弹塑性力学-11 柱体扭转

第
十
一
柱体自由扭转
章
Free Torsion of Column
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
4. 应力边界条件
n j ij pi
5. 位移边界条件
ui ui 应用弹性力学
无体力时
zx
G
x
y
zy
G
y
x
x yx zx 0
x y z
xy y zy 0
x y z
xz yz z 0
x y z
2
x 2
2
y 2
0
或 2 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
y n cos(n, z) 0
侧面边界 自由表面 M
l
Mz
l l
x xy
m yx m y
n n
zx zy
X Y
x
l
y z
xy
0
l xz m yz n z
Z
zx
G
x
y
zy
G
y
x
l xz m yz 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
侧面边界 l xz m yz 0 s
l cos(n, x) m cos(n, y)
11.2 位移法方程
1. 几何方程与应变分量
u zy v zx w (x, y)
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy yz
u y v z
v x w y
zx
w x
u z
x y z xy 0
zx
x
y
zy
y
x
11.2 位移法方程
2. 本构方程与应力分量
11.1 简化假设
●圆形截面柱
y
假设
刚性转动 无翘曲 y
P(r,, z)
M
l
z
M z z截面
x
l
圆柱体位移场 ur 0 u zr w 0
单位杆长两截面的相对转角
11.1 简化假设
y
y
P(r,, z)
M
l
z
M z z截面
x
l
圆柱体位移场 ur 0 u zr w 0 u zy v zx w 0
11.1 简化假设
●任意截面柱 假设
刚性转动 等翘曲
u zy 柱体位移场 v zx
翘曲函数
w (x, y)
11.1 简化假设
柱体扭转属于空间问题，其解答自然应当 满足空间问题的所有控制方程和边界条件
基于所述的附加假设，可以 推导出一般方程的简化形式
柱体自由扭转
11.1 简化假设 11.2 位移法方程 11.3 应力法方程 11.4 典型例解 11.5 薄膜比拟
x 2G x xy G xy y 2G y yz G yz z 2G z zx G zx
x y z xy 0
zx
x
y
zy
y
x
x y z xy 0
zx
G
x
y
zy
G
y
x
11.2 位移法方程
3. 平衡方程 x y z xy 0
y
zx
y
,
zy
Байду номын сангаас
x
表明应力函数与坐标无关
11.3 应力法方程
2. 协调方程
2
2
x 2
2
y 2
C
Poisson方程
zx
y
,
zy
x
zx
G
x
y
zy
G
y
x
G y,
y x
x
G
y
x
11.3 应力法方程
2. 协调方程
对y求导
2
2
x 2
2
y 2
C
C 2G
对x求导
G y,
y x
x
G
y
x
2
2
x 2
2
y 2
2G
，
11.3 应力法方程
3. 边界条件
侧面边界 l xz
m yz
0
zx
,
y
zy
x
l m 0
y x
yn
s
dy
dx
x
dy dx d 0
y ds x ds ds
l dy m dx
ds
ds
，
11.3 应力法方程
3. 边界条件
侧面边界
yn
s
dy
dx
x
dy dx d 0
y ds x ds ds
zx
y
,
zy
x
S C1
0 S
11.3 应力法方程
3. 边界条件 现在证明
y y2
端面边界
A
zxdA
0,
A
zy
dA
0
x1
x x2 x
0 S
A( zy x zx y)dA M
y1
A
yn dy
dx
x
zx
G
x
y
zy
G
y
x
l
x
y
m
y
x
0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
端面边界
A
zxdA
0,
A
zy
dA
0,
A zdA 0
A z xdA 0,
A
z
yd A
0
A ( zy x zx y)dA M
y
x
zy y
zx
x
满足侧面边界 条件时，该条 件自动满足
zx
dA
dxdy A y
x2 x1
y2 y1
y
dy
dx
x2 y2 dx 0 x1 y1
11.3 应力法方程
3. 边界条件
A( zy x zx y)dA M
端面边界
zx
y
,
zy
x
A( zy x zx y)dA
A
x
x
y
y
dxdy
M
11.3 应力法方程
3. 边界条件
端面边界
y2 y
2
方程简单边 界条件复杂
侧面边界
l
x
y
m
y
x
0
端面边界
G
A x2
y2
x
y
y
x
dxdy
M
柱体自由扭转
11.1 简化假设 11.2 位移法方程 11.3 应力法方程 11.4 典型例解 11.5 薄膜比拟
11.3 应力法方程
1. 平衡方程 x y z xy 0
x
x
yx
A
zxdA
0,
A
zy
dA
0
A ( zy x zx y)dA M
11.2 位移法方程
4. 边界条件
端面边界
A( zy x zx y)dA M
y
x
zy y
zx
x
zx
G
x
y
zy
G
y
x
G
A x2
y2
x
y
y
x
dxdy
M
11.2 位移法方程
5. 位移法方程
0 基本方程
x1
x2
y
y
zx
z
0
xy
x
y
y
zy
z
0
xz
x
yz
y
z
z
0
引入应力函数
自动满足
xz yz 0
x y
zx
y
,
zy
x
11.3 应力法方程
2. 协调方程 x y z xy 0
2 ij
1
1
,ij
0
2 zx 0 2 zy 0
(2) 0
x
(2) 0
引入附加假设，推导求解方程
应用弹性力学
引入附加假设，推导求解方程
●柱体扭转 ●薄板弯曲 ●壳体理论
特殊的空间问题！
柱体自由扭转
柱体只在端部受到扭矩的作用 扭矩矢量与柱体轴线方向重合
y
M
Mz
l
柱体自由扭转
11.1 简化假设 11.2 位移法方程 11.3 应力法方程 11.4 典型例解 11.5 薄膜比拟