2018届高考数学二轮复习 第五部分 短平快增分练 专题一 增分练 5.1.10 小题提速练(十)

小题提速练(十)
(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z 为复数，且2z ＋z ＝6－4i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.设z ＝x ＋y i ，则有3x ＋y i ＝6－4i ，x ＝2，y ＝－4，故z 在复平面内对应的点是(2，－4)，该点位于第四象限，选D.
2．设集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2
－5x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{2,3} C ．{1,2,3}
D ．{2,3,4}
解析：选A.依题意得A ＝{－1,1,2}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜5}＝{1,2,3,4}，故A ∩B ＝{1,2}，选A.
3．cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝( ) A.32
B.12 C ．－12
D ．－
32
解析：选D.cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°＝cos(80°＋130°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－
3
2
，选D. 4．已知向量a ＝(1，3)，|b |＝1，且向量a 与b 的夹角为60°，则(a －b )·b ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．2
D ．－2
解析：选A.(a －b )·b ＝|a ||b |cos 60°－b 2
＝0，选A.
5．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0x ＋y ≤1
x ＋2y ≥1
，则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选 D.如图，画出不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直
线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(1,0)时，
相
应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z 取得最大值2，选D.
6．如图所示，墙上挂有一块边长为π的正方形木板，上面画有正弦函数y ＝sin x 半个周期的图象．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都相同，则他击中阴影部分的概率是( )
A.12
B.14
C.2π
2 D.12π
解析：选C.阴影部分的面积为⎠⎛0π
sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪
π
0＝2，因此所求的概率为2π2，选C.
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n 的值为( )
A ．12
B ．24
C ．48
D ．96
解析：选B.当n ＝6时，S ＝
33
2
＜3.10；当n ＝12时，S ＝3＜3.10；当n ＝24时，S ＝3.105 6＞3.10，故输出的n 的值为24，选B .
8．设a ＝log 23，b ＝log 46，c ＝log 89，则下列关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞a
D ．a ＞c ＞b
解析：选A.依题意得b ＝log 26log 24＝log 2612，c ＝log 29log 28＝log 2913，因为3＞612＝(63)16＞(92)16
＝91
3，
所以a ＞b ＞c ，选A.
9．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若点F 1关于渐近线的
对称点位于以点F 2为圆心、|OF 2|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )
A. 2 B ．2 C. 3
D ．3
解析：选B.如图，记点F 1关于渐近线的对称点为M ，连接F 1M ，
MF 2，OM ，则有|OF 2|＝|F 2M |＝c ＝|OM |，F 1M ⊥MF 2，△OMF 2为正三角
形，∠MF 2F 1＝60°，一条渐近线的倾斜角为60°，于是有b
a
＝tan 60°
＝3，故双曲线C 的离心率为
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝2，选B .
10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.20π
3
B ．8π
C ．9π
D.19π
3
解析：选D.可将该几何体放入长方体中，如图，该几何体是三棱
锥A ­BCD ，设球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD 和△ABD 的外心，BD 的中点为E ，易知球心O 在平面BCD 、平面ABD 上的射影分别为O 1，O 2，四边形OO 1EO 2是矩形，OO 1＝O 2E ＝13×32AB ＝36AB ＝33，O 1D ＝1
2CD ＝
52
，所以球的半径R ＝OO 2
1＋O 1D 2
＝
1912，所以该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2
＝19π3
，选D. 11．已知函数f (x )＝sin (ωx ＋2φ)－2sin φcos (ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )在⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2上
单调递减，则ω的取值范围是( )
A ．(0,2]
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54 解析：通解：选C.f (x )＝sin(ωx ＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)＝cos φsin(ωx ＋φ)－sin φcos(ωx ＋φ)＝sin ωx ，
π2＋2k π≤ωx ≤3π 2＋2k π，k ∈Z ⇒π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω
＋2k πω，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2ω＋2k πω，3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，所以π2ω＋2k πω≤
π＜3π2≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，由π2ω＋2k πω≤π，可得12＋2k ≤ω，k ∈Z ，由3π2≤3π2ω＋2k πω，k
∈Z ，可得ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，所以12＋2k ≤ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，又T 2≥3π2－π＝π2，所以2π
ω≥π，
因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k ＝0时，1
2
≤ω≤1.故选C.
优解：f (x )＝sin(ωx ＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)＝cos φsin(ωx ＋φ)－sin
φcos(ωx ＋φ)＝sin ωx ，当ω＝1时，f (x )＝sin x ，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，3π2上单调递减，所
以在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减，满足题意，排除B ；当ω＝54时，f (x )＝sin 54x ，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，6π5上单调递减，在⎣⎢
⎡⎦⎥⎤6π5，2π上单调递增，所以在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π，3π2上既有增区间，又有减区间，不符合题
意，排除A ，D.故选C.
12．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，∀x ∈(0，＋∞)，f (f (x )－ln x )＝e ＋1(其中e 为自然对数的底数)，且方程f (x )－kx ＝0有两个不同的实根，则k 的取值范围是( )
A ．(0，e)
B ．(0，e e －1
) C ．[1，e)
D ．[1，e
e －1
)
解析：选B.设f (x )－ln x ＝t (t ＞0且t 为常数)，则f (t )＝e ＋1，f (x )＝t ＋ln x ，f (t )＝
t ＋ln t ＝e ＋1，t ＝e ，f (x )＝e ＋ln x ．过原点向曲线f (x )作切线，设切点是(x 0，y 0)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
y 0＝e ＋ln x 0y 0－0x 0－0＝1
x 0
＝f x 0
，由此解得x 0＝e
1－e
.因此，满足题意的k 的取值范围是(0，e
e －1
)，选
B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)
13．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊5名成员同时抢四个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，四个红包中有一个1元、一个2元、两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，
则甲、乙两人都抢到红包的不同情况共有________种．
解析：第一步，确定除甲、乙两人都抢到红包之外，另外抢到红包的人选，共有C 2
3种情况；第二步，确定哪两人抢到两个3元红包，共有C 2
4种情况；第三步，确定余下两人哪个抢到1元红包、哪个抢到2元红包，共有A 2
2种情况．由分步乘法计数原理得知，甲、乙两人都抢到红包的不同情况共有C 2
3·C 2
4·A 2
2＝36种．
答案：36
14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0且a 1＝1，若S n ＋1＋S n ＝1
a n ＋1
，则a 25＝________.
解析：依题意得(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＝1，
S 2n ＋1－S 2n ＝1，
故数列{S 2n }是以S 21＝1为首项、1为公差的等差数列，S 2
n ＝1＋n －1＝n .又S n ＞0，因此S n ＝n ，a 25＝S 25－S 24＝25－24＝5－2 6.
答案：5－2 6
15．如图，要测量河对岸C ，D 两点间的距离，在河边一侧选定两点A ，B ，测出A ，B 两点间的距离为203，∠DAB ＝75°，∠CAB ＝30°，AB ⊥BC ，∠ABD ＝60°.则C ，D 两点之间的距离为________．
解析：在
Rt△ABC
中，AC ＝AB
cos 30°
＝40.在△ABD 中，
AD
sin 60°
＝
AB
sin[180°－
＋，得AD ＝
203sin 60°sin 45°
＝30 2.在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2
－
2AC ·AD ·cos 45°＝1 000，CD ＝1010，故C ，D 两点之间的距离为1010.
答案：1010
16．已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝2(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．
解析：设直线AB
的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2＜0.由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋m
y 2
＝x 得y
2
－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m .又OA →·OB →＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，即m 2
－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m ＜0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14×|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2y 1≥298|y 1|×|2y 1|＝3，当且仅当98|y 1|＝|2y 1|，即|y 1|＝4
3
时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.
答案：3。