河北省衡水中学2015届高三上学期第十九周周测数学

河北省衡水中学2015届高三上学期第十九周周测数学
附加：已知函数f(x)=a x+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e 是自然对数的底数.
(1)试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求 a 的取值范围.
附加.解:(1)f′(x)=a x lna+2x-lna=2x+(a x-1)lna,由于a>1,故当x∈(0,+∞)时, lna>0,a x-1>0,所以f′(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.……… (3分) (2)f(x)=e x+x2-x-4,∴f′(x)=e x+2x-1,∴f′(0)=0,当x>0时,e x>1,
∴f′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数;同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.
f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e 2
-2>0,当x>2,f(x)>0,
故当x>0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,∴k=1满足条件; f(0)=-3<0,f(-1)=e
1 -2<0,f(-2)=21e +2>0,当x<-2,f(x)>0, 故当x<0时,函数f(x)的零点在(-2,-1)内,∴k=-2满足条件. 综上所述,k=1或-2.…………………………………… (8分)
(3)f(x)=a x +x 2-xlna-b,因为存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f(x 1)-f(x 2)|≥e-1
所以当x ∈[-1,1]时,|f(x)max-f(x)min|=f(x)max-f(x)min ≥e-1,
f ′(x)=a x lna+2x-lna=2x+(a x -1)lna
①当x>0时,由a>1,可知a x -1>0,lna>0,∴f ′(x)>0;
②当x<0时,由a>1,可知a x -1<0,lna>0,∴f ′(x)<0;
③当x=0时,f ′(x)=0.
∴f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,
∴当x ∈[-1,1]时,f(x)min=f(0)=1-b,f(x)max=max{f(-1),f(1)}, 而f(1)-f(-1)=(a+1-lna-b)-（
a 1+1+lna-
b ） =a-a
1-2lna, 设g(t)=t-t
1-2lnt(t>0),因为g ′(t)=1+21t -t 2≥0(当t=1时取等号) ∴g(t)=t-t
1-2lnt 在t ∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0, ∴当t>1时,g(t)>0,∴当a>1时a-a 1-2lna,,∴f(1)>f(-1), ∴f(1)-f(0)≥e-1,∴a-lna ≥e-1,即a-lna ≥e-lne,
设h(a)=a-lna(a>1),则h ′(a)=1-a
1>0. ∴函数h(a)=a-lna(a>1)在(1,+∞)上为增函数,∴a ≥e.
即a 的取值范围是[e,+∞)…………………………… (12分)。