对数的运算及对数函数

§2.2.1 对数与对数运算（一）
¤知识要点：
1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在
科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N
3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.
4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）71
2128
-=
； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12
log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.
【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）
第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）
※基础达标
1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 0
1ln10e ==与 B. 1()3
81118
log 223
-==-与 C. 12
3log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.
A. 10
B. 0.01
C. 100
D. 1000
4．设13
log 82
x
=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 1
4
5．已知432log [log (log )]0x =，那么1
2
x -等于（ ）.
A.
1
3 B. C. D. 6．若21
log 3
x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .
7．计算：
= ； 6
l g 0.1
= . ※能力提高
8．求下列各式的值：（1）
8； （2）9log
9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.
※探究创新
10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.
（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.
第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）
¤知识要点：
1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log a
a a M
M N N
=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.
2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =
. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1
log log a b b a
=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a n
N N m
=
，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：
【例2】若2510a b ==，则11
a b
+= .
【例4】（1）化简：
532111
log 7log 7log 7
++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.
第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）
※基础达标 1
．
）. A. 1
B. －1
C. 2
D. －2 2
．2
5log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.
A. －a
B. a 2
C. ｜a ｜
D. a
3
．化简3log 1的结果是（ ）. A.
1
2
B. 1
C. 2
4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 12
5．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.
A .1 B.
3
2
C. 2
D.3 6．计算2(lg5)lg2lg50+⋅＝ .
7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .
第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）
¤知识要点：
1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.
2. 由2log y x =与12
log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1
x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.
¤例题精讲：
【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3
.
【例2】求下列函数的定义域：（1
）y （2
）y
【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.
第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）
※基础达标
1．下列各式错误的是（ ）.
A. 0.80.733>
B. 0.10.10.750.75-<
C. 0..50..5log 0.4log 0.6>
D. lg1.6lg1.4>.
2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.
A
C
3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）
A.log (0,1)a x
y a a a =>≠ B. y =2
x x
C. log (0,1)x a y a a a =>≠
D. y
4．函数y ）.
A. (1,)+∞
B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (1,2]
5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.
A. 1 m n >>
B. 1n m >>
C. 01n m <<<
D. 01m n <<<
6．函数y = . （用区间表示）
7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高
8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =
++； （2）y
9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.
第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）
¤知识要点：
1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.
2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.
3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.
¤例题精讲：
【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.
【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<
第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）
※基础达标 1．函数1lg
1x
y x
+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称
D. 直线y ＝x 对称
2．函数2
12
log (617)y x x =-+的值域是（ ）.
A. R
B. [8,)+∞
C. (,3]-∞-
D. [3,)+∞
3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =（ ）.
A.
B. 2
C.
D. 4
4．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a
的值为43，310，15
，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.
A.
43，15，310
B. 43，310，15
C. 15，310，43
D. 43
，310，1
5
5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12
log (1)y x =+
B. 2
log y = C. 2
1log y x
= D.
20.2log (4)y x =-
6．
函数())f x x =是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高
8．已知6
()log ,(0,1)a f x a a x b
=>≠-，讨论()f x 的单调性.
0 x C 1
C 2
C 4
C 3 1
y
第18讲 §2.3 幂函数
¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的
变化情况.
知识要点：
1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，
2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；
在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.
¤例题精讲：
【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13
α=， 所以13
y x =，在R 上单调递增.
【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且
2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．
解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴
{
60
20
m m -<-<，解得26m <<.
又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<
C ．10,1n m -<<>
D ．1,1n m <->
解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.
点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.
【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已
. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（3）若通过技术创新，至少保留24
a
m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？
解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则
10
1
(1)2
a x a -=，即11011()2x -=，解得1
1011()0.0670 6.702x =-≈=%.
（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则(1)n
a x -=
，即110211()()22n =，解得n =5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.
（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 5
1
(1)
4
m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.
点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数.
第
※基础达标
1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点 A. 16 B. 2 C. 116 2．下列函数在区间(0,3) A. 1y x
= B. 1
2y x = C. y 3．设120.7a =，12
0.8b =，c 3log 0.7= A. c <b <a B. c <a <b C. a <b 4．如图的曲线是幂函数n y x =4c 相应的n 依次为（ ）.
A ．112,,,222-- B. 12,,2- C. 11,2,2,22-- D. 12,2--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1) A.12y x = B. 4y x = C. y =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2
7．比较下列各组数的大小： 32
(2)a + 32
a ； 22
3
(5)a -
+ 23
5
-
； 0.50.4 0.40.5.
※能力提高
8．幂函数2
7323
5
()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.
9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.
（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
※探究创新
10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.
① 23
y x =； ② 2
y x -=；③ 12
y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13
y x =；⑥ 43
y x =；⑦ 12
y x -=；⑧ 53
y x =. 第19讲 第二章 基本初等函
数（Ⅰ） 复习
¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.
¤例题精讲：
【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≤
. 证明：
12
1212122
()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=
-0==≥. ∴ 1212()()
()22
x x f x f x f ++≤
. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1
bx
f x b a ax =≠>+.
（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211
(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.
解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1
bx
f x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.
（2）由1
(1)12
b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.
由{
21043
a b a b -+=-=得a =1，b =1.
【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e a
f x a e
=+是R 上的偶函数.
（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．
解：（1）∵ ()x x e a
f x a e
=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.
∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a
---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a -=⇒--=.
e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1
a
－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．
（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，
12121212
12111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-1212
1
()(1)x x x x e e e e =-- ∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12
x x e e ＞1，121212
()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，
∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数x
y a =与x a y a x =
+的复合，可以进一步变式探讨x a
y a x
=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.
（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；
（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *
54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.
（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%.
由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8，
解得1001) 1.1x ≤⨯≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.
点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.
第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习
※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.
A. ∅
B. {}|03x x <<
C. {}|13x x <<
D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）. A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>
3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<
4．（06
年广东卷）函数2
()lg(31)f x x =
++的定义域是（ ）. A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33
- D. 1
(,)3-∞-
5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1
(())2g g = .
7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取1
1,1,,2
2
-四个值，则相应图象依次为 .
※能力提高
8．已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.
9．已知函数y =24log log 42
x x
(2≤x ≤4).
（1）求输入x =23
4时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.
※探究创新
10．设121()log 1ax
f x x -=-为奇函数，a 为常数.
（1）求a 的值； （2
）证明(
)f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；
1 () 2x m
恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式()
f x>。