保险精算培训课件
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《保险精算学》课件
总结词
准备金的管理策略包括静态管理、动态管理以及风险管理等 。
详细描述
静态管理是指基于历史数据和当前市场环境确定准备金的数 额；动态管理则是根据市场变化和公司经营状况调整准备金 的数额；风险管理则强调通过建立风险管理体系来降低准备 金的风险。
05
保险风险管理与控制
风险识别与分类
风险识别
识别潜在的风险因素，分析风险发生 的可能性和影响程度。
识，为保险行业的决策提供了更加全面和精确的依据。
02
保险精算的基本原理
概率论基础
随机变量
表示随机事件的数 值结果。
期望值
随机变量的平均值 。
概率
描述随机事件发生 的可能性。
概率分布
描述随机变量取值 的概率规律。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的指标。
统计推断
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法。
保险人用于赔付损失的资金。
附加保费确定
附加保费包括经营费用、预期利 润等，是保险人在纯保费基础上
额外收取的费用。
保险费率分类
保险费率可分为单一费率和分类 费率，单一费率适用于相同风险 的多个被保险人，分类费率则根 据被保险人的不同风险等级收取
不同费率。
附加费用的确定
01
02
03
初始费用
初始费用是保险合同签订 时收取的一次性费用，用 于覆盖保险公司的初期成 本。
再保险业务精算案例
比例再保险精算案例
以某保险公司的比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失 情况，确定再保险的比例和保费。
VS
非比例再保险精算案例
以某保险公司的非比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失情 况，确定再保险的限额和保费。
保险学课件-保险精算
第十二章 保險精算
第一節 保險精算概述 第二節 非壽險精算 第三節 壽險精算
1
本章教學目的
讓學生在瞭解保險精算的產生與發展、基本 任務和基本原理的基礎上，掌握非壽險精算中保 險費率的厘定方法、“大數”的測定、財務穩定 性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險 精算中生命表，躉繳純保險費、年金保險純保險 費、年度純保費和毛保險費的計算，以及理論責 任準備金和實際責任準備金的計算。
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1
• 這一法則的結論運用可以說明，在承保標的數量足夠大時，
被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相
等。
• 這個結論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。
10
第一節 保險精算概述
（二）貝努利(Bernoulli)大數法則
• 設 Mn 是n次貝努利實驗中事件A發生的次數，而p是事件A 在每次實驗中出現的概率，則對於任意的ε>0，都有：
a np(1 p) p(1 p)
K
anq
qn
23
第二節 非壽險精算
• 假定保險公司承保有兩類業務，第一類業務承保n1 個單位， 每個單位的保險金額為 元a1，純費率為 ，q1 第二類業務承
保則：個n2單位，每個單位的保險金額為元 ，a2 純費率為q2 。
̶ 第一類業務上的出險次數標準差為： 1 n1q1(1 q1)
6
第一節 保險精算概述
二、保險精算的基本任務
• 保險精算最初的定義是“通過對火災、盜竊以及人的死亡 等損失事故發生的概率進行估算以確定保險公司應該收取 多少保費。”
• 在壽險精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險成本的兩 個基本問題。 –由於利率一般是由國家控制的，所以在相當長的時期 裏利率並不是保險精算所關注的主要問題. –死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工 作，現在也仍然是精算研究的課題。
第一節 保險精算概述 第二節 非壽險精算 第三節 壽險精算
1
本章教學目的
讓學生在瞭解保險精算的產生與發展、基本 任務和基本原理的基礎上，掌握非壽險精算中保 險費率的厘定方法、“大數”的測定、財務穩定 性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險 精算中生命表，躉繳純保險費、年金保險純保險 費、年度純保費和毛保險費的計算，以及理論責 任準備金和實際責任準備金的計算。
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1
• 這一法則的結論運用可以說明，在承保標的數量足夠大時，
被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相
等。
• 這個結論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。
10
第一節 保險精算概述
（二）貝努利(Bernoulli)大數法則
• 設 Mn 是n次貝努利實驗中事件A發生的次數，而p是事件A 在每次實驗中出現的概率，則對於任意的ε>0，都有：
a np(1 p) p(1 p)
K
anq
qn
23
第二節 非壽險精算
• 假定保險公司承保有兩類業務，第一類業務承保n1 個單位， 每個單位的保險金額為 元a1，純費率為 ，q1 第二類業務承
保則：個n2單位，每個單位的保險金額為元 ，a2 純費率為q2 。
̶ 第一類業務上的出險次數標準差為： 1 n1q1(1 q1)
6
第一節 保險精算概述
二、保險精算的基本任務
• 保險精算最初的定義是“通過對火災、盜竊以及人的死亡 等損失事故發生的概率進行估算以確定保險公司應該收取 多少保費。”
• 在壽險精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險成本的兩 個基本問題。 –由於利率一般是由國家控制的，所以在相當長的時期 裏利率並不是保險精算所關注的主要問題. –死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工 作，現在也仍然是精算研究的課題。
保险精算培训课件
保险精算培训课件1. 简介保险精算是指借助统计学方法和数学模型来评估和管理风险的一门学科。
它是保险行业中非常重要的一个领域，通过精确的风险评估和合理的定价策略，可以帮助保险公司更好地管理风险、优化产品设计以及提高盈利能力。
本课程将介绍保险精算的基本概念、方法和应用，帮助学员全面了解保险精算的核心知识和技能。
2. 保险精算基础知识2.1 保险精算的概念和发展历程 - 保险精算的定义 - 保险精算的起源和发展历程 - 保险精算的作用和意义2.2 保险精算的基本原理 - 风险评估和定价原理 - 分类及核算方法 -保险精算的数据分析方法2.3 保险精算的基础模型 - 保费决策模型 - 赔付率模型 - 盈余风险模型3. 保险精算方法和技术3.1 保费测算方法 - 标准保费计算方法 - 风险调整计算方法 - 保费报价策略3.2 风险评估方法 - 赔款预测方法 - 风险度量方法 - 风险分析方法3.3 盈余管理方法 - 盈余分配方法 - 盈余再投资方案 - 盈余调整策略4. 保险精算在实际应用中的案例分析4.1 车险精算实践 - 车险精算的基本原理和方法 - 车险精算实际案例分析4.2 健康险精算实践 - 健康险精算的基本原理和方法 - 健康险精算实际案例分析4.3 寿险精算实践 - 寿险精算的基本原理和方法 - 寿险精算实际案例分析5. 保险精算的发展趋势5.1 数字化技术对保险精算的影响 - 人工智能在保险精算中的应用 -大数据分析在保险精算中的应用5.2 风险管理对保险精算的要求 - 保险精算在风险管理中的地位 - 风险管理对保险精算师的要求5.3 保险精算的未来发展方向 - 保险精算在产品创新中的作用 - 保险精算师的职业发展前景6. 结语保险精算作为保险行业中的重要一环，对保险公司和保险消费者都具有重要意义。
通过本课程的学习，学员将能够掌握保险精算的基本理论和方法，提升自身的保险精算能力，为保险行业的发展做出贡献。
保险精算培训课件
明确培训目标
培训目标与内容设计
培训形式与安排
采用线上+线下的形式，利用多媒体教学资源，实现互动式、案例式、讨论式教学。
培训形式
根据学员实际情况，制定详细的培训时间表和课程安排，确保学员有足够的时间学习和消化所学知识。
培训安排
通过考试、作业、课堂表现等多种方式对学员的学习成果进行评估，了解学员掌握保险精算的程度。
损失分布
索赔频率与索赔强度
预测模型
损失分布与索赔预测的运用
掌握索赔频率和索赔强度的概念及其计算方法，用于评估财产保险的风险。
掌握预测模型的基本原理和方法，如回归分析、时间序列分析等，用于预测索赔行为。
运用损失分布和索赔预测进行保险产品的定价和准备金评估。
保费定价与资金运用
研究保险产品的定价原理和方法，为保险精算提供保费计算工具。
详细描述
保险风险控制与防范
总结词
保险风险监测与报告是保险精算师在风险管理中的重要职责之一，是指对已经实施的风险管理措施进行监测和评估，及时发现和处理潜在的风险。
详细描述
监测是指对已经实施的风险管理措施进行持续的监督和检查，及时发现和处理潜在的风险。报告则是将监测结果和分析结论向保险公司管理层和相关部门进行汇报，以便及时采取相应的措施。在这一过程中，保险精算师需要运用精算技术和风险管理知识，制定科学合理的监测指标和报告制度，以确保风险管理工作的有效性和科学性。
保险精算定义
保险精算具有强烈的数据分析和数理统计特征，需要掌握概率论、统计学、风险理论等相关知识，同时还需要了解保险业务和财务管理的相关知识。
保险精算特点
保险精算的定义与特点
保险精算的角色
保险精算师是保险公司的重要专业人才，负责产品设计、费率厘定、理赔处理等关键环节的数据分析和决策支持。
培训目标与内容设计
培训形式与安排
采用线上+线下的形式，利用多媒体教学资源，实现互动式、案例式、讨论式教学。
培训形式
根据学员实际情况，制定详细的培训时间表和课程安排，确保学员有足够的时间学习和消化所学知识。
培训安排
通过考试、作业、课堂表现等多种方式对学员的学习成果进行评估，了解学员掌握保险精算的程度。
损失分布
索赔频率与索赔强度
预测模型
损失分布与索赔预测的运用
掌握索赔频率和索赔强度的概念及其计算方法，用于评估财产保险的风险。
掌握预测模型的基本原理和方法，如回归分析、时间序列分析等，用于预测索赔行为。
运用损失分布和索赔预测进行保险产品的定价和准备金评估。
保费定价与资金运用
研究保险产品的定价原理和方法，为保险精算提供保费计算工具。
详细描述
保险风险控制与防范
总结词
保险风险监测与报告是保险精算师在风险管理中的重要职责之一，是指对已经实施的风险管理措施进行监测和评估，及时发现和处理潜在的风险。
详细描述
监测是指对已经实施的风险管理措施进行持续的监督和检查，及时发现和处理潜在的风险。报告则是将监测结果和分析结论向保险公司管理层和相关部门进行汇报，以便及时采取相应的措施。在这一过程中，保险精算师需要运用精算技术和风险管理知识，制定科学合理的监测指标和报告制度，以确保风险管理工作的有效性和科学性。
保险精算定义
保险精算具有强烈的数据分析和数理统计特征，需要掌握概率论、统计学、风险理论等相关知识，同时还需要了解保险业务和财务管理的相关知识。
保险精算特点
保险精算的定义与特点
保险精算的角色
保险精算师是保险公司的重要专业人才，负责产品设计、费率厘定、理赔处理等关键环节的数据分析和决策支持。
《保险精算简介》课件
生命表
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
保险精算学课件
5
5500
5520
( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
d
2
A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
i
d
1 i
v
v 1 d 1 i） （
1
1
名义利率
名义利率
i
(m )
(m ) i 1 m
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( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
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A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
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v 1 d 1 i） （
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名义利率
名义利率
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保险精算精选PPT演示文稿
偿付能力测试等重要工作。
•1
❖ 由于精算师是一项非常专门的职业，一般需要经过资格考试来认定从业资格。国际 上著名的精算学会有：北美精算学会、英国精算学会、日本精算学会和澳大利亚精 算学会，不同的精算师学会具有不同的资格认证和考试课程和制度。其中在国际上 最具代表性和权威性，规模最大、拥有最多会员精算师的组织是美国的北美精算师 协会（Society of Actuaries，简称SOA），享有极高的声誉。目前拥有正式会员 和准会员约16，500名。作为一个国际性的精算教育和研究机构，SOA的主要任务 是提供人寿保险、健康保险、员工福利和养老金领域的精算教育计划，以后续教育 的方式提高精算师的咨询和解决涉及不确定事件的金融、保险、财务及社会问题的 能力。
•4
我国的精算师考试
❖ 准精算师考试基础课程
课程编号 课程名称
学分
001
数学基础Ⅰ
30
002
数学基础Ⅱ
30
003
复利数学
20
004
寿险精算数学
50
005
风险理论
20
006
生命表基础
30
007
寿险精算实务
30
008
非寿险精算数学与实务 30
009
综合经济基础
30
❖ 每门报名200元
考试时间 3 3 2 4 2 3 3 3 3
备注 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考
•5
❖ 精算师考试高级课程
课程编号 课程名称
学分
011
财务
30
012
保险法规
30
013
资产/负债管理
30
014
社会保险
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
精算知识培训与交流ppt课件
2004 122,670,223
25.03.2022
25
部分分公司车险业务的 事故年制赔付率（三）
累计已决赔款发展表
单位：人民币元
年底
发展年度＝赔付年度－事故年度
截止2004年
事故年度 0
1
2
3 满期保费
2001 5,191,724 9,511,852 10,524,000 10,680,460 21,115,916
部分分公司车险业务的 事故年制赔付率（二）
已决赔款发展表 年底
单截位止：2人0民04币年元
发展年度＝赔付年度－事故年度
事故年度 0
1
2
3
2001 5,191,724 4,320,128 1,012,148 156,460
2002 16,983,123 18,761,768 4,794,751
2003 66,754,914 67,021,832
在2004年底用½ 法计算：278,355,695元 其中：车险业务的未到期责任准备金：222,382,806
元
在2004年底用1/365法计算：352,057,209元（不含水险） 其中：车险业务的未到期责任准备金：250,181,761
元
25.03.2022
2004年车险业务各季度保费分别为 0.89、0.968、1.06、1.52亿元。
6,593,663 916,611 256,831
2003
11,789,801 2,697,915
2004
22,418,225
25.03.2022
28
部分分公司车险业务的 事故年制赔付率（六）
已报未决赔款准备金发展情况 单位：人民
币元
保险精算原理.课件
2023
PART 06
保险精算的前沿问题与发 展趋势
REPORTING
人工智能在保险精算中的应用
1
人工智能技术为保险精算提供了更高效、准确的 模型和算法，用于风险评估、定价和赔付处理等 环节。
2
通过机器学习和深度学习技术，保险公司能够更 快速地处理大量数据，提高风险识别和预测的准 确性。
3
人工智能在保险精算中的应用还包括自动化核保、 智能客服和反欺诈等方面，有助于提升客户体验 和降低运营成本。
保险精算的实务应用
REPORTING
人寿保险精算实务
Байду номын сангаас
人寿保险精算概述
人寿保险精算是一门应用数 学和统计学的学科，用于评 估和预测人寿保险业务的风 险。
人寿保险产品类型
包括定期寿险、终身寿险、 两全保险和年金保险等，每 种产品类型都有其特定的精 算假设和评估方法。
死亡率分析
精算师通过对死亡率的分析， 预测未来死亡率的变化趋势， 为保险产品的定价和准备金 的提取提供依据。
保险精算师
具备保险精算知识和技能的专业人士， 负责制定保险产品的费率、准备金、 赔付金额等关键参数。
保险精算的重要性
风险评估与控制
保险精算通过对风险进行定量评 估，帮助保险公司制定合理的保 费和赔付策略，降低经营风险。
产品定价
保险精算师根据风险评估结果， 制定合理的保险产品价格，确保 公司盈利和客户满意度。
区块链技术为保险精算提供了去中心化、可追溯和不可篡改的数据存储和处理方式。
通过区块链技术，保险公司能够降低信息不对称和欺诈风险，提高赔付处理的透明 度和效率。
区块链技术在保险精算中的应用还包括智能合约、数字货币和跨境保险等方面，有 助于创新业务模式和拓展市场空间。
保险精算电子课件
教学主要内容：
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
《保险精算简介》课件
3 保险精算师的职业发展
从技术型到商业型，从保险公司到咨询公司，精算师的职业前景广阔。
结语
1 点评
2 建议
保险精算是保险行业中不可或缺的重要组 成部分。
对于对保险精算感兴趣的人士，可以考虑 深入学习该领域的知识和技能。
3 感悟
4 展望
保险精算的应用广泛，对于保险行业的发 展具有重要意义。
随着保险行业的进一步发展，保险精算的 应用将会更加广泛和深入。
3 保险精算的发展
保险精算随着保险行业 的发展逐渐成为一个独 立的职业，并在全球范 围内得到广泛应用。
保险精算的基本概念
1 保险精算基本概念
包括风险评估、保费定价、赔款准备金、保险公司利润分析等。
2 精算师职责职能
精算师负责进行风险模型建模、数据分析、预测和决策支持。
3 典型精算案例
如人寿保险、汽车保险、健康保险等保险类型的精算分析。
保险精算的应用
保险公司
产品开发、保费定价、赔款 准备金、内部审核等方面。
银行、信托公司
风险管理、投资组合优化、 资本管理等方面。Fra bibliotek政府部门
保险监管、保险政策制定等 方面。
保险精算的未来
1 保险精算的未来展望
随着技术的发展和数据的爆炸，保险精算将更加重要和复杂。
2 保险精算的发展趋势
大数据分析、人工智能、区块链等技术的应用将改变保险精算行业。
《保险精算简介》PPT课 件
保险精算是以数据为基础的保险风险评估和决策支持方法，它是金融和统计 的交叉学科。
什么是保险精算?
1 保险精算定义
保险精算是利用数学、 统计学、经济学等方法 对保险风险进行量化和 评估的过程。
保险精算培训课件
总结词
保险风险的评估与控制是保险精算的又一重要任务，通过对风险的识别、评估和 控制，降低保险产品的风险水平。
详细描述
保险风险的评估与控制需要利用统计方法和精算模型，对风险发生概率、损失程 度、风险分散效果等进行定量分析，同时需要制定相应的风险管理制度和内部控 制措施。
保险合同的签订与执行
总结词
保险合同的签订与执行是保险精算的日常工作之一，需要确保合同的合法合规、公平公正以及双方的权益得到 有效保障。
它结合了数学、统计学和金融学的理论和方法，通过对风险 进行分析、评估和管理，为保险公司提供决策支持。
保险精算的作用
保险精算可以帮助保险公司制 定合理的保险费率，提高公司 的盈利能力。
它通过对风险的评估和预测， 可以帮助公司合理配置资源， 提高公司的抗风险能力。
保险精算还可以为保险公司提 供投资和风险管理方面的建议 ，帮助公司实现资产的最佳配 置。
详细描述
保险合同的签订需要明确双方的权利和义务，约定保费、赔付标准、保障范围等条款。在合同执行过程中，需 要对被保险人的风险情况进行监测和管理，及时调整保费或提供风险预警。
保险理赔的核算与处理
总结词
保险理赔的核算与处理是保险精算的最后环节，需要确保理赔过程合法合规、公正透明并及时准确地 进行赔付。
车险理赔数据的精算分析
案例二
某寿险产品的精算设计和定价
案例四
健康险产品创新与精算风险管理
保险精算实践操作指南
01
指南一
Excel在保险精算中的应用技巧
指南三
如何利用R软件进行寿险和健康 险的精算评估
03
02
指南二
如何使用统计软件进行精算数据 分析
指南四
如何使用Python进行保险产品 的自动化精算和风险评估
保险风险的评估与控制是保险精算的又一重要任务，通过对风险的识别、评估和 控制，降低保险产品的风险水平。
详细描述
保险风险的评估与控制需要利用统计方法和精算模型，对风险发生概率、损失程 度、风险分散效果等进行定量分析，同时需要制定相应的风险管理制度和内部控 制措施。
保险合同的签订与执行
总结词
保险合同的签订与执行是保险精算的日常工作之一，需要确保合同的合法合规、公平公正以及双方的权益得到 有效保障。
它结合了数学、统计学和金融学的理论和方法，通过对风险 进行分析、评估和管理，为保险公司提供决策支持。
保险精算的作用
保险精算可以帮助保险公司制 定合理的保险费率，提高公司 的盈利能力。
它通过对风险的评估和预测， 可以帮助公司合理配置资源， 提高公司的抗风险能力。
保险精算还可以为保险公司提 供投资和风险管理方面的建议 ，帮助公司实现资产的最佳配 置。
详细描述
保险合同的签订需要明确双方的权利和义务，约定保费、赔付标准、保障范围等条款。在合同执行过程中，需 要对被保险人的风险情况进行监测和管理，及时调整保费或提供风险预警。
保险理赔的核算与处理
总结词
保险理赔的核算与处理是保险精算的最后环节，需要确保理赔过程合法合规、公正透明并及时准确地 进行赔付。
车险理赔数据的精算分析
案例二
某寿险产品的精算设计和定价
案例四
健康险产品创新与精算风险管理
保险精算实践操作指南
01
指南一
Excel在保险精算中的应用技巧
指南三
如何利用R软件进行寿险和健康 险的精算评估
03
02
指南二
如何使用统计软件进行精算数据 分析
指南四
如何使用Python进行保险产品 的自动化精算和风险评估
《保险精算》课件
财务建模
使用财务模型和风险评估方法，制定资本管理 和投资决策。
保险精算的挑战与机遇
1 社会变革
2 技术创新
不断变化的人口结构和 社会经济环境给精算工 作带来新的挑战和机遇。
人工智能、区块链和大 数据等技术的发展，为 精算师提供了更强大的 工具。
3 全球化竞争
保险市场的全球化竞争 使得精算师需要具备更 广泛的知识和跨文化交 流能力。
风险管理
利用模型得出的结论，制定风险管理策略， 并评估其效果和影响。
模型构建
基于数据分析结果，构建数学和统计模型， 量化风险和预测未来的损失。
储备金计算
根据风险评估和产品特性，计算相应的储备 金以确用领域
1
人寿险
评估被保险人的寿命风险，并确定适当的保费和储备金。
保险精算的重要性
1 风险管理
通过精确测算风险，帮助保险公司制定有效的保险政策和风险管理策略。
2 产品定价
运用精算模型确保保险产品的定价准确合理，平衡保险公司的盈利和客户的保费。
3 财务规划
为保险公司提供财务规划和战略决策支持，以实现可持续的利润增长。
保险精算的基本原理
数据分析
收集、整理和分析大量的数据，揭示潜在的 风险和保险需求。
《保险精算》课件
欢迎来到《保险精算》课件！在这个课程中，我们将探讨保险精算的定义、 重要性、基本原理、应用领域、核心技术，以及面临的挑战与机遇，还会展 望保险精算的未来发展方向。
保险精算的定义
保险精算是一门将数学、统计学和金融学应用于保险业务的学科。它包括风 险评估、保险产品定价和储备金计算等方面，以保障保险公司的可持续发展。
2
财产险
估算自然灾害和事故等风险的概率和损失大小，制定保险策略。
寿险精算概述课件
保险专业本科生课程
寿险精算第一课
寿险精算概述
一.精算的概念
➢精算的定义：一般地说法是，利用数学、经 济学、统计学、寿险、非寿险、人口学、养 老基金、投资等理论，对金融、投资等行业 中的风险问题提出数量化意见，使未来价值 的可能性数量化。
➢精算工作主要是由精算师承担的。
一.精算的概念
➢精算师的作用：“在给金融投资等问题提供 专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释 不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作 用并提高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
➢ 利息理论虽然是保险精算专业的基础，但它所提供的方 法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险 精算领域，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价 值。
➢ 利息理论的内容主要包括： 利息的度量方法 基本的复利函数，例如年金现值 等。
利息理论在投资分析和财务管理等领域的广泛应用， 还包括投资收益分析、债务偿还方法、证券价值分析、 利率风险的度量和防范。
寿险公司可以根据产品的不同、地域的不同、受保人群 的不同、公司核保技术的不同或者市场策略的需要，采 用不同的生命表。
生命表举例 生命表的思想和方法可以用于许多领域
五. 保费厘定 ➢ 寿险定价的三要素：利率、死亡率、费用率。 ➢ 毛保费 ＝ 净保费 ＋ 费用 ➢ 保单中净保费的计算可从下面的净保费价值方程中
七. 利润测算
公司预期年末净现金流量总额，也就是每年收入与 支出之间的差额。考虑到保除之后的预期净现金 流量。
➢ 每年年初我们将建立的准备金作为资产，将在该年获得 利息，这利息将作为利润收入计入现金流量。
➢ 在来年年底通过考虑当时的有效保单的保单价值，在该 年年底建立新的准备金。这就意味着每年年底的准备金 将有所变化。这种变化将产生新的现金流量。如果来年 所需的准备金数额增加了，那么该项现金流量显然为负 值，否则就为正值。
寿险精算第一课
寿险精算概述
一.精算的概念
➢精算的定义：一般地说法是，利用数学、经 济学、统计学、寿险、非寿险、人口学、养 老基金、投资等理论，对金融、投资等行业 中的风险问题提出数量化意见，使未来价值 的可能性数量化。
➢精算工作主要是由精算师承担的。
一.精算的概念
➢精算师的作用：“在给金融投资等问题提供 专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释 不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作 用并提高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
➢ 利息理论虽然是保险精算专业的基础，但它所提供的方 法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险 精算领域，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价 值。
➢ 利息理论的内容主要包括： 利息的度量方法 基本的复利函数，例如年金现值 等。
利息理论在投资分析和财务管理等领域的广泛应用， 还包括投资收益分析、债务偿还方法、证券价值分析、 利率风险的度量和防范。
寿险公司可以根据产品的不同、地域的不同、受保人群 的不同、公司核保技术的不同或者市场策略的需要，采 用不同的生命表。
生命表举例 生命表的思想和方法可以用于许多领域
五. 保费厘定 ➢ 寿险定价的三要素：利率、死亡率、费用率。 ➢ 毛保费 ＝ 净保费 ＋ 费用 ➢ 保单中净保费的计算可从下面的净保费价值方程中
七. 利润测算
公司预期年末净现金流量总额，也就是每年收入与 支出之间的差额。考虑到保除之后的预期净现金 流量。
➢ 每年年初我们将建立的准备金作为资产，将在该年获得 利息，这利息将作为利润收入计入现金流量。
➢ 在来年年底通过考虑当时的有效保单的保单价值，在该 年年底建立新的准备金。这就意味着每年年底的准备金 将有所变化。这种变化将产生新的现金流量。如果来年 所需的准备金数额增加了，那么该项现金流量显然为负 值，否则就为正值。
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与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
Pr( x X x t X x)表示什么？
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
Pr( x X x t X x)表示什么？
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例