大学物理6.3 电势PPT
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∞
q0
p εp
UP
v E
电势（电势能）零点的选择 电势能） 任意 视分析问题方便而定
通常： 通常： （1）有限带电体： ）有限带电体： （2）无限带电体： ）无限带电体：
U∞ = 0 (a ) U∞ ≠ 0 电场中任选一点
r 际应用中或研究电路问题时： ）实际应用中或研究电路问题时： 取大地、 取大地、仪器外壳等 3、意义： 描述电场能（电场力作功）方面的性质 意义： 描述电场能（电场力作功）
结论：静电场力做功，与路径无关. 结论：静电场力做功，与路径无关. 静电场的这一特性称为静电场的保守性 相应地，静电力是保守力（像重力一样） 7 相应地，静电力是保守力（像重力一样）
1.单个点电荷产生的电场 1.单个点电荷产生的电场 r r r r Q dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl
U
o
Q U 外 (r ) = 4 πε 0 r Q U内 ( r ) = 4 πε 0 R
Q 4 π ε0R
Q 4 π ε 0r
o
R
r
例3 解：
计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
dq
o
在球面上任取一电荷元dq
Q R
dq 则电荷元在球心的电势为 dU = 4πε 0 R
由电势叠加原理 球面上电荷在球心的总电势 思考： 思考：
W = q0 ∫
Q P
∞
q0
p εp
v E
r r E ⋅ dl
点为无穷远时， 当Q点为无穷远时，电场力所做的功称为q0 点为无穷远时 在电场中的P点的电势能 点的电势能， 在电场中的 点的电势能，即P点电势能为 点电势能为 r ∞ r ε P = q0 ∫ E ⋅ dl
P
此时，无穷远处Q点的电势能为 点的电势能为0， 此时，无穷远处 点的电势能为 ，即规定无 穷远处的电势能为0 穷远处的电势能为
qi
qn
r ei ri r rn en
P
En Ei E2
E1
=∫
∞ P
r r r r ∞ r ∞ r E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + L + ∫ E n ⋅ dl
P
n
P
= U1 P + U 2 P + L + U nP = ∑ U iP
电势的叠加原理： 电势的叠加原理：点电荷系产生的电场中 任意一点的电势是各个点电荷单独存在时的电 场在该点的电势的代数和． 场在该点的电势的代数和．
dq 4 πε0 x + r
2 2
d q = σ 2 πr d r
1 V= 4 πε0
=
∫
R
σ 2 πrdr
x2 + r 2
R
2 2
dr
0
r
x2 + r 2
σ
2ε0
o
x
P
x
( x + R − x)
21
求均匀带电球面内外的电势分布， 例2 求均匀带电球面内外的电势分布，设球面 P 电量为 Q ，半径为 R ． r r 解 r 1 Qr E R 当 r > R 时， = ； Q 2 4πε 0 r r o r P 当 r < R 时， = 0 E （1）球面内任一点 P 的电势 （r < R） E r r r r r r ∞ r ∞ ∞ r R U P = ∫ E ⋅ dl = ∫r E ⋅ dr = ∫r E ⋅ dr + ∫R E ⋅ dr
q
rA
A
2
任意带电体的电场 （点电荷的组合） 点电荷的组合） v v E = ∑ Ei v v v v i v v W = q0 ∫ E ⋅ dl = q 0 ∫ ∑ E i ⋅dl = ∑ q 0 ∫l E i ⋅ d l
l
l i
i
(
)
求和符号中括号内的每一项为每一点电荷单独存 所做的功, 在时产生的电场对q0所做的功, 与路径无关
v dri
θi
B
*
v dW = F cos θ dr v v dW = F ⋅ dr
B B
v dr θ v vθ v F dr1 1 F 1
*
v Fi
A
的功（ 从A到B的功（有限位移）： 到 的功 有限位移）：
W = ∫ dW = ∫
A
A
v v F ⋅ dr
---称为力 沿路径 的线积分 称为力F沿路径 称为力 沿路径L的线积分
dq （3） U = ∫ dU = ） 4πε 0 ∫ r
1
UP = ∫
∞ P
r r E ⋅ dl
dq
dq U = ∫ dU = 4πε 0 ∫ r
1
v r
A
当带电体的电荷分布已知时，计算电势分布的 当带电体的电荷分布已知时， 方法有两种： 方法有两种： 若电场强度分布已知， （1）若电场强度分布已知，或因带电体具有 一定的对称性，场强分布易用高斯定理求出， 一定的对称性，场强分布易用高斯定理求出，可以 用场强积分的方法求电势； 用场强积分的方法求电势； 当带电体的电荷分布已知， （2）当带电体的电荷分布已知，且带电体的 对称性又不强时，宜用电势积分的方法计算电势． 对称性又不强时，宜用电势积分的方法计算电势．
已知 U ⇒ E = Uq
13
3.电势差 3.电势差 U PQ = U P − U Q r r ∞ r ∞ r = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl P Q r Q r = ∫ E ⋅ dl
P
q0
UQ Q
v E
p
UP
静电场中任意两点 P 和 Q 之间的电势差在 量值上等于把单位正电荷从 P 点经任意路径移 点时， 到 Q 点时，电场力所做的功 ． 电场力所做的功可用电势差表示为 r Q r W PQ = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 U P − U Q） （
U = ∫ dU =
(Q )
∫) 4πε R = 4πε (
Q 0
dq
Q
0
电量分布 均匀？ 均匀？
R
圆环、 圆环、圆 弧？
24
4.同心均匀带电球面的电势分布 例4.同心均匀带电球面的电势分布 解 1： U =
i =1
6.3.5 由连续电荷分布引起的电势
1.电势定义法： 1.电势定义法： P = ∫ 电势定义法 U 2.电势叠加原理： 2.电势叠加原理： 电势叠加原理 求电势步骤 1） （1） dq = λ dl ,σdS , ρdV
∞ P
r r E ⋅ dl
dq
v r
A
1 dq （2） dU = ） 4πε 0 r
P
6.3.4 由点电荷引起的电势
1.单个点电荷 1.单个点电荷 q 产生的电场中各点的电势
r q rP P
∞
r r q 的场强为 E = 1 q2 r 点电荷 4πε 0 r r r ∞ r Q U P = ∫ E ⋅ dl (路径任选) 选dl = d r 路径任选) P ∞ 1 1 q ∞ r q r ∴ U P = ∫ E ⋅ dr = ∫ rP r 2 dr = 4πε 0 r P P 4πε 0
(
)
q U= 4πε0r
⇒{
q > 0,U > 0;r ↑U ↓→0(r = ∞) q < 0,U < 0;r ↑U ↑→0(r = ∞)
2. 电势的叠加原理
r r r r Q E = E1 + E2 + L + En
∴U P = ∫
∞ P
q1 q2
r e1
r1
∞ P
r r E ⋅ dl
r r r r = ∫（E1 + E2 + L + En）dl ⋅
F
rB
r
v er
v C E
L
q0
A
v qq0 v e F = q0 E = 2 r 4 πε0 r
变力作功的计算？ 变力作功的计算？
q
rA
补充： 补充： 功的定义
1 恒力作用下的功
v W = F cos θ ⋅ ∆r v v F ⋅ ∆r =
θ
v F
v ∆r
2 变力的功 从A到B的功等于许多 到 的功等于许多 无限小位移上的功之和 无限小位移上的功: 无限小位移上的功
q0在q的的电场力作用 的的电场力作用 下，沿路径L从A点移 沿路径 从 点移 动到B 动到 的过程中电场 力所做的功
B
dr
Ddlv
v v v dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl qq0 v v = e ⋅ dl 2 r 4 πε0 r v v er ⋅ dl = dl cos θ = dr qq0 dW = dr 2 4 πε0 r
P
=∫
∞ R
r r E ⋅ dr =
1 Q 1 Q ∫ R 4πε 0 r 2 dr = 4πε 0 R
∞
R
r
（2）球面外任一点 P 的电势（r > R） r ∞ r ∞ r r U P = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr Q
P r
P
r
R
=∫
∞ r
1 Q 1 Q 2 dr = 4πε 0 r 4πε 0 r
例1 求均匀带电细圆环轴线上任一点上的电势 分布． 分布．已知环的半径为 R ，总电量为 q ． 1 dq dq 解 Q dU = r = R2 + x 2 4πε 0 r R o x P x 1 λdl = 4πε 0 r
++ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + ++
dl
q 4 πε0 R
q 4πε0 x 2 + R 2
r
R
x
o x
o
x
P
x
20
通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线 上任意点的电势. 上任意点的电势. 带电圆平面可以看作为许多细圆环组成 带电圆平面可以看作为许多细圆环组成 细圆环
U p = ∫ dU
细圆环的电势: 细圆环的电势: dU = 的电势
∴∫
Q P
r r P r r E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = 0
Q ( L1 ) ( − L2 )
r r ∴∫ E⋅ dl = 0
L
静电场的环路定理：在静电场中， 静电场的环路定理：在静电场中，场强 沿任意闭合回路的线积分等于零． 沿任意闭合回路的线积分等于零．
6.3.3 电势能 电势
1.电势能 1.电势能 r q0在电场 E 的的电场力作用下， 的的电场力作用下， 任意路径从 点移动到 沿任意路径从P点移动到Q 的 过程中电场力所做的功为
∴ U = ∫ dU =
4πε 0 ∫0
1
2πR
λ dl
1 λ 2πR = ∫0 dl r 4πε 0 r
=
1
4πε 0 R + x
2
λ 2πR
2
=
1 4πε 0
q R2 + x 2
讨论
UP =
q 4 πε0 x + R
2 2
q x = 0，U 0 = 4πε0 R
U
q x >> R，UP = 4πε0 x
rB
r
v er
v E C
F θ
L
q0
A
q
rA
qq0 dW = dr 2 4 πε0 r
qq 0 rB dr W = ∫rA r 2 4 πε 0 qq 0 1 1 = ( − ) 4 πε0 rA rB
rB
B
dr
Ddlv
v E C
q0
θ
r
v er
结论: 仅与 仅与q 结论: W仅与 0的始末 位置有关 有关， 位置有关，与路径无关.
6.3.2 静电场的环路定律
r r Q r Q r Q q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl
P P ( L1 ) ( L2 )
Q
L1 L2
P
r r r r Q E ⋅ dl − Q E ⋅ dl = 0 ∴ q0 ∫ ∫P P ( L2 ) ( L1 )
电势能在量值上等于把电荷从该点经任意 路径移到无穷远处电场力所做的功． 路径移到无穷远处电场力所做的功． 2.电势 2.电势
UP =
εP
q0
=∫
∞
P
r r E ⋅ dl
电场中某点的电势在量值上等于单位正电 荷放在该点时的电势能，或者说， 荷放在该点时的电势能，或者说，等于单位正 电荷从该点沿任意路径移到无限远处电场力所 做的功 ．
6.3 电势
6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 静电场力是保守力 静电场的环路定律 电势能 电势 由点电荷引起的电势
6.3.5 由连续电荷分布引起的电势
6.3.1 静电场力是保守力
1 单个点电荷产生的电场
B
q0在q的的电场力作用下， 的的电场力作用下， 沿路径L从A点移动到B
的过程中电场力所做的 功
b
r dr dl r + dr
= q0 E cosθ dl
q E= 4πε 0 r 2
cosθ dl = dr
b rb
1
q o
r
a
c
θ
r E
qq0 1 1 1 qq0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
在点电荷的电场中， 在点电荷的电场中 ， 电场力对试探电荷 所做的功， 所做的功 ， 只与试探电荷所带电量以及起点 和终点位置有关，而与所经历的路径无关． 和终点位置有关，而与所经历的路径无关． 2. 任何带电体系产生的电场 r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl r r r = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
q0
p εp
UP
v E
电势（电势能）零点的选择 电势能） 任意 视分析问题方便而定
通常： 通常： （1）有限带电体： ）有限带电体： （2）无限带电体： ）无限带电体：
U∞ = 0 (a ) U∞ ≠ 0 电场中任选一点
r 际应用中或研究电路问题时： ）实际应用中或研究电路问题时： 取大地、 取大地、仪器外壳等 3、意义： 描述电场能（电场力作功）方面的性质 意义： 描述电场能（电场力作功）
结论：静电场力做功，与路径无关. 结论：静电场力做功，与路径无关. 静电场的这一特性称为静电场的保守性 相应地，静电力是保守力（像重力一样） 7 相应地，静电力是保守力（像重力一样）
1.单个点电荷产生的电场 1.单个点电荷产生的电场 r r r r Q dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl
U
o
Q U 外 (r ) = 4 πε 0 r Q U内 ( r ) = 4 πε 0 R
Q 4 π ε0R
Q 4 π ε 0r
o
R
r
例3 解：
计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
dq
o
在球面上任取一电荷元dq
Q R
dq 则电荷元在球心的电势为 dU = 4πε 0 R
由电势叠加原理 球面上电荷在球心的总电势 思考： 思考：
W = q0 ∫
Q P
∞
q0
p εp
v E
r r E ⋅ dl
点为无穷远时， 当Q点为无穷远时，电场力所做的功称为q0 点为无穷远时 在电场中的P点的电势能 点的电势能， 在电场中的 点的电势能，即P点电势能为 点电势能为 r ∞ r ε P = q0 ∫ E ⋅ dl
P
此时，无穷远处Q点的电势能为 点的电势能为0， 此时，无穷远处 点的电势能为 ，即规定无 穷远处的电势能为0 穷远处的电势能为
qi
qn
r ei ri r rn en
P
En Ei E2
E1
=∫
∞ P
r r r r ∞ r ∞ r E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + L + ∫ E n ⋅ dl
P
n
P
= U1 P + U 2 P + L + U nP = ∑ U iP
电势的叠加原理： 电势的叠加原理：点电荷系产生的电场中 任意一点的电势是各个点电荷单独存在时的电 场在该点的电势的代数和． 场在该点的电势的代数和．
dq 4 πε0 x + r
2 2
d q = σ 2 πr d r
1 V= 4 πε0
=
∫
R
σ 2 πrdr
x2 + r 2
R
2 2
dr
0
r
x2 + r 2
σ
2ε0
o
x
P
x
( x + R − x)
21
求均匀带电球面内外的电势分布， 例2 求均匀带电球面内外的电势分布，设球面 P 电量为 Q ，半径为 R ． r r 解 r 1 Qr E R 当 r > R 时， = ； Q 2 4πε 0 r r o r P 当 r < R 时， = 0 E （1）球面内任一点 P 的电势 （r < R） E r r r r r r ∞ r ∞ ∞ r R U P = ∫ E ⋅ dl = ∫r E ⋅ dr = ∫r E ⋅ dr + ∫R E ⋅ dr
q
rA
A
2
任意带电体的电场 （点电荷的组合） 点电荷的组合） v v E = ∑ Ei v v v v i v v W = q0 ∫ E ⋅ dl = q 0 ∫ ∑ E i ⋅dl = ∑ q 0 ∫l E i ⋅ d l
l
l i
i
(
)
求和符号中括号内的每一项为每一点电荷单独存 所做的功, 在时产生的电场对q0所做的功, 与路径无关
v dri
θi
B
*
v dW = F cos θ dr v v dW = F ⋅ dr
B B
v dr θ v vθ v F dr1 1 F 1
*
v Fi
A
的功（ 从A到B的功（有限位移）： 到 的功 有限位移）：
W = ∫ dW = ∫
A
A
v v F ⋅ dr
---称为力 沿路径 的线积分 称为力F沿路径 称为力 沿路径L的线积分
dq （3） U = ∫ dU = ） 4πε 0 ∫ r
1
UP = ∫
∞ P
r r E ⋅ dl
dq
dq U = ∫ dU = 4πε 0 ∫ r
1
v r
A
当带电体的电荷分布已知时，计算电势分布的 当带电体的电荷分布已知时， 方法有两种： 方法有两种： 若电场强度分布已知， （1）若电场强度分布已知，或因带电体具有 一定的对称性，场强分布易用高斯定理求出， 一定的对称性，场强分布易用高斯定理求出，可以 用场强积分的方法求电势； 用场强积分的方法求电势； 当带电体的电荷分布已知， （2）当带电体的电荷分布已知，且带电体的 对称性又不强时，宜用电势积分的方法计算电势． 对称性又不强时，宜用电势积分的方法计算电势．
已知 U ⇒ E = Uq
13
3.电势差 3.电势差 U PQ = U P − U Q r r ∞ r ∞ r = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl P Q r Q r = ∫ E ⋅ dl
P
q0
UQ Q
v E
p
UP
静电场中任意两点 P 和 Q 之间的电势差在 量值上等于把单位正电荷从 P 点经任意路径移 点时， 到 Q 点时，电场力所做的功 ． 电场力所做的功可用电势差表示为 r Q r W PQ = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 U P − U Q） （
U = ∫ dU =
(Q )
∫) 4πε R = 4πε (
Q 0
dq
Q
0
电量分布 均匀？ 均匀？
R
圆环、 圆环、圆 弧？
24
4.同心均匀带电球面的电势分布 例4.同心均匀带电球面的电势分布 解 1： U =
i =1
6.3.5 由连续电荷分布引起的电势
1.电势定义法： 1.电势定义法： P = ∫ 电势定义法 U 2.电势叠加原理： 2.电势叠加原理： 电势叠加原理 求电势步骤 1） （1） dq = λ dl ,σdS , ρdV
∞ P
r r E ⋅ dl
dq
v r
A
1 dq （2） dU = ） 4πε 0 r
P
6.3.4 由点电荷引起的电势
1.单个点电荷 1.单个点电荷 q 产生的电场中各点的电势
r q rP P
∞
r r q 的场强为 E = 1 q2 r 点电荷 4πε 0 r r r ∞ r Q U P = ∫ E ⋅ dl (路径任选) 选dl = d r 路径任选) P ∞ 1 1 q ∞ r q r ∴ U P = ∫ E ⋅ dr = ∫ rP r 2 dr = 4πε 0 r P P 4πε 0
(
)
q U= 4πε0r
⇒{
q > 0,U > 0;r ↑U ↓→0(r = ∞) q < 0,U < 0;r ↑U ↑→0(r = ∞)
2. 电势的叠加原理
r r r r Q E = E1 + E2 + L + En
∴U P = ∫
∞ P
q1 q2
r e1
r1
∞ P
r r E ⋅ dl
r r r r = ∫（E1 + E2 + L + En）dl ⋅
F
rB
r
v er
v C E
L
q0
A
v qq0 v e F = q0 E = 2 r 4 πε0 r
变力作功的计算？ 变力作功的计算？
q
rA
补充： 补充： 功的定义
1 恒力作用下的功
v W = F cos θ ⋅ ∆r v v F ⋅ ∆r =
θ
v F
v ∆r
2 变力的功 从A到B的功等于许多 到 的功等于许多 无限小位移上的功之和 无限小位移上的功: 无限小位移上的功
q0在q的的电场力作用 的的电场力作用 下，沿路径L从A点移 沿路径 从 点移 动到B 动到 的过程中电场 力所做的功
B
dr
Ddlv
v v v dW = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl qq0 v v = e ⋅ dl 2 r 4 πε0 r v v er ⋅ dl = dl cos θ = dr qq0 dW = dr 2 4 πε0 r
P
=∫
∞ R
r r E ⋅ dr =
1 Q 1 Q ∫ R 4πε 0 r 2 dr = 4πε 0 R
∞
R
r
（2）球面外任一点 P 的电势（r > R） r ∞ r ∞ r r U P = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr Q
P r
P
r
R
=∫
∞ r
1 Q 1 Q 2 dr = 4πε 0 r 4πε 0 r
例1 求均匀带电细圆环轴线上任一点上的电势 分布． 分布．已知环的半径为 R ，总电量为 q ． 1 dq dq 解 Q dU = r = R2 + x 2 4πε 0 r R o x P x 1 λdl = 4πε 0 r
++ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + ++
dl
q 4 πε0 R
q 4πε0 x 2 + R 2
r
R
x
o x
o
x
P
x
20
通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线 上任意点的电势. 上任意点的电势. 带电圆平面可以看作为许多细圆环组成 带电圆平面可以看作为许多细圆环组成 细圆环
U p = ∫ dU
细圆环的电势: 细圆环的电势: dU = 的电势
∴∫
Q P
r r P r r E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = 0
Q ( L1 ) ( − L2 )
r r ∴∫ E⋅ dl = 0
L
静电场的环路定理：在静电场中， 静电场的环路定理：在静电场中，场强 沿任意闭合回路的线积分等于零． 沿任意闭合回路的线积分等于零．
6.3.3 电势能 电势
1.电势能 1.电势能 r q0在电场 E 的的电场力作用下， 的的电场力作用下， 任意路径从 点移动到 沿任意路径从P点移动到Q 的 过程中电场力所做的功为
∴ U = ∫ dU =
4πε 0 ∫0
1
2πR
λ dl
1 λ 2πR = ∫0 dl r 4πε 0 r
=
1
4πε 0 R + x
2
λ 2πR
2
=
1 4πε 0
q R2 + x 2
讨论
UP =
q 4 πε0 x + R
2 2
q x = 0，U 0 = 4πε0 R
U
q x >> R，UP = 4πε0 x
rB
r
v er
v E C
F θ
L
q0
A
q
rA
qq0 dW = dr 2 4 πε0 r
qq 0 rB dr W = ∫rA r 2 4 πε 0 qq 0 1 1 = ( − ) 4 πε0 rA rB
rB
B
dr
Ddlv
v E C
q0
θ
r
v er
结论: 仅与 仅与q 结论: W仅与 0的始末 位置有关 有关， 位置有关，与路径无关.
6.3.2 静电场的环路定律
r r Q r Q r Q q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl
P P ( L1 ) ( L2 )
Q
L1 L2
P
r r r r Q E ⋅ dl − Q E ⋅ dl = 0 ∴ q0 ∫ ∫P P ( L2 ) ( L1 )
电势能在量值上等于把电荷从该点经任意 路径移到无穷远处电场力所做的功． 路径移到无穷远处电场力所做的功． 2.电势 2.电势
UP =
εP
q0
=∫
∞
P
r r E ⋅ dl
电场中某点的电势在量值上等于单位正电 荷放在该点时的电势能，或者说， 荷放在该点时的电势能，或者说，等于单位正 电荷从该点沿任意路径移到无限远处电场力所 做的功 ．
6.3 电势
6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 静电场力是保守力 静电场的环路定律 电势能 电势 由点电荷引起的电势
6.3.5 由连续电荷分布引起的电势
6.3.1 静电场力是保守力
1 单个点电荷产生的电场
B
q0在q的的电场力作用下， 的的电场力作用下， 沿路径L从A点移动到B
的过程中电场力所做的 功
b
r dr dl r + dr
= q0 E cosθ dl
q E= 4πε 0 r 2
cosθ dl = dr
b rb
1
q o
r
a
c
θ
r E
qq0 1 1 1 qq0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
在点电荷的电场中， 在点电荷的电场中 ， 电场力对试探电荷 所做的功， 所做的功 ， 只与试探电荷所带电量以及起点 和终点位置有关，而与所经历的路径无关． 和终点位置有关，而与所经历的路径无关． 2. 任何带电体系产生的电场 r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl r r r = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L