y C C x e
x x e =++++。

7.（1）275522
x
x y e e =-++；（2）(1)x
x x
y e
e x x e -=-+-；
（3）
211
(cos sin )sin 22
x y e x x e x
π=-+；
（4）31
1
(37cos 429sin 4)(5sin 14cos )102
102
x
y x x e x x =-+
+；
（5）11cos sin sin 233y x x x =--+；（6）4115
51616
4
x
y e
x =+-。

习题8-6
1.（1）三阶；（2）六阶。

2.略。

3.（1）2t
t
y
C =；（2）(1)t
t
y
C =-；（3）211
22
t
y
C t t
=+-；（4）
2111
()
623
t y C t t t =+-+；（5）1
(1)23
t t
t
y
C =-+；（6）1
222
t t
t
y
C t =+。

4.（1）23t
y
t
=+；（2）13()2
t
t
y =-；（3）111()442
t t
y
=
+-；（4）
11
(2)224
t t
t y =-+。

5.（1）1234t t
t
y
C C =+；（2）121515(()
22
t t
t
y
C C =+；（3）
12()3t
t y C C t =+；
（4）122(cos
sin
)
22
t t
y C t C t π
π
=+；（5）12(1)4t t
t
y C C =-+；
（6）122(cos
sin
)
3
3
t t
y
C t C t π
π
=+。

6.（1）1
[1(3)]2
t
t
y =-+-；（2）sin
3
23
t t
y t
π
=；（3）(
2)2cos
4
t t
y t
π
=⋅。

习题8-7 略
总复习题八
1.（1）三；（2）''
'
560y y y -+=；（3）2
129
t t t y
y y +++-=。

2.（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）A ；（5）D 。

3.略。

4.（1）2
21(1)
y
C x +=-；（2）(1)(1)x
y
e e C +-=；（3）
ln[(2)]0
2x C y x y x
++=+；（4）2x
y
ye
x C
+=；（5）ln C
y ax x
=+；（6）
22124ln 39
C x x x y x =--或
23222
(ln )33
x C x x y =-+；（7）2333
()2
x y x xy C
+=++；（8）2
22arctan
y
x
y C x
+-=；（9）2
y Cx =；
（10）2
2xy y C
-=。

5.（1）12x
e y
+=或(1)sec 2x
e y +=（2）2
20
x
y x y +--=；
（3）2
2
25
x
y +=；（4）2
(12ln )0
x y y
+-=；（5）
cos 15sin x
e y x
-=
或
cos sin 51
x
y x e
+=；（6）
2(1)
x x x x
e e e y e x x
-==-。

6.()(1)x
y x e x =+。

7.1
(ln ln )y x x e -=+。

8.（1）
3
22112
[()2]
3
x C y C C y C =±-+；（2）12
2
1C y x C C
-=±+；
（3）
5322
12137
3525
x y C C e
x x x -=++-+；（4）
2121
3(1)2x x x
y C e C e x x e ---=++-；（
5
）121
(cos 2sin 2)cos 24
x x y e C x C x xe x
=+-；（6）1
211
cos 2210
x x y C e
C e x
-=+-+；
（7）2(cos3sin 3)
x
y e
A x
B x -=+；（8）2
12x
x x
y C e
C e e -=++。

9.（1）4x
x
y e e -=-；（2）2sin 3x
y e
x
=；（3）2
(73)x y x e -=-；（4）
2arctan x
y e =。

10.
(cos sin )()2
x
x x e x ϕ++=。

11.（1）21
t
y t ∆=+；（2）21
t
y
t ∆=+；（3）12cos ()sin
22
t
a
y
a t ∆=+⋅；
（4）3
4t
y
t ∆=。

12.（1）(2)t
y C =-；（2）21
(3)()2255
t t y C t =-+-+；（3）12
(3)t
y C C =-+；（4）1
2
21
3(2)()32515
t
t
t
y C C t t =+-+-+⋅。

13.（1）1
2(1)3
t t t
y A =⋅+⋅-，15
2(1)33
t t t
y
=⋅+⋅-；
（2）17
4()()22
t t
t
y
A B =+⋅+⋅-，3117
4()()2222
t t
t
y
=+⋅+⋅-。