数学3.2.1空间向量与平行关系课件步步高(人教A版选修2-1)

3.2.1 本 讲 栏 目 开 关
3.2.1
3.2.1 空间向量与平行关系
本 [读一读学习要求、目标更明确]
讲
栏 目
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
开 关
2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．
[看一看学法指导、学习更灵活]
用向量解决几何问题，可以建立直线、平面与向量的联系，
然后利用向量的平行关系、垂直关系来确定立体几何中线面的
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3.2.1
例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别
是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
本 讲
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
栏 证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，
目
开 则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 关 E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
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3.2.1
例 1 已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个
法向量．
解 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)．
本 讲
由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
栏 目 开 关
∵n⊥A→B且 n⊥B→C，∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y0＝，0，
讲 栏
问题 3
怎样求一个平面的法向量？
目 答案 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角
开 关
坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)， b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
则 a 叫做平面 α 的法向量，过定点 A，以 a 为法向量的平
面是完全确定的．
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3.2.1
问题 2 平面的法向量是否唯一？若不唯一，它们之间是什么
关系？
答案 不唯一．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与
平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它
本 们是共线向量．
目
线面
开
内找一个向量与已知直线的方向向量是共
关
平行
线向量即可；③证明一条直线 l 与一个平面
α 平行，只需证明 l 的方向向量能用平面 α
内两个不共线向量线性表示
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3.2.1
①转化为相应地线线平行或线
本 讲
面面
面平行；
栏 目
平行
②求出平面 α，β 的法向量 u，
开 关
v，证明 u∥v，即可说明 α∥β
设直线 l、m 的方向向量分别为 a，b，平面 α、β 的法向量
本 讲
分别为 μ，v，则
栏
目 开
线线平行
l∥m⇔ a∥b
关
线面平行
l∥α⇔ a⊥u ⇔ a·u＝0
面面平行
α∥β⇔ μ∥v ⇔u＝kv (k∈R)
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3.2.1
问题 1 如何用向量来表示空间任一点、空间任一直线、空间
平行关系．
填一填·知识要点、记下疑难点
3.2.1
1．直线的方向向量和平面的法向量
本
讲
栏 目
直线的方
开 关
向向量
能平移到直线上的 非零 向量，叫做直线的一个 方向向量
平面的法 向量
直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 n，叫做平面 α 的法向量
填一填·知识要点、记关系的向量表示
本
讲 栏 目
任一平面的位置？ 答案 (1)点 P 的位置向量：取一定点 O 作为基点，向量O→P
开 关
称为点 P 的位置向量，点 P 的位置可由向量O→P表示； (2)直线 l 的方向向量：在直线 l 上取A→B＝a，向量 a 称为直
线 l 的方向向量；点 A 和向量 a 可以确定直线 l 的位置； (3)平面 α 的法向量：作直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，
令 x＝1，得 y＝z＝1.
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
小结 求平面的法向量直接使用待定系数法即可．其中平 面内的两个不共线向量可以任找，平面的法向量不唯一．
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3.2.1
跟踪训练 1 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，
所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，
A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
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3.2.1
线线平行
设直线 l1、l2 的方向向量分别 是 a、b，则要证明 l1∥l2，只 需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R)
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3.2.1
①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向
本
量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，
讲
栏
即 a·u＝0；②根据线面平行判定定理在平面
－2，0)，试求平面 α 的一个法向量．
本
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
讲 栏 目
∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)，
开 关
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)．
依题意，应有 n·A→B＝0，n·A→C＝0.
即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝00 ，解得xz＝＝02y .令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
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3.2.1
问题探究二 用空间向量证明平行问题 问题 1 利用空间向量判定线面平行的基本思想是什么？
答案 直线可由其方向向量确定位置，平面可由其法向 本 量确定位置，因此判定直线和平面的关系问题可转化为
讲
栏 判断直线的方向向量和平面的法向量之间的关系．
目
开 问题 2 怎样利用向量证明空间中的平行关系？ 关 答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系.
n·a＝0， n·b＝0.
即aa12xx＋ ＋bb12yy＋ ＋cc12zz＝ ＝00， .
④解方程组，取其中的一个解，即得其中的一个法向量．
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3.2.1
本
讲 问题 4 平面的法向量有什么作用？
栏
目 答案 利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与
开
关 平面的关系．