函数的单调性与最值练习题(适合高三)

函数的单调性与最值练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）
1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 2．已知2
12
()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）
A.(1,)+∞
B.(2,)+∞
C.(,0)-∞
D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()
0f a f b a b
->-成立，
则必有（ ）
A.()f x 在R 上是增函数
B.()f x 在R 上是减函数
C.函数()f x 是先增加后减少
D.函数()f x 是先减少后增加
4．若
在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )
A. [1，2)
B. [1，2]
C. [1,+∞)
D. [2，+∞)
5．函数y=x 2
﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2
6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有
2121
()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )
A. B. C.
7．已知(x)=⎩⎨
⎧≥<+-)
1(log )
1(4)13(x x
x a
x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取
值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（0，3
1） C.［7
1，3
1） D.［7
1，1）
8．函数2
2log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，－3）
B ．（－∞，－1）
C ．(1，+∞)
D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围
是（ ）
（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x
y = B ．1y x
= C ．2
y x = D ．tan y x = 11．已知函数
(a 为常数)．若
在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取
值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当1
2
x ≥
时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 二、填空题（每小题4分）
13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是
14．设函数()f x =⎩
⎨⎧≤，＞，，
，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．
15．2
()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数
)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总
有
，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是
_______________．
17．函数2
()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4
∈+
=x x
x x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2
(),,.f x x ax b a b R =-+∈
若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．
20．已知函数2
()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围
是 . 21．已知函数
()()
23log 5f x x ax a =+++，
()
f x 在区间
(),1-∞上是递减函数，则实
数a 的取值范围为_________．
22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .
23．若函
R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．
24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)
(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{
0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知
2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小
值为2(1)log 10f ==。

考点：对数函数的图像及性质 2．C 【解析】
试题分析：函数)(x f 是复合函数,其定义域令022
x x -,即
).2(0,∞+⋃∞-）（,根据复合函数的单调性:同增异减.该函数是增函数,其外函数是v u 2
1log =为减函数,其内函数为
x x v 22-=也必是减函数,所以取区间）（0,∞-.
考点：复合函数单调性的判断.
3．A. 【解析】
试题分析：若b a <，则由题意
()()
0f a f b a b
->-知，一定有)()(b f a f <成立，由增函数
的定义知，该函数()f x 在R 上是增函数；同理若b a >，则一定有)()(b f a f >成立，即该函数()f x 在R 上是增函数.所以函数()f x 在R 上是增函数.故应选A. 考点：函数的单调性. 4．A 【解析】函数
的对称轴为
，要使函数在(-∞，1]上递减，则有，即
，解得
，即
，选A.
5．B
【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2
﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．A 【解析】 试题分析：因为
2121()(()())
0x x f x f x -->，所以函数()f x 在),0(+∞上单调增. 由
(21)f x -＜.3
221,31120<<<-<x x
考点：利用函数单调性解不等式
7．C 【解析】
试题分析：由题意可得()13103110101731log 131147a a a a a a a a a ⎧<⎪⎧-<⎪⎪
<<⇒<<⇒≤<⎨⎨⎪⎪≤-⨯+⎩⎪≥
⎩
.故C 正确.
考点：1函数的单调性;2数形结合思想.
8．A 【解析】
试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)
(1,)-∞-+∞．
22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223
u x x =+-＝2
(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，
∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)
y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ． 考点：复合函数的单调性． 9．D 【解析】
试题分析：根据已知的定义域和单调性，得到不等式：⎪⎩
⎪
⎨⎧<-≥-31
120
12x x ，所以：3221<≤x 考点：1．函数的单调性；2．抽象函数解不等式．
10．A 【解析】
试题分析：A 选项是指数函数，定义域为{}R x x ∈,底数大于1，所以在定义域内是单调增函数。

故选A 。

B 选项是反比例函数，定义域为{}0≠x x ，由反比例函数图像可知当0>x 或
0<x 时，函数都为单调递减，所以排除B 。

C 选项是二次函数，定义域为{}R x x ∈，由图
像可知在0<x 时，函数为单调递减所以排除C 。

D 选项是正切函数，定义域为
{⎭⎬⎫∈+≠z k k x x ,2ππ
，正切函数是在每一个区间⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππk k 2,2()z k ∈都是单调递增的，但在整个定义域内并不是单调递增的，例如：令()x x f tan =，取4
1π
=
x ，4
32π
=
x ，则21x x <，但是()11=x f ，()12-=x f ，显然()()21x f x f >。

这说明在每一个
⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππk k 2,2 ()z k ∈都是单调递增的与在整个定义域内并不是单调递增的含义是不同的，所以排除D 。

考点：函数的定义域、基本初等函数的图像及性质
11．B 【解析】∵
∴在区间上是增函数,则．
∴1-≤a ． 12．C 【解析】
()()1f x f x -= ∴函数()f x 的图象关于直线1
2
x =
对称， 当12
x ≥
时()()2log 31f x x =-，
∴函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴函数()f x 在1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦上单调递减， ∴函数()f x 在[]2,0-上单调递减， ∴函数()f x 在[]
2,0-上的最大值与最小值之和为()()()()()()2220121031log 8log 24f f f f f f -+=++-=+=+=故选A. 13．12,23⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【解析】
试题分析：13
2121
31221222
22311223m m m m m m m m ⎧
⎪-<<-<-<⎧⎪
⎪⎪-<-<⇒-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪
<⎪⎩
考点：函数的单调性. 14．[0,)+∞ 【解析】
试题分析：当1x ≤时，()2f x ≤122x -⇔≤，即11x -≤，解得0x ≥；1x >时，()2
f x ≤21lo
g 2x ⇔-≤，解得1
2
x ≥
，所以满足()2f x ≤的x 的取值范围是[0,)+∞． 考点：1、分段函数；2、函数的单词性． 15．(,1)-∞ 【解析】
试题分析：将函数进行配方得2
2
()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性． 16．1
--1+3
∞⋃∞（，）（，） 【解析】
试题分析：由()()f x f x -=可得()f x 为偶函数，因为,(,0]a b ∈-∞时总
有
()f x 在(],0-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
()()()()1212f m f m f m f m +>∴+>，即12m m +<，
则()()()()2
2
123110m m m m +<⇒+->，解得1--1+3
m ∈∞⋃∞（，）（，）． 考点：函数的单调性和奇偶性 17．[1,+∞) 【解析】
试题分析:()2
23f x x x =--,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞). 考点：一元二次函数的单调性. 18．29[4,
]5
试题分析：函数()f x 在[]1,2上是减函数，在[]2,5上是增函数，且()15f =，()24f =，
()2955f =
，
所以函数()x f 的值域为29
[4,]5
. 考点：函数的单调性和值域. 19．2≥a
【解析】
试题分析：根据题意可知:二次函数开口向上,对称轴为2
a
x =
,根据题意可知:区间(,1)-∞在对称轴2a
x =
的左侧,所以12
≥a . 考点：二次函数的性质. 20．(][),4080,-∞+∞
【解析】
试题分析：要)(x f 使在区间]10,5[上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以58
≤k
或
108
≥k
即得k 的范围(][),4080,-∞+∞.
考点：二次函数的单调性. 21．-3 ≤a ≤-2 【解析】
试题分析：设t=x 2
+ax+a+5，则f （x ）=log 3t ，且函数t 在区间（-∞，1）上是递减函数，
且t ＞0．∴12
150
a a a ⎧
-≥⎪
⎨⎪+++≥⎩，求得-3 ≤a ≤-2 考点：对数函数的单调性。

22．12,23⎛⎫-
⎪⎝
⎭ 【解析】
试题分析： 由题意得21122m m -<-<-<，解得21
1,,32m m m -<<>-
，所以实数m 的取值范围为12,23⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
考点：抽象函数单调性 23．)8,4[
试题分析：由分段函
数为R 上的增函数，得1
1
402(4)122
a a a a ⎧
⎪>⎪
⎪
->⎨
⎪
⎪-⨯+≤⎪⎩即18484a a a a >⎧⎪<⇒≤<⎨⎪≥⎩ 故答案为：)8,4[
考点：分段函数的单调性． 24．(2
，2
【解析】易知f(a)＝e a
－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2
＋4b －3>－1，解得2
<b<2
.
25．(－∞，0)∪(1，3] 【解析】当a －1>0即a>1时，要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3；当a －1<0即a<1时， 要使f(x)在(0，1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]．
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[]
,a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.。