第7讲 平面向量的奔驰定理与四心问题(原卷版)

第7讲 平面向量的奔驰定理与四心问题

【考点分析】

考点一：三角形四心的概念：

①重心：各边中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

①内心：各角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． ①外心：各边中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． ④垂心：各边上高线的交点，高线与对应边垂直． 考点二：三角形四心的向量表示： ①内心：三角形的内心在向量

AB AC AB

AC

+所在的直线上.

0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心. ①外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心.

①垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心. ④重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心. 考点三：重心坐标公式

已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则①ABC 的重心坐标为123123

()33

x x x y y y G ++++，. 考点四：奔驰定理

奔驰定理：0321=++OC OB OA λλλ，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ 证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++=

11121AOB A OB S S λλ=

△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，1123

1

BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△.

考点五：三角形四心与奔驰定理的关系

①O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OA OB

OC =⇔++=△△△．

①O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c OA OB OC =⇔++=△△△．

①O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． ④O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． 【题型目录】

题型一：四心的向量表示 题型二：奔驰定理的应用 【典型例题】

题型一： 四心的向量表示

【例1】已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

PA PB PB PC PA PC ==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )

A ．重心 外心 垂心

B ．重心 外心 内心

C ．外心 重心 垂心

D ．外心 重心 内心

【例2】已知M 点在ABC 所在的平面内，满足()(|si |||n sin AB AC

OM OA AB B AC C

λλ=++∈R)，则动点M 的

轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心

C ．外心

D ．重心

【例3】设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（ ） A ．重心（三条中线交点） B ．内心（三条角平分线交点） C ．垂心（三条高线交点） D ．外心（三边中垂线交点）

【例4】已知点O 是ABC ∆所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若1,(0,)2OP OA AB BC λλ⎛⎫

=++∈+∞ ⎪⎝⎭

，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心

【例5】点O 为ABC 所在的平面内，给出下列关系式： ①0OA OB OC ++=；

①0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅

= ⎪⎝-⎭且0BC BA OB BC BA ⎛⎫ ⎪⋅-= ⎪⎝⎭

； ①()()

0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=. 则点O 依次为ABC 的（ ）

A ．内心、重心、垂心

B ．重心、内心、垂心

C ．重心、内心、外心

D ．外心、垂心、重心

【例6】O 是ABC ∆所在平面上的一定点，

动点P 满足()||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C

λ=++∠∠，[0λ∈，)+∞，

则点P 形成的图形一定通过ABC ∆ 的 垂心 ．（填外心或内心或重心或垂心）

【例7】点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是 ①①①①① （把你认为正确的序号全部写上）． ①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中； ①动点P 满足(

)(0)||||

AB AC

OP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中； ①动点P 满足(

)(0)||sin ||sin AB AC

OP OA AB B AC C

λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；

①动点P 满足(

)(0)||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C

λλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；

①动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC

OP AB B AC C

λλ+=++>，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．