辽宁省鞍山市第二十四中学高三数学理联考试题含解析

辽宁省鞍山市第二十四中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知a=，b=log2，c=log，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
参考答案：
C
考点：对数的运算性质．
专题：计算题；综合题．
分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
2. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（）A． B．4 C. 3 D．
参考答案：
A
3. 设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.
则下列集合中以为聚点的有：；②；③；④
（）
A．①④B．②③C．①②D．①②④
参考答案：
A
略
4. 执行如上图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是
( )
A．(42，56] B．(56，72] C．(72，90] D．(42，90)
参考答案：
B
第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：
，第七次循环：第八次循环：
，此时,不满足跳出循环，此时，则判断框内的取值范围是(56，72]，选B.
5. 关于x的不等式ax-b>0的解集为(1, +∞)，则关于x的不等式的解集（）
A．(-1, 2) B．(-∞, -1)∪(2, +∞)C．(1, 2) D．(-∞, -2)∪(1, +∞)
参考答案：
B
略
6. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．
【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，
∵△MNF2为等腰直角三角形，
∴=2c，即a2﹣c2=2ac，
由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．
解得e=﹣1+．
故选C．
7. 已知向量向量若则实数等于（）
A. B. C. D. 0ks5u 参考答案：
C
略
8. 在中，，点为边上一点，且，
则（）
(A)3 (B)2 (C) (D)
参考答案：
D
因为，
∴，∴选D.（另：本小题也可以建立坐标系去计算）9. 已知i为虚数单位，复数，，若复数z是纯虚数，则（）
A．1 B．C．2 D．4
参考答案：
C
，
若复数是纯虚数，则，所以.
所以，则.
故选C.
10. 设二次函数的值域为，则的最大值为
参考答案：
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4
分,共28分
11. 已知抛物线C：的焦点为F ，准线为l，抛物线
C 有一点P ，过点P 作，
垂足为M ，若等边的面积为，则p = ．
参考答案：
2
设准线l 和x 轴交于N点，PM 平行于x 轴，由抛物线的定义得到|NF|=p,故
|MF|=2p,故
故答案为：2.
12. 已知的三边分别是、、，且面积，则角
= ____
参考答案：
的面积，由得，所以
，又，所以，即，13. 若变量、满足约束条件则的最大值为
参考答案：
14. 函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：
(1) 在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为
y=的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是▲ (只需填符合题意的函数序号)
①；②；
③；④。

参考答案：
①③④
①若，则由题意知，即，解得时，满足条件。

②若，则由题意知，即，即是方程的两个根，由图象可知方程无解时，所以不满足条件。

③若，则由题意知，即，所以只要即可，所以满足条件。

④若，因为，则由题意知当时，，函数递增，当时，，函数递减。

当时由得，由，解得或，所以当时，满足条件，即区间为。

所以存在“和谐区间”的是①③④。

15. 设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
参考答案：
略
16. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A． B． C．
D．
参考答案：
B
做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最小。

由
,解得，即，代入得，所以最大值为3，选B.
17. 在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的
最大值为．参考答案：
4
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由a﹣2csinA=0及正弦定理，可得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），可得C=．利用余弦定理可得：，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），
∴，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=．
∵c=2，C=，
由余弦定理，，
即a2+b2﹣ab=4，
∴（a+b）2=4+3ab，
化为（a+b）2≤16，
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，
故a+b的最大值是4．
故答案为：4．
点评：本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分13分）已知椭圆的方程为,其中.
（Ⅰ）求椭圆形状最圆时的方程；
（Ⅱ）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.
参考答案：
（Ⅰ）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.
，当且仅当时取等号.
由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为
.
…………5分
（Ⅱ）设交点，过交点的直线与椭圆相切.
(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为. …………6分
(2)当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，
与椭圆方程联立消，得：.
由相切，，
化简整理得. ①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，
故，整理得：.
又也满足上式，
故点的轨迹方程为，即点在定圆上. ………13分
19. 已知函数. （Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集包含[0,1]，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）时，或或，
或或，
解集为.
（Ⅱ）由已知在上恒成立，
∵，，
∴在上恒成立，
∵的图象在上递减，在上递增，
∴，
∴的取值范围是.
20. 已知函数
（1）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令，是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

参考答案：
解：（1）因为函数f(x)在[1，2]上是减函数，所以：
在[1，2]上恒成立
令，有得得-----------------5分
（2）假设存在实数a，使有最小值3,
①当时，，所以
在（0，e]上单调递减，（舍去）
②当时，在（0，e]上恒成立
所以在（0，e]上单调递减，（舍去）
③当时，令所以在上递减
在上递增
满足条件综上，存在使时有最小值3--------------13分
略
21. 在平面直角坐标系中，点，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹有且仅有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点.
参考答案：
（1）解：因为
即
由椭圆定义可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆
所以，
所以椭圆的方程为. （2）证明：由，
消去得
如图，设点，依题意，
∵直线与轨迹有且仅有一个公共点
∴由，
可得.
此时，，即，，
∴，
由，解得
∴
由
可得，
∴
∴
∴以为直径的圆过定点.
22. 如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：FD∥平面AHC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到
DF∥CH．再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，三棱锥F﹣ADC的高AH=．然后由V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F﹣ADC求得多面体ABCDEF的体积．
【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD．
∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH．
∵DF?平面AHC，HC?平面AHC，
∴FD∥平面AHC；
（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，
∴可求三棱锥F﹣ADC的高AH=2．
∴V ABCDEF=V C﹣ABEF+V F﹣ADC==．。