保险精算培训课件
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Pr( x X x t X x)表示什么？
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
第二节 生命表的构造
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
x
1
x
s(x) 1 x , 0 x
Gompertze模型(1825)
x Bcx
s(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
qx 1qx
t u qx：X岁的人活过t年后在往后u年内去
世的概率即在x＋t岁到x＋t＋u岁之间死 亡的概率。
t u qx Pr t T x t u Pr[T x t u] Pr T x t
q tu x t qx t px tu px
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
3、下列表述错误的是（ ）
A、Pr K x k Pr k T x k 1 , k 0,1, B、Pr K x k q k1 x k qx C、Pr K x k ＝k px k1 px D、Pr K x k ＝k px k qx
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
用X 表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分
布函数F x Pr X x x 0
即0岁的人在x岁之前死亡的概率。x 0
X的概率密度函数记为f x ,则f x F x，x 0
那么Pr X 50 表示什么？
表示x岁的人在50岁以后死亡的概率，即在50岁仍然 生存的概率。
Pr X 50 1 Pr X 50 1 F 50
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例
x ~ x t t qx
A、S( x) 1 F ( x)
B、S( x) 1－F ( x)
C、S( x) F ( x) 1
D、S( x) 1－F ( x)
2、关于剩余寿命T的概率密度函数fT t 表述正确的是( )
A、fT
t
s
s
xt
x
B、fT
t
s x t sx
C、fT
t
s
s
xt
x
D、fT t t px x
两边积分，
x
0 ydy
x 0
ln
s
y
dy
ln s y
x 0
x 0
y
dy,
ln
s
x
x
0 ydy
x
s x e0 ydy
xt
从而，t px
s
x s
t x
0
y dy
e e x
xt
x
y dy
e 0 ydy
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
x
f x x s x x e0 sds
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
x A Bcx
s(x) exp{Ax B(cx 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0 Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检 的新成员的健康状况会优于很早以前接受体 检的老成员。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随 时间而逐渐消失
选择-终极生命表的使用
选择-终极表实例
Βιβλιοθήκη Baidu
[x]
选择表
终极表
q[ x] q[ x1] q q [ x2] [ x3] q[ x4] qx5 x 5
78 .0357 .0508 .0641 .0796 .0973 .1121 83
1.给出生存函数s x ex2 2500 ,求：（1）人在50岁至
60岁之间死亡的概率；（2）50岁的人在60岁以前死 亡的概率；（3）人能活到70岁的概率；（4）50岁 的人能活到70岁的概率。
1 Pr(50 X 60)
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
第二节 生命表的构造
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
x
1
x
s(x) 1 x , 0 x
Gompertze模型(1825)
x Bcx
s(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
qx 1qx
t u qx：X岁的人活过t年后在往后u年内去
世的概率即在x＋t岁到x＋t＋u岁之间死 亡的概率。
t u qx Pr t T x t u Pr[T x t u] Pr T x t
q tu x t qx t px tu px
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
3、下列表述错误的是（ ）
A、Pr K x k Pr k T x k 1 , k 0,1, B、Pr K x k q k1 x k qx C、Pr K x k ＝k px k1 px D、Pr K x k ＝k px k qx
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
用X 表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分
布函数F x Pr X x x 0
即0岁的人在x岁之前死亡的概率。x 0
X的概率密度函数记为f x ,则f x F x，x 0
那么Pr X 50 表示什么？
表示x岁的人在50岁以后死亡的概率，即在50岁仍然 生存的概率。
Pr X 50 1 Pr X 50 1 F 50
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例
x ~ x t t qx
A、S( x) 1 F ( x)
B、S( x) 1－F ( x)
C、S( x) F ( x) 1
D、S( x) 1－F ( x)
2、关于剩余寿命T的概率密度函数fT t 表述正确的是( )
A、fT
t
s
s
xt
x
B、fT
t
s x t sx
C、fT
t
s
s
xt
x
D、fT t t px x
两边积分，
x
0 ydy
x 0
ln
s
y
dy
ln s y
x 0
x 0
y
dy,
ln
s
x
x
0 ydy
x
s x e0 ydy
xt
从而，t px
s
x s
t x
0
y dy
e e x
xt
x
y dy
e 0 ydy
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
x
f x x s x x e0 sds
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
x A Bcx
s(x) exp{Ax B(cx 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0 Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检 的新成员的健康状况会优于很早以前接受体 检的老成员。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随 时间而逐渐消失
选择-终极生命表的使用
选择-终极表实例
Βιβλιοθήκη Baidu
[x]
选择表
终极表
q[ x] q[ x1] q q [ x2] [ x3] q[ x4] qx5 x 5
78 .0357 .0508 .0641 .0796 .0973 .1121 83
1.给出生存函数s x ex2 2500 ,求：（1）人在50岁至
60岁之间死亡的概率；（2）50岁的人在60岁以前死 亡的概率；（3）人能活到70岁的概率；（4）50岁 的人能活到70岁的概率。
1 Pr(50 X 60)
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差