2021年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷(理科)-含答案与解析

2021年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知cosθ﹣sinθ＝，则θ的终边在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．复数z满足：，下面各式正确的是（）
A．|z|＝B．＝﹣C．z2＝﹣D．z•＝1
3．下面说法错误的是（）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大
4．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）单位（dB）与声音强度x（单位W/m2）满足d（x）＝，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）
A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB
5．抛物线y＝4x2的焦点到双曲线x2﹣y2＝1渐近线的距离是（）
A．B．C．D．
6．S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a3＝3，a7+a9＝10，则S9＝（）A．9 B．16 C．20 D．27
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．180 B．200 C．220 D．240
8．三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为（）
A．B．1
C．D．与D点位置有关
9．已知把函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移后得到的图象关于（，0）对称，f（x）在（，）上具有单调性，则ω的最大值为（）
A．8 B．16 C．32 D．36
10．将面积为4的矩形ABCD沿对角线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为θ（0＜θ＜π），则三棱锥A﹣BCD外接球的体积的最小值为（）
A．B．
C．D．与θ的大小有关
11．已知P是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点，B是椭圆C的上顶点，|PB|≤2b总成立，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：|2，4|表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A﹣B＝|x|x∈A且x∉B|，A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．若A＝{2，3，4，5}，B
＝{3，5，6}，则A*B表示的6位字符串是（）
A．101010 B．011001 C．010101 D．000111
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上
13．S n是等比数列{a n}的前n项和，若S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），则a＝．
14．某校高一有6个班级争夺校篮球赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A，B是其中两个班级，若A，B不都得奖，则不同的发奖方式共有种．
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝吨．
16．函数f（x）＝的递增区间为；若a∈[﹣，0]，则函数g（x）＝（x﹣2）e x﹣a（x+2）零点的取值范围是．
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在①△ABC的面积为，②b+c＝2，③＝3这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，若问题中的三角形存在，求b、c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin A+cos A＝2，a＝2，_____？
18．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面ABCD是矩形．PD⊥面ABCD，PD＝AB＝2BC＝4，E、F是棱PC、PB上的点，＝3，＝2．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）棱PA上是否存在点M，使CM⊥面BDE？若存在，求出的值；不存在，请说明
理由．
20．（12分）已知抛物线C1：y2＝x，圆C2：（x﹣4）2+y2＝1．
（Ⅰ）求圆心C2到抛物线C1准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1•k2＝﹣，求点P的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx+b的图象在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程为3x﹣y﹣3e＝0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，＞n（n∈N*）恒成立，求n的最大值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：
．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；
（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知，f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥4；
（Ⅱ）设f（x）最小值为m，a+2b+3c＝m，求a2+b2+c2的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知cosθ﹣sinθ＝，则θ的终边在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】可将已知不等式平方，由二倍角公式和同角公式，化简即可得到2θ的范围，通过讨论k为奇数和偶数，是否满足条件，即可判断．
【解答】解：由cosθ﹣sinθ＝，平方得：sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝，则1﹣sin2θ＝，即sin2θ＝﹣＜0，
则2kπ+π＜2θ＜2kπ+2π，
即有kπ+＜θ＜kπ+π，k∈Z，
当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ＞0，cosθ＜0，不成立，
当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ＜0，cosθ＞0，成立．
∴角θ的终边在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查二倍角公式和同角的平方关系的运用，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
2．复数z满足：，下面各式正确的是（）A．|z|＝B．＝﹣C．z2＝﹣D．z•＝1
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵，
∴z＝＝＝＝
，
∴，，
＝，．
故ABC错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
3．下面说法错误的是（）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大
【分析】直接利用离散型随机变量的分布，频率分布直方图，线性相关的应用，分层抽样中的个体与抽取的可能性的关系判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的不会同时发生，故A正确；
对于B：利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值，故B正确；
对于C：两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；
对于D：在分层抽样的过程中，哪一层的样本即使越多，该层中个体被抽取的可能性是相同的，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：离散型随机变量的分布，频率分布直方图，线性相关的应用，分层抽样中的个体与抽取的可能性的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
4．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）单位（dB）与声音强度x（单位W/m2）满足d（x）＝，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，
在有50人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）
A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB
【分析】利用题中的条件，计算出两人小声交谈时声音的强度，进而可计算出老师的声音等级．
【解答】解：由题意可知54＝9lg，
∴两人交谈时的声强x＝1×10﹣7，
∴老师的声强为1×10﹣6，
所以老师的声音等级为9lg＝63，
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
5．抛物线y＝4x2的焦点到双曲线x2﹣y2＝1渐近线的距离是（）
A．B．C．D．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：抛物线y＝4x2的焦点（0，），
双曲线x2﹣y2＝1渐近线：x±y＝0，
抛物线y＝4x2的焦点到双曲线x2﹣y2＝1渐近线的距离是：＝，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，是基础题．
6．S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a3＝3，a7+a9＝10，则S9＝（）A．9 B．16 C．20 D．27
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝，d＝，由此能求出S9．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a3＝3，a7+a9＝10，
∴，
解得a1＝，d＝，
∴S9＝9×+＝27．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．180 B．200 C．220 D．240
【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S表面积＝2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10＝240．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
8．三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为（）
A．B．1
C．D．与D点位置有关
【分析】先证明AB⊥面PEC，得到AB⊥PC，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可．
【解答】解：如图所示，
取AB的中点E，连接PE，CE，
∵△PAB，△ABC为等边三角形，
∴PE⊥AB，CE⊥AB，∵PE∩CE＝E，
∴AB⊥面PEC，∵PC⊂面PEC，∴AB⊥PC，
在△APC中，AP＝AC＝2，PC＝1，
由余弦定理得cos∠APC＝＝＝，
∴•＝（+）•＝•+•＝•＝2×1×＝．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算和数量积，空间中直线与平面的垂直，属于中档题．
9．已知把函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移后得到的图象关于（，0）对称，f（x）在（，）上具有单调性，则ω的最大值为（）
A．8 B．16 C．32 D．36
【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及图象的对称性，求得ω的最大值．
【解答】解：把函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移后，
得到y＝sin（ωx+）的图象关于（，0）对称，
∴+＝kπ，即ω＝4k，k∈Z．
∵f（x）在（，）上具有单调性，ωx∈（，），
即ωx∈（kπ，），
∴kπ＜ωx＜≤kπ+，∴k≤，故k的最大值为4，
则ω的最大值为4×4＝16，
故选：B．
【点评】本题主要考查正函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，弦函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题．
10．将面积为4的矩形ABCD沿对角线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为θ（0＜θ＜π），则三棱锥A﹣BCD外接球的体积的最小值为（）
A．B．
C．D．与θ的大小有关
【分析】设矩形ABCD边长为a，b，可得ab＝4，矩形ABCD的对角线相互平方且相等，折叠后，球心在对角线交点上，且球的半径时对角线的一半，利用基本不等式即可求解三棱锥A﹣BCD外接球的半径最小值，即可得体积的最小值．
【解答】解：设矩形ABCD边长为a，b，可得ab＝4，矩形ABCD的对角线相互平方且相等，
BD折叠后，球心在对角线交点上，且球的半径是对角线的一半，即R＝，
那么4R2＝a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号），
∴，
∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积V＝≥．
故选：A．
【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，利用基本不等式求解球的半径是解题的关键，是中档题．
11．已知P是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点，B是椭圆C的上顶点，|PB|≤
2b总成立，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】题目转化为以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多有一个交点，利用韦达定理，转化求解离心率的范围即可．
【解答】解：P是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点，B是椭圆C的上顶点，
|PB|≤2b总成立，
就是以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多有一个交点，
可得，消去x可得，（a2﹣b2）y2+2b3y+3b4﹣a2b2＝0，
所以△＝4b6﹣4b2（a2﹣b2）（3b2﹣a2）＝0，
化简整理可得（a2﹣2b2）2＝0，可得a＝b，
e＝＝＝，
所以e∈（0，]．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：|2，4|表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A﹣B＝|x|x∈A且x∉B|，A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．若A＝{2，3，4，5}，B ＝{3，5，6}，则A*B表示的6位字符串是（）
A．101010 B．011001 C．010101 D．000111
【分析】读懂新定义是关键．
【解答】解：∵A﹣B＝|x|x∈A且x∉B|，A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，
∴A﹣B＝{2，4}，B﹣A＝{6}，
∴A*B＝（A﹣B）∪（B﹣A）＝{2，4，6}，
∴A*B表示的字符为010101
故选：C．
【点评】本题考查了交集、并集的知识点，是简单题．
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上13．S n是等比数列{a n}的前n项和，若S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），则a＝﹣3 ．【分析】由S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），分别求出a1＝S1＝a+1，a2＝S2﹣S1＝2a，a3＝S3﹣S2＝6a，再由a1，a2，a3成等比数列，列出方程能求出a的值．
【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），
∴a1＝S1＝a+1，a2＝S2﹣S1＝2a，a3＝S3﹣S2＝6a，
∵a1，a2，a3成等比数列，∴，
∴4a2＝6a2+6a，
解得a＝﹣3或a＝0（舍），
综上，a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
14．某校高一有6个班级争夺校篮球赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A，B是其中两个班级，若A，B不都得奖，则不同的发奖方式共有216 种．
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“6个班级争夺校篮球赛的前四名”的全部情况数目，再排除其中“A，B都得奖”的情况，即可得答案．
【解答】解：根据题意，6个班级争夺校篮球赛的前四名，有A64＝360种情况，
若A，B都得奖，有C42A44＝144种情况，
则A，B不都得奖的情况有360﹣144＝216种，
故答案为：216．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意利用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝20 吨．
【分析】先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．
【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，
则需要购买次，运费为4万元/次，
一年的总存储费用为4x万元，
一年的总运费与总存储费用之和为万元，
≥＝160，
当且仅当即x＝20吨时，等号成立
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
故答案为：20．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．
16．函数f（x）＝的递增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；若a∈[﹣，0]，则函数g（x）＝（x﹣2）e x﹣a（x+2）零点的取值范围是[﹣1，2] ．
【分析】依题意，可得f′（x）＝≥0，从而可得f（x）的递增区间；分离参数a＝，利用第一问的结论，用极限思想可得a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝（x≠﹣2），
∴f′（x）＝＝≥0，
∴函数f（x）＝的递增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；
令g（x）＝（x﹣2）e x﹣a（x+2）＝0，
当x＝﹣2时，g（x）≠0，
故a＝，函数f（x）＝在（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）单调递增，
当x→﹣∞时，f（x）＞0且f（x）→0；
当x﹣→﹣2时，f（x）→+∞；
当x+→﹣2时，f（x）→﹣∞；
当x﹣→+∞时，f（x）→+∞；
又a∈[﹣，0]，
f（﹣1）＝﹣，f（2）＝0，
故x∈[﹣1，2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；[﹣1，2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查极限思想与综合运算能力，属于难题．
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在①△ABC的面积为，②b+c＝2，③＝3这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，若问题中的三角形存在，求b、c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin A+cos A＝2，a＝2，_____？
【分析】结合辅助角公式和sin A+cos A＝2，推出A＝．
条件①：由S＝bc•sin A，知bc＝4，再由余弦定理得b+c＝4，从而得解；
条件②：先由余弦定理，可得bc＝，再结合b+c＝2，解方程组即可；
条件③：由平面向量的数量积，知bc＝6，由余弦定理知，b+c＝，方程组无解．【解答】解：∵sin A+cos A＝2，
∴2sin（A+）＝2，即sin（A+）＝1，
∵0＜A＜π，∴A+∈（0，），∴A+＝，即A＝．
选择条件①：
∵△ABC的面积S＝bc•sin A＝bc•sin＝，
∴bc＝4，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣3bc，
∴4＝（b+c）2﹣12，即b+c＝4，
∴b＝c＝2．
选择条件②：
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣3bc，
∴4＝12﹣3bc，即bc＝，
又b+c＝2，
∴b＝，c＝或b＝，c＝．
选择条件③：
∵＝cb•cos A＝bc•＝3，
∴bc＝6，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣3bc，
∴4＝（b+c）2﹣18，即b+c＝，
∴b2﹣b+6＝0，该方程无解，
故不存在△ABC．
【点评】本题主要考查解三角形，还涉及平面向量的数量积、辅助角公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X＝5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选
择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X＝5”，
因为P（X＝5）＝，∴P（A）＝1﹣P（X＝5）＝；
即他们的累计得分x≤3的概率为．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），
∴E（X1）＝2×＝，E（X2）＝2×＝，
从而E（2X1）＝2E（X1）＝，E（3X2）＝3E（X2）＝，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面ABCD是矩形．PD⊥面ABCD，PD＝AB＝2BC＝4，E、F是棱PC、PB上的点，＝3，＝2．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）棱PA上是否存在点M，使CM⊥面BDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．
【分析】由PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，又∵矩形ABCD，∴AD⊥DC，可得PD，AD，CD三条直线两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系来解题．
【解答】（Ⅰ）证明：由题可以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空
间直角坐标系．
可得P（0，0，4），A（2，0，0），B（2，4，0），D（0，0，0），C（0，4，0），
∵，
∴易得E（0，3，1），F（，，），∴＝（，，），
设平面BDE的法向量为＝（x，y，z），，，
∴可得方程组，令y＝﹣1，则求得x＝2，z＝3，∴＝（2，﹣1，3），
计算可得，∴AF∥平面BDE．得证．
（Ⅱ）假设存在M，使CM⊥面BDE，设（λ＞0），M（a，b，c），
由，可得①，＝（a，b﹣4，c），
∵CM⊥面BDE，∴，∴②，
将①代入②中，可知无解．假设不成立．
故棱PA上不存在点M，使CM⊥面BDE．
【点评】本题主要考查了空间向量与立几证明的综合应用．
20．（12分）已知抛物线C1：y2＝x，圆C2：（x﹣4）2+y2＝1．
（Ⅰ）求圆心C2到抛物线C1准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1•k2＝﹣，求点P的坐标．
【分析】（Ⅰ）求出C2及抛物线C1的准线线，即可求得答案；
（Ⅱ）设出切线PA，与抛物线方程联立，可得y1＝m1﹣y0，同理可得y2＝m2﹣y0，根据圆心到切线的距离等于半径，可以化简得到，由此表示出k1，k2，并结合k1•k2＝﹣得解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知C2（4，0），C1的准线为，
∴圆心C2到C1的准线距离为；
（Ⅱ）设，切线PA：
，
由得，，
由y0+y1＝m1得y1＝m1﹣y0，
切线PB：，同理可得y2＝m2﹣y0，
依题意，C2（4，0）到直线PA：的距离为，整理得：，
同理，
∴，
∵，
∴，解得y＝±4，
∴所求P点的坐标为（16，4）或（16，﹣4）．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合运用，对学生的运算能力要求较高，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx+b的图象在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程为3x﹣y﹣3e＝0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，＞n（n∈N*）恒成立，求n的最大值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合切线方程得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）问题转化为＞n在（1，+∞）恒成立，设g（x）＝，（x＞1），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数g（x）的最小值，求出n的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知：f′（x）＝a+1+lnx，
由题意得：，
解得：a＝1，b＝﹣2e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）＝x+xlnx﹣2e，
当x＞1时，＞n（n∈N*）恒成立，
即＞n在（1，+∞）恒成立，
设g（x）＝，（x＞1），g′（x）＝，
令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）＝1﹣＝＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，
∴h（x）存在唯一零点，设为x0，x0∈（3，4），
令h（x）＞0，则x＞x0，令h（x）＜0，则1＜x＜x0，
故x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
∴g（x）min＝g（x0）＝，
∵g′（x0）＝0，∴x0﹣lnx0﹣2＝0，∴lnx0＝x0﹣2，
∴g（x）min＝＝x0∈（3，4），∴x0＞n，
∴n的最大值是3．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：
．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；
（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y﹣1＝0．
曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为．
（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，得到，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，中点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知，f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥4；
（Ⅱ）设f（x）最小值为m，a+2b+3c＝m，求a2+b2+c2的最小值．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出对应的函数的解析式，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，根据柯西不等式的性质求出a2+b2+c2的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝1﹣2x﹣2x﹣2＝﹣4x﹣1≥4，解得：x≤﹣，当﹣1≤x≤时，f（x）＝1﹣2x+2x+2＝3≥4，无解，
当x＞时，f（x）＝2x﹣1+2x+2＝4x+1≥4，解得：x≥，
故不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥}；
（Ⅱ）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|1﹣2x+2x+2|＝3，
当且仅当（1﹣2x）（2x+2）≥0即﹣1≤x≤时，f（x）取最小值3，
故m＝3，故a+2b+3c＝3，
由柯西不等式得：（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝9，
故a2+b2+c2≥，当且仅当＝＝即a＝，b＝，c＝时“＝”成立，
即a2+b2+c2的最小值是．
【点评】本题考查了求函数最值问题，考查解绝对值不等式以及柯西不等式性质的应用，是中档题。