适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：两角和与差的三角函数课件北师大版

(3)sin
2tan
2α=
;cos
1+ta n 2
1-ta n 2
2α=
.
1+ta n 2
4.辅助角公式:asin α+bcos α=
2
+
2 sin(α+φ),其中
tan

φ= .

5.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
α,β∈R
两角差的正弦 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
Sα-β
α,β∈R
Tα+β
π
α,β,α+β≠kπ+ 2 (k∈Z)
Tα-β
π
α,β,α-β≠kπ+ 2 (k∈Z)
tan +tan
两角和的正切 tan(α+β)=1-tan tan
两角差的正切 tan(α-β)=
的值已知,可用cos 2α=cos2α-sin2α;如果只知cos α的值,则用cos 2α=2cos2α-1;
如果只知sin α的值,则用cos 2α=1-2sin2α.
(2)对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式: sin
1-cos2
1+cos2
2
α=
,cos α=
,
2
2
2
其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可
第五章
第三节 两角和与差的三角函数
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
课标解读
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正
切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,
能运用这些公式解决相关的求值与化简问题.
6.若
π
α+β=kπ+ (k∈Z),则(1+tan
4
α)(1+tan β)=2,反之也成立.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立.(
2.若α,β为锐角,则sin(α+β)<sin α+sin β.(
π
α+ 4
,则 sin
)
答案 (1)A
解析
2 3323 Nhomakorabea-
(2)C
(3)-3
1
(1)由已知得 cos
2
α-
3
sin
2
α=cos α,则 tan α=-
3
,所以
3
tan
2tan
2α=
1-ta n 2
=
=- 3,故选 A.
(2)由已知得 2(cos α+sin α)(cos α-sin
α)(cos α-sin
即
3
α= ,
5
3
sin[(α-β)-α]=5,
所以
3
sin(-β)=5,则
sin
3
β=-5,
又 β 是第三象限角,所以 cos
故
5π
sin(β+ 4 )的值.
5π
sin(β+ 4 )=sin
5π
βcos 4 +cos
4
β=-5,
5π
2
βsin 4 =- 2 (sin
β+cos
7 2
β)= 10 .
6.已知 sin 2α=-sin α,α∈
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.倍角公式的变形:
(1)降幂公式:sin αcos
1
α= sin
2
1-cos2
1+cos2
2
α=
;cos α=
.
2
2
2
2α;sin
(2)升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
强基础 固本增分
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称
公式
简记
使用条件
两角和的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β Cα+β
α,β∈R
两角差的余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β Cα-β
α,β∈R
两角和的正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β Sα+β
3
π
- 2 ,0
π
-α
2
,则 tan 2α=(
3
D.±3
,且 2cos 2α=sin
π
α+ 4
)
3
B.4
3
A.-4
.
D.1
C.-1
(3)(2023·安徽滁州高三月考)若 cos α==
=sin
C.± 3
(2)(2023·福建三明高三月考)已知 α∈
2α=(
π
-α
6
5
,且
5
α∈
π
-π,-2
,则 tan
1
α-2)=0,因此 cos
2
α)= (sin
2
α+sin α=0 或 cos α-sin
可得 1+sin 2α=0,即 sin 2α=-1,由 cos α-sin
以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”.
常用结论
π
1+tan
1.tan( +α)=
4
1-tan
=
cos +sin
π
1-tan
,tan( -α)=
cos -sin
4
1+tan
=
cos -sin
.
cos +sin
2.两角和与差的正切公式的变形:
2
3.由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±



4.sin =2sin cos .(
2
4
4
)
)
)
1+cos40 °
.(
2
×)
题组二 双基自测
5.已知 sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin
3
α=5,β 是第三象限角,求
解 由已知得 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin
π
,π
2
,求 tan α 的值.
解 由已知得 2sin αcos α=-sin α,因此 cos
故 tan α=- 3.
1
α=-2,又
π
α∈(2 ,π),所以
sin
3
α= 2 ,
研考点 精准突破
考点一
和、差、倍角公式的简单应用
题组(1)(2023·江苏扬州高三模拟)已知 sin
A.- 3
B.-
3
tan -tan
1+tan tan
倍角公式中,不仅限于2α是α的二倍,还有更广泛的含义,即只要具备“二倍

关系”即可,如:4α是2α的二倍,α是 2 的二倍等,这里蕴含着换元的思想
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
名称
二倍角
的正弦
二倍角的余弦
二倍角的正切
公式
简记 使用条件
sin 2α=2sin αcos α
S2α
α,β∈R
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C2α
α,β∈R
α,2α≠kπ+
T2α
π
(k∈Z)
2
tan 2α=
2tan
1-ta n 2
微点拨 二倍角的余弦公式及其变形
(1)二倍角的余弦公式有三种形式,适合在不同条件下使用,如果sin α,cos α