梯形讲义

一【知识要点】
（一）梯形的有关概念
1. 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形 （2）有且只有一组对边平行。

2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。

3. 梯形的分类梯形⎪
⎩⎪
⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （二）梯形的性质
1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒180
2. 直角梯形具有的特征：在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180
3. 等腰梯形具有的性质：（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4. 等腰梯形的判定：（1）利用定义（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形
二【基础能力过关训练】
1.在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD=5cm ，DE∥BC 交AB 于E ，则△ADE 的周长为＿＿
2．在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50o
，∠C=80o
，AD=10cm ，BC=18cm ，则CD=＿＿＿＿. 3.在梯形ABCD 中，BC AD //，65=∠B °，︒=∠75C ，则D ∠＝________，A ∠＝________；
4.等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是________；
5.以线段16=a 、13=b 为梯形的两底，以10=c 为一腰，则另一腰长d 的范围是________；
6.直角梯形的斜腰长为12cm ，这条腰和一底所成的角为30°，则另一腰是________；
7.等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是_________，两腰延长线的交点在_________上；
8.等腰梯形的腰与上底相等且等于下底的一半，则该梯形对角线与下底的夹角为________；
9.直角梯形的两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为________；
10.直角梯形的一腰与底边夹角为60°，此腰与上底的长都是8cm ，则梯形的周长是________． 11.一直角梯形的一条腰长为12cm ，这条腰和一底所成的角是30°，则另一腰是______. 12.如图，ABCD 是等腰梯形，对角线AC 、BD 相交于O
，则图中全
等的三角形有______.
13.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB,∠B=90°，AB=20，AD=16，CD=12，则AC=______.
14.如图，梯形ABCD 中，BC AD //，AB DE //，△DEC 的周长为10cm ，cm 5=BE ，则梯形ABCD 的周长为________；
15.如图，梯形ABCD 中，CD AB //，90=∠ACB °，且AC 平分
BAD ∠，120=∠D °，CD ＝3cm ，则梯形的周长为________cm ；
三【例题解析】
【例1】(1)如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

(2)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

(3)如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

注：平移（1）平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

（2）平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

（3）平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

B
【练1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________
【练2】如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

【例2】(1)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

(2)如图，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.
(3)如图，在梯形中，，，、为、的中点。

注：延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

D
注：作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

【例4】（1）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。

（2）如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。

注：作梯形的高（1）作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

（2）作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

【例5】（1）如图9，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。

（2）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)AD BC (2
1
EF -=。

（3）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900
，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。

C
注：作中位线：（1）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

（2）已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

（3）在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

四【反馈练习】
1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .
2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为
3. 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为
4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相
垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.
5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.
6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.
7. 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＋DC ＝8，求AB 的长.
8. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，
则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE
与CE 有何位置关系？
A B
C
D
A B C D E
A B C
D A B C D A B
C D E
A B
C
D A B C D E
B
C
A D
E
9.已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA
的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．
10．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．
11．如图6，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．
12．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于
点O ，∠COD =60°，若CD =3，AB =8，求梯形ABCD 的高．
13．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，10CD BC ==21AB =，
9AD =．求AC 的长．
B
C
D O
A。