圆的一般式方程119张PPT
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(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解 .
例2：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程.
解：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组:
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0
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[讨论]：此方程是否表示圆呢？
x2 y2 Dx Ey F 0
证明: 由x2 y2 Dx Ey F 0
例1：求过点 A(5,1), 圆心为(8,3)的圆的方程 .
解：设圆的方程为 (x 8)2 ( y 3)2 r 2
把点(5,1)代入方程 ,得r 2 13,
故所求圆的方程为: (x 8)2 ( y 3)2 13
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[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
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练 习
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F
(2,3),半径为4,则D __4_ E
0的圆心为
__-_6F _-_3_
三 (2)若x2 y2 2ax y a 0表示圆 能 则a的取值范围是 _a___12_
力
提 (3)圆x2 y2 8x 10 y F 0与x轴相
则 F =16
令x=0 , 可得 y=2 或 y=8
所以 |AB| =6
|BC| =5, |CE| =4 则 |BE| =3, |AB| =6
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[课堂小结]:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方 展开
标准方程
(2)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
方法一:用配方法求解 方法二:用代入法求解:
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[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般 采用圆的标准方程较简单.
(x
D
2 )
(
y
E
2 )
D2 E2 4F
2
2
4
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于是, (1)当D2 E 2 4F 0时,
方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示圆心在
( D , E )半径为1 D2 E 2 4F的圆
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时,
D 6, E 8, F 0.
故所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
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例2另解:图象法
y C(0,8)
D(3,4)
r=5
o (A)
B(6,0) x
如图所示,可知 过A,B,C三点的圆的 圆心即BC的中点,其 坐标为(3,4),半径为5 故所求圆的方程为：
(x 3)2 (y 4)2 25
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[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系 数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
方程x2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E 2
)
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形 .
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[定义] : 圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
思 方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 考 什么时候可以表示圆? A C 0, B 0, D2 E2 4AF 0.
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[观察]：圆的标准方程与圆的一般
方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
圆的一般方程
(2)x 2 y2 2x 4y 6 0____
(3)x 2 y2 2ax b2 0________
答 案
(2)圆心为(1, 2),半径为
11的圆.
（3）圆心为（a，0），半径为 a2 b2 的圆.
或点(0,0).
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[练习二]：求下列各圆的半径和圆心坐标.
升 切,则F __1_6___,这个圆截y轴所得的弦
长是 _6__
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解法1：题意可知，圆的方程
可化为：
(x 4)2 (y 5)2 25
展开得
x2 y2 8x 10 y 16 0
解法2：图象法
y
A
C (- 4,5)• E
r=5
B
D(- 4,0) o
x
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0 解：(1)圆心为（3，0），半径为3
(2)圆心为（0，-b） ，半径为|b|
(3)圆心为(a, 3a), 半径为 | a | .
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x2 y2 Dx Ey F 0
高一数学备课组
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[复习回顾]:
圆的标准方程的形式是怎样的？
(xa)2 (yb)2 r2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
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[想一想] ：若把圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
展开后，会得出怎样的形式？
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
[说明]：(1)圆的标准方程的优点在于它明确地 指出了圆心和半径 ，
(2)圆的一般方程突出了方程形式上的 特点.
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[练习一]：下列方程各表示什么图形?
(1)x 2 y2 0 __原_点__(0_,0_)_
例2：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程.
解：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组:
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0
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[讨论]：此方程是否表示圆呢？
x2 y2 Dx Ey F 0
证明: 由x2 y2 Dx Ey F 0
例1：求过点 A(5,1), 圆心为(8,3)的圆的方程 .
解：设圆的方程为 (x 8)2 ( y 3)2 r 2
把点(5,1)代入方程 ,得r 2 13,
故所求圆的方程为: (x 8)2 ( y 3)2 13
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[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
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练 习
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F
(2,3),半径为4,则D __4_ E
0的圆心为
__-_6F _-_3_
三 (2)若x2 y2 2ax y a 0表示圆 能 则a的取值范围是 _a___12_
力
提 (3)圆x2 y2 8x 10 y F 0与x轴相
则 F =16
令x=0 , 可得 y=2 或 y=8
所以 |AB| =6
|BC| =5, |CE| =4 则 |BE| =3, |AB| =6
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[课堂小结]:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方 展开
标准方程
(2)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
方法一:用配方法求解 方法二:用代入法求解:
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[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般 采用圆的标准方程较简单.
(x
D
2 )
(
y
E
2 )
D2 E2 4F
2
2
4
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于是, (1)当D2 E 2 4F 0时,
方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示圆心在
( D , E )半径为1 D2 E 2 4F的圆
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时,
D 6, E 8, F 0.
故所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
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例2另解:图象法
y C(0,8)
D(3,4)
r=5
o (A)
B(6,0) x
如图所示,可知 过A,B,C三点的圆的 圆心即BC的中点,其 坐标为(3,4),半径为5 故所求圆的方程为：
(x 3)2 (y 4)2 25
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[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系 数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
方程x2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E 2
)
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形 .
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[定义] : 圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
思 方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 考 什么时候可以表示圆? A C 0, B 0, D2 E2 4AF 0.
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[观察]：圆的标准方程与圆的一般
方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
圆的一般方程
(2)x 2 y2 2x 4y 6 0____
(3)x 2 y2 2ax b2 0________
答 案
(2)圆心为(1, 2),半径为
11的圆.
（3）圆心为（a，0），半径为 a2 b2 的圆.
或点(0,0).
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[练习二]：求下列各圆的半径和圆心坐标.
升 切,则F __1_6___,这个圆截y轴所得的弦
长是 _6__
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解法1：题意可知，圆的方程
可化为：
(x 4)2 (y 5)2 25
展开得
x2 y2 8x 10 y 16 0
解法2：图象法
y
A
C (- 4,5)• E
r=5
B
D(- 4,0) o
x
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0 解：(1)圆心为（3，0），半径为3
(2)圆心为（0，-b） ，半径为|b|
(3)圆心为(a, 3a), 半径为 | a | .
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x2 y2 Dx Ey F 0
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[复习回顾]:
圆的标准方程的形式是怎样的？
(xa)2 (yb)2 r2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
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[想一想] ：若把圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
展开后，会得出怎样的形式？
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
[说明]：(1)圆的标准方程的优点在于它明确地 指出了圆心和半径 ，
(2)圆的一般方程突出了方程形式上的 特点.
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[练习一]：下列方程各表示什么图形?
(1)x 2 y2 0 __原_点__(0_,0_)_