著名机构五升六数学奥数讲义追及问题

追及问题
学生姓名年级学科
授课教师日期时段
核心内容追及问题课型一对一教学目标掌握追及问题，并运用到生活中。

重、难点解决问题时必须很好地分析各已知数量的含义及其在应用题中是如何给出的，有时可借助线段图进行分析，以便具体问题具体分析。

课首沟通
提问，在走路中涉及的数学问题，主要就是速度差、追及时间和路程差这三量之间的关系问题。

这三量之间是什么关系呢？让学生对具体问题要作仔细分析，得出公式并写在下面的知识导图中。

知识导图
课首小测
1.两辆汽车相距1500千米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？
2.老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王再出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度。

3.上午10点，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出12小时追上货船，客船速度20千米/小时，求货船速度。

4.两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙从同一地点去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？
知识梳理
追及路程÷（速度快—速度慢）=追及时间
追及路程÷追及时间=速度快—速度慢
（速度快—速度慢）╳追及时间=追及路程
导学一：直线上的追及问题
知识点讲解 1：单个全程的追及问题
例 1.（2010年小联盟）一列货车以每小时160千米的速度在9时由甲城开往乙城，一列客车以每小时232千米的速度在11时也由甲城开往乙城，为了行驶安全，列车行驶间的距离不应小于8千米，那么货车最晚应在什么时候停车让客车错过？
【学有所获】（1）货车比客车早发车的时数；（2）客车要追上的距离；（3）客车要追的时数；（4）停车让客车借过的时间。

解决追及问题，要求追及时间，主要找出追及的路程和速度差即可。

例 2. 甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？
例 3. 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？
例 4. 某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。

李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？
例 5. 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
例 6. 两地相距1800米，甲、乙两人同时从这两地出发，相向而走，甲比乙走得快，12分钟两人在A点相遇；如果两人每分钟都多走25米，那么两人在离A点33米处相遇。

甲原来每分钟走多少米？
例 7. 一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发，若相向行走，12分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1864米。

已知A、B两地相距1800米。

甲、乙每分钟各行多少米？
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1.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后．如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，几秒两马相距70米？
2.一辆货车以每小时30千米的速度从甲开往乙，开出4小时后一辆客车也由甲开往乙，这辆客车的速度是每小时50千米，在甲距乙一半的地方客车追上货车，问甲乙两地相距多少千米？
3.一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。

如果他再返回队尾，还需要多少秒？
4.有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。

队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。

现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。

如果他再从队尾赶到队头送信还需要多少时间？
5.小张从家到公园，原打算每分钟走50米。

为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米。

问家到公园多远？
6.小聪和小敏分别从甲、乙两地同时出发，相向而走，按预定的速度行走，6小时相遇；如果两人各自都每小时多走0.8 千米，可以提前1小时相遇。

甲、乙两地相距多少千米？
知识点讲解 2：两个或两个以上全程的追及问题
例 1. 甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。

甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？
例 2. 两地的距离是120千米，有两列火车分别从两地同时同向开出。

第一列火车每小时行60千米，第二列火车每小时行48千米。

在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时80千米的速度在两车之间来回飞，当第一列火车追上第
二列火车时，鸽子飞了多远？
例 3. 男、女两名运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。

两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑。

如果男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度每秒5米；女运动员上坡速度每秒2米，下坡速度每秒3米，那么
两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？
例 4. 小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是每秒2米,这时从他后面开过来一列火车,从车头到车尾经过他身旁共用了21秒,已知火车全长336米,求火车每秒行米.
例 5. 一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米.兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次.问: 兔子跑多少米后被猎狗追上?
例 6. 上午8时8分,小明骑自行车从家里出发.8分后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上他的时候,离家恰是8千米,这时是时分.
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1.客车和货车同时从甲乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。

求甲乙两站间的路程是多少千米？
2.兄妹两人同时离家去上学。

哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校多远？
3.甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。

货车速度每小时60千米，客车每小时40千米，货车
到达乙地后停留0.5小时，又以原速返回甲地，问从甲地出发后几小时两车相遇？
4.王欣和陆亮两人同时从相距200米的两地同向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。

如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。

这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？
5.甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟跑3米，乙的速度是每秒钟跑2米。

如果他们同时分别在
直路两端出发，当他们跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇了多少次？
6.铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路,公路上一辆拖拉机正以每小时20千米的速度行驶,这时,一列火车以每小时56千
米的速度从后面开过来,火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒钟,求火车的全长是多少米？
7.一列快车长64米,一列慢车长56米,两车相向而行,从相遇到离开要4秒钟;如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16秒钟,快车每秒行多少米,慢车每秒行多少米？
8.一只狗追赶一只野兔,狗跳5次的时间兔子能跳6次,狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?
9.主人追他的狗,狗跑三步的时间主人跑两步,但主人的一步是狗的两步.狗跑出10步后,主人开始追,主人追上狗时,狗跑
出了多少步?
10.小马虎上学忘了带书包,爸爸发现后立即骑车去追他,把书包交给他后立即回家.小马虎接到书包后又走了10分钟到达
学校,这时爸爸也刚好到家.已知爸爸的速度是小马虎速度的4倍,问:小马虎从家到学校共用多少分钟?
11.甲、乙两地相距60千米.小王骑车以每小时行10千米的速度上午8点钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李骑车以每小时15千米的速度也从甲地去乙地,小李在途中M地追上小王,通知小王立即返回甲地.小李继续骑车去乙地.各自分别到达甲、乙两地后都马上返回,两人再次见面时,恰好还在M 地.问小李是什么时刻出发的?
12.小方和爸爸从家去公园，小方先步行出发，5分钟后，爸爸骑车出发，在距家600米处追上小方，这时想起没带相
机，于是爸爸立即返回家拿相机，又立即回头追小方，再追上时距家1200米，小方每分钟走多少米？爸爸骑车每分钟行
多少米？
知识点讲解 3：多个对象间的追及问题
例 1. 马路上有一辆车身为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名
年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。

某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟之后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟，汽车离开了乙。

问再过多少秒后，甲、乙两人相遇？
例 2. 甲、乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。

甲、乙两车分别用6分钟、10分钟追上骑车人。

已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是20千米/小时。

问两车出发时，两车所在地点离骑车人多远？
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1.一种导弹以音速(每秒330米)前进,已知两架飞机相距1500米同向飞行,前面一架飞机的速度是每秒210米,后面一架飞机的速度是每秒180米.当后面的飞机发出导弹时, 秒可以击中前一架飞机.
2.小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。

小光什么时候追上小峰？
3.路旁一条平行小路上,有一行人与一骑车人同时向南行进.行人速度为每小时3.6千米,骑车人速度为每小时10.8千米, 这时有一列火车从他们后方开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,问这列火车的车身总长是多少米？
导学二：环形上的追及问题
例 1. 体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米。

几分钟后他们第1次相遇？
例 2. （举一反三）甲乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。

如果他们同时出发，并在甲跑完60 米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度？
例 3. （举一反三）兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。

从同一地点同时背向绕水池而行。

兄每秒走1.3米。

妹每秒走1.2米。

他们第10次相遇时，妹妹还要走多少米才能归到出发点？
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1.体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米。

几分钟后他们第3次相遇？
2.（举一反三）A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A 点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。

求这个圆的周长。

3.（举一反三）甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。

甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。

环形跑道有多少米？
我当小老师
（1）一个全程的追及问题，一般由速度差、追及时间和路程差，给出其中两个量求第三个量。

（2）两个或两个以上全程的追及问题，要判定是否同时出发，走了多少个全程，然后把追及路程除以速度差求出追及时间，或是路程差除以追及时间求出速度差。

（3）多个量的追及问题主要是通过方程求解，会把复杂的问题变简单。

（4）圆环上的追及问题，同时同地相向时，路程差就是一圈的长度。

限时考场模拟：（30分钟）
1.小马虎步行去上学，他离家15分钟后，爸爸发现他忘记带笔盒了，急忙带上笔盒骑车去追他，把笔盒交给小马虎后立即返回，到家一看表，正好用了10分钟，爸爸骑车的速度是小马虎步行速度的几倍？
2.小巴（即小公共汽车）和轿车先后开车从A地至B地，轿车速度是小巴速度的1.25倍。

小巴要在两地的中点停10分钟，轿车中途不停车，轿车比小巴在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地，小巴上午9时开出。

轿车超过小巴是几时几分？
3.甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒，甲跑4秒钟就追上乙。

甲、乙两人每秒钟各跑多少米？
4.自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行车队。

然后，通讯员立刻返回出发点，随后又返回去追上了自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。

5.一列货车以每小时160千米的速度在9时由甲城开往乙城，一列客车以每小时232千米的速度在11时也由甲城开往乙城，为了行驶安全，列车行驶间的距离不应小于8千米，那么货车最晚应在什么时候停车让客车错过？
课后作业
1.两地相距380千米。

有两辆汽车从两地同时相向开出。

原计划甲汽车每小时行36千米，乙汽车每小时行40千米，但开车时甲汽车改变了速度，以每小时40千米的速度开出，问在相遇时，乙汽车比原计划少行了多少千米？
2.东、西两镇相距240千米，一辆客车在上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12时，两车恰好在两镇间的中点相遇。

如果两车都从上午8时由两镇相向开行，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？
3.“八一”节那天，某少先队以每小时4千米的速度从学校往相距17千米的解放军营房去慰问，出发0.5小时后，解放军闻讯前往迎接，每小时比少先队员快2千米，再过几小时，他们在途中相遇？
4.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距千米?
5.一架敌机侵犯我领空,我机立即起飞迎击,在两机相距50千米时,敌机扭转机头以每分15千米的速度逃跑,我机以每分22 千米的速度追击,当我机追至敌机1千米时与敌机激战,只用了半分钟就将敌机击落.敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分?
6.甲、乙两人环绕周长是400米的跑道跑步,如果两人从同一地点出发背向而行,那么经过2分钟相遇;如果两人从同一地点出发同向而行,那么经过20分钟两人相遇,已知甲的速度比乙快,求甲、乙两人跑步的速度各是多少?
7.甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行。

甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。

两人相遇时距全程中点3千米。

问全程长多少千米？
8.A、B两城相距60千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发往B城，甲的速度比乙每小时慢4千米，乙到达B城立即返回，在距B城12千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？
9.甲、乙、丙三人都从A城到B城，甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，丙每小时行6千米，甲出发3小时后乙才出发，
恰好三人同时到达B城。

乙出发几小时后丙才出发？
10.小王骑车每分钟行200米，小张步行每分钟80米。

小张出发3.6千米后小王骑车去追小张，但小王每行5分钟就要停1 分钟。

小王追上小张要多长时间？
11.甲、乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？
12.甲、乙两城之间的铁路长240千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇，如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前、快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车与慢车每小时各行多少千米？
1、将本堂课的错题抄到错题本中，练习再做一遍。

2、认真复习当天所学的知识点，包括例题和相关概念，并辅以部分练习巩固。

3、通过今天的学习，总结出适合自己的学习方法。

4、有不一样的解题思路，下次课可以共享。

课首小测
1.30分钟
解析:1500÷（660-610）=30（分钟）
2.25千米/小时
解析:15×2÷315=25（千米/小时）
3.15千米/小时
解析:12×20÷（12+4）=15（千米/小时）
4.600千米
解析:甲速度:900÷15=60（千米/小时）
乙速度：900÷12=75（千米/小时）
2×60÷（75-60）×75=600（千米）
导学一
知识点讲解 1：单个全程的追及问题
例题
1.15时20分
解析:（160×2-8）÷（232-160）= （小时）=4小时20分钟11时 4小时20分钟=15时20分
2.832千米
解析:32×2÷（56-48）=8（小时）
8×(56+48)=832(千米)
3.7分钟
解析:350÷（3-2）=350（秒）350÷
（3 2）=70（秒）
350 70=420（秒）=7（分钟）
4.25秒
解析:①支路队伍长度：（202÷2-1）×0.5=50（米）
②追上队头所需要时间：50÷(5-3)=25(秒 )
③回队尾所需时间：50÷(5 3)=6.25(秒 )
④共用的时间：25 6.25=31.25（秒）
5.72千米
解析:9÷（10÷60）=54（千米/小时）
（54-6）×（9÷6）=72（千米）
6.86米/分钟
解析:1800÷12=150（米/分钟）
150+25×2=200（米/分钟）
1800÷200=9（分钟）
（9×25+33）÷（12-9）=86（米/分钟）
7.71米；79米
解析:1800÷12=150（米/分钟）
（1864-1800）÷8=8（米/分钟）
（150+8）÷2=79（米/分钟）
150-79=71（米/分钟）
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1.60秒
解析:（50 70）÷（12-10）=60（秒）
2.600千米
解析:30×4÷（50-30）×50×2=600（千米）
3.30秒
解析:450÷503=12（米/秒）450÷
（3 12）=30（秒）
4.32秒
解析:（966÷6-1）×1.2=192（米）
192÷16-3=9（米/秒）
192÷（9-3）=32（秒）
5.1500米
解析:75×10÷（75-50）×50=1500（米）
6.48千米
解析:0.8×2×（6-1）÷1=8（千米/小时）
6×8=48（千米）
知识点讲解 2：两个或两个以上全程的追及问题例题
1.42千米/小时
解析:5×2÷12=5.25（小时）
31.5÷（5.25-4.5）=42（千米/小时）
2.800千米
解析:120÷（60-48）=10（小时）
10×80=800（千米）
3. 米
解析:110÷5=22（秒）
22×（5-3）=44（米）
44÷3×3=44（米）
（110-44）÷3×2=44（米）
（110-44）÷（5+2）×5=（米）
4.18
解析:336÷21+2=18（米/秒）
5.280米
解析:20÷（3×3-4×2.1）×4×2.1=280（米）
6.8点32分
解析:（4×3）÷3=4（千米）4÷4=1
（千米/时）
（4+4+8）÷1=16（分钟）
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1.1224千米
解析:216÷（54-48）÷3=12（小时）
12×（54+48）=1224（千米）
2.900千米
解析:180×2÷（90-60）=12（分钟）
12×90-180=900（米）
3.5小时
解析:360÷60=6（小时）
（6 0.5）×40=260（千米）
（360-260）÷（60 40） 6 0.5=7.5（小时）
4.5000米
解析:200÷（110-90）=10（分钟）
10×500=5000（米）
5.17次
解析:90÷（3+2）=18（秒）
（10×60-18）÷（18×2）+1=17（次）
6.3700米
解析:56-20=36（千米/时）=10（米/秒）
10×37=370（米）
7.18.75米/秒；11.25米/秒
解析:64+56=120（米）
120÷4=30（米/秒）
120÷16=7.5（米/秒）
（30+7.5）÷2=18.75（米/秒）
30-18.75=11.25（米/秒）
8.1750米
9.40步
解析:10÷（2÷3-1÷2）×（2÷3）=40（步）
10.50分钟
解析:4×10+10=50（分钟）
11.8点48分
解析:60×2÷（15+10）=4.8（小时）
4.8÷2×10=24（千米）
24÷10-24÷15=0.8（小时）=48（分钟）
12.40米/分;120米/分
解析:（600+1200）÷600=3（倍）
600÷3=200（米）
200÷5=40（米/分）
40×3=120（米/分）
知识点讲解 3：多个对象间的追及问题
例题
1.16秒
解析:18千米/时=5米/秒
甲速度 5-15÷6=2.5（米/秒）
乙速度15÷2-5=2.5（米/秒）
(30×5+15-30×2.5)÷（2.5+2.5）-2=16（秒）
2.1千米
解析:6÷60×（24-20）=0.4（千米）
0.4÷[（10-6）÷60]=6（千米/时）
6÷60×[24-（20-6）]=1（千米）
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1.5秒
解析:1500÷（330+180-210）=5（秒）
2.12点
解析:5×2÷10+5=6（千米/时）
4×2÷（6-4）=4（时）
4+8=12（点）
3.286米
解析:3.6千米/时=1米/秒10.8千米/时=3米/秒（26×3-22×1）÷（26-22）=14（米/秒）
（14-1）×22=286（米）
导学二
例题
1. 分钟
解析:400÷（152+148）= (分钟)
2.200米
解析:60×3-80=100（米）100×2=200
（米）
3.6米
解析:30÷（1.3+1.2）=12（秒）
12×10×1.2÷30=4（圈）…24(米)
30-24=6（米）
我爱展示
1.4分钟
解析:400÷（152+148）×3=4（分钟）
2.200米
解析:80×3-60=180（米）180×2=360
（米）
3.400米
解析:100×4=400（米）
限时考场模拟
1.4
解析:10÷2=5（分钟）
（15+5）÷（10÷2）=4
2.9时27分
解析:（11-10+7）×1÷（1.25-1）=32（分钟）
32÷2=16（分钟）
11+16=27（分钟）
所以轿车超过小巴是9时27分。

3.6米/秒；4米/秒
解析:速度差：10÷5=2（米/秒）
乙速度：（2×4）÷2=4（米/秒）
甲速度：4+2=6（米/秒）
4.15千米/时；45千米/时
解析:（9+18）÷9=3（倍）
9÷3=3（千米）
3÷12×60=15（千米/时）
15×3=45（千米/时）
5.15时20分
解析:（160×2-8）÷（232-160）=4 （小时）=4小时20分钟11时+4小时20分钟=15时20分
课后作业
1.10千米
2.100千米
3.1.5小时
4.168千米
5.7.5分钟
6.110米/分钟；90米/分钟
7.114千米
解析:3×2=6（千米）
6÷（20-18）=3（时）
3×（20+18）=114（千米）
答：全程长114千米。

8.8千米/小时
9.2小时
10.40分钟
解析:3600÷（200×5-80×6）=6……480(米)
480÷（200-80）=4（分钟）
6×6+4=40（分钟）
11.16千米
解析:（28-24）×4=16（千米）
12.48千米/小时；32千米/小时解
析:240÷3=80（千米/小时）
240÷15=16（千米/小时）
（80+16）÷2=48（千米/小时）（80-16）÷2=32（千米/小时）。